首尾结合 破解难题——以竞赛题为例

<正>德国伟大的数学家高斯以他超人的天赋得出了算式1+2+3+…+100的结果,他采用的是首尾结合法巧妙地把加法问题转化为乘法,迅速得出答案.这种首尾结合的方法在计算题中具有极高的应用价值.本文撷取几例竞赛题,与各位同仁共赏.题1(第十六届"希望杯"全国数学邀请赛初二第2试)分解因式:(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2.     

形异实同的一类问题的通解

问题1 求方程x1＋x2＋x3=8的正整数解的组数． 分析 把8个“1”排成一行,然后在其7个空档中（不包括首尾两个空档）插入两块不相邻的板将其分成三部分,每一种隔法就对应着满足题意的一组解,故共有C7^2=21组解．     

2005年7—8月号“数学潜能知识竞赛”参考答案

1．4（提示：设a=n-1，b=n，c=n＋1，n为正整数，则｛n-1＋n〉n＋1,n-1＋n＋n＋1〈19）2．C（提示：在剩下的18个商标牌中，背面有奖金额的商标牌还剩3个，因此，他第3次翻牌获奖的概率是3/18=1/6）     

第46届IMO预选题(中)

数论部分 1．本届1510第1题． 2．本届1510第2题． 3．已知正整数口、b、c、d、e、f满足和S=a＋b＋c＋d＋e＋f     

解题研究三例

题目1 10名运动员参加乒乓球比赛,其中每两名恰巧比赛一场．在比赛过程中,第1名胜x1局、负y1局,第2名胜x2局、负y2局,……,第10名胜x10局、负y10局,试比较x1^2＋x2^2＋…＋x10^2与y1^2＋y2^12…＋y10^2的大小．     

归纳与猜想四例

1．找“数”的变化规律 例1 观察表1，寻找规律．表2、表3分别是从表1中选取的一部分，则a＋b的值为________． 分析 表1中数的排列规律从上到下可以看成是：第1列从0开始依次“＋1”；第2列从1开始依次“＋2”；第3列从2开始依次“＋3”；     

对一道IMO题的再研究

（第29届IMO第6题）已知正整数a,b满足（ab＋1）｜（a^2＋b^2）,求证：a^2＋b^2/ab＋1等是完全平方数． 该题在当时引起一片讨论声,原因在于该题拦倒了主试委员会成员和一些数论专家．丁兴春老师在文[1]中提出并解决了更难的问题：求满足（ab＋1）｜（a^2＋b^2）的所有正整数a,b的解．     

一道女子数学奥林匹克试题的推广与变形

题目 已知a,b,c≥0,a＋b＋c=1．求证：√a＋1／4（b-c）^2＋√b＋√c≤√3（第6届女子数学奥林匹克竞赛试题第6题）．     

一道不等式题的证法总结

题目 已知α,b,f,d都是实数,且α^2＋b^2=1,c^2＋d^2=1,求证：｜αc＋bd｜≤1． （北师大版选修2—2第12页习题1—2第4题）     

动脑筋二题

解：已知5C9是3的倍数，所以5＋C＋9是3的倍数，从而得C=1、4、7；又由左数第三列得B=6；再由左数第一列得A＋2〉10，得出A：9，所以C必等于1。即A=9．B=6，C=1。     

整式的加减复习指导

有这样一道题：当a=2,b=-2时．求多项式3a^3b^3-1/2a^2b＋b-（4a^3b^b-1/4a^2b-b^2）＋（a^3b^3＋1/4a^2b）-2b^2＋3的值．贝贝做题时把a=2错抄成a=-2．京京没抄错题,但他们得出的结果却一样,你知道这是怎么回事吗？为了弄清楚这个问题．我们先回顾一下第二章“整式的加减”．     

再谈一道竞赛题的证明

贵刊文[1]～[6]对第31届西班牙数学奥林匹克竞赛第2题：“若（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1,则z＋y=0。”进行了多种证明及推广,现再给出该题的两种证法．     

一个世界数学团体锦标赛试题的多向开发

首届（2010年）世界数学团体锦标赛青年组个人赛第3轮的第1题为：（√1＋x2-x＋1）（√1＋y2-y＋1）=2,则xy=___.文献[1]对此题的演变作了有意义的探究，我们读后很受启发．笔者利用文献[2]和文献[3]中研究区域图形的方法，对此题作了进一步的开发．     

中华芦荟的组织培养

以中华芦荟的芽为外植体进行组织培养,经实验得出中华芦荟组织培养的最佳培养基配方为：1）诱导分化及增殖培养基MS＋6-BA3．0mg／L＋NAA0．2mg／L;2）生根培养基Ms＋NAA0．2mg／L-0．3mg／L．     

另证一道东南数学奥林匹克试题的推广

题目（第三届（2006年）东南数学奥林匹克第6题）求最小的实数m使得不等式 m（a^3＋b^3＋c^3）≥6（a^2＋b^2＋c^2）＋1 （1） 对满足a＋b＋c=1的任意正实数a,b，c恒成立．     

课本习题中的小秘密

苏教版必修二课本第77页有这样一道习题：已知两条直线alz＋61y＋1=O和a2x＋62y＋1=0都过定点A（1,2）,求过两点P,（a1,b1）,P2（a2,b2）的直线方程．本题的解法是：因为两直线都过A（1,2）,所以a,＋2b1＋1=0,a2＋2b2＋1=0．由于（a1,b1）和（a2,b2）均适合方程x＋2y＋1=O,所以所求直线方程为X＋2y＋1=0．这种求直线方程的方法不同于我们求直线方程的常规方法,     

两个经典数学问题之间的关联

问题1 已知a√1-b^2＋b√1-a^2=1，求证：a^2＋b^2=1．（1992年第3届“希望杯”高一赛题） 文[1]的第214-219页，研究了这个经典问题的12种证明方法．     

一道高考模拟题的解法探究

例（2011年济南市一模试题理科第12题）若实数z,y满足4x＋4y=2x＋1＋2y＋1,则t=2x＋2y的取值范围是（ ）．     

一道第50届IMO试题的探究

2009年第50届IMO的第6题是一个组合问题： 设α，α2，…，an是互不相同的正整数．M是有n-1个元素的正整数集，且不含数s=a1＋α2＋…＋an．     

一道IMO试题的再加强与猜想的加强

第42届1M0第二题：对所有正实数a,b,c,证明a/√a^2＋8bc＋b/√b^2＋8ca＋c/√c^2＋8ab≥1（1）（以下简称赛题）．