构造法六则

1．构造向量 例1设a,b,c,x,y,z是正数,且a^2＋b^2＋c^2=10,x^2＋y^2＋z^2=40,ax＋by＋cz=20,则a＋b＋c/x＋y＋z=（ ）     

x^2＋（p＋q）x＋pq型式子的分解

形如x^2＋（p＋q）x＋pq的二次三项式,常用分组分解法分解：x^2＋（p＋q）x＋pq=x^2＋（p＋q）x＋pq=（x^2＋px）＋（qx＋pq）=x（x＋p）＋g（x＋p）=（x＋p）（x＋q）．当p=q时,这个二次三项式相当于完全平方式x^2＋2px＋p^2或x^2＋2qx＋q^2通过观察可知,二次项的系数是1,常数项是两个数之积,一次项系数是常数项的两个因数之和．一次项系数的规律是：常数项是正数时．     

一个不等式的新证

命题1若x1,x2,…,xm都是正数,m,n∈N,且m≥2,则x1n＋x2n＋…＋x＋m^n≥1/m（n-1）（x1＋x2＋…＋xm）^n,当且仅当x1=x2=…=xn时,取等号.证明不妨设x1＋x2＋…＋xm=S,则命题能转化为若x1=x2=…=xm都是正数,且满足x1＋x2＋…＋xm=S,m,n∈N且m≥2,则x1^n＋x2^n＋…＋xm^n≥1/m^（n-1）S^n.     

一道数学竞赛题的探究

题目 已知数列{an}满足：a1=2,an=2（an-1＋n）（n=2,3,…）.求数列{an}的通项公式.（2013年全国高中数学联赛（B卷）试题）本文从一题多解,一题多变两个角度对本题目进行探究,希望对同仁有所帮助.一、一题多解解法1：a1 =2,a2 =2（a1＋2）=8,当n≥3时,我们有an-2an-1=2n,an-1-2an-2=2（n-1）,两式相减,得an-3an-1＋2an-2=2,即an-an-1＋2=2（an-1-an-2＋2）,令bn=an-an-1＋2（n≥2）,则数列{bn}（n≥2）是公比为2的等比数列,且b2=a2-a1 ＋2=8,于是bn=b2×2n-2=2n＋1,即an-an-1＋2=2n＋1,于是,an-1-an-2＋2=2n,…,a2-a1＋2 =23,将上面n-1个等式相加,得an-a1＋2（n-1）=23 ＋24＋…＋2n＋1=2n＋2—8,∴.an=2n＋2—2（n＋2）,注意到当n=1,2时,公式仍适用,所以这就是所求的通项公式.     

系数和为0的方程

如果一元二次方程ax2＋bx＋c（a≠0）的系数和a＋b＋c=0,则不难发现：x=1满足方程ax2＋bx＋c=0,即x=1是该方程的一个根．反之,如果x=1是一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的一个根,     

利用一元二次方程根的定义解题

若x1，x2是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的两根，则有ax1^2＋bx1＋c=0，ax2^2＋bx2＋c=0．反之，若ax1^2＋bx1＋c=0，ax2^2＋bx2＋c=0，且x1≠x2，则x1，x2是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的两根。     

根的定义用处大

由方程根的定义可知,如果t是一元二次方程似ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的根,则at^2＋bt＋c=0;反之,如果at^2＋bt＋c=0,则t是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的一个根．灵活运用根的定义可以解答不少数学问题．     

一类高次Diophantine方程的求解

目的研究Diophantine方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）整数解问题.方法初等方法.结果设n是正整数,m=2^n,证明了当n〉1时,方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）没有非零整数解（x,y）.指出当n=1时,方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）是关于x,y的恒等式.结论彻底解决了Diophantine方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）整数解的问题.     

巧用根的定义

如果x0是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的根,那么ax0^2＋bx0＋c=0;反过来,如果ax0^2＋bx0＋c=0,那么x0是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的一个根．这就是一元二次方程的定义．由此可见,根据定义可以正用,也可以逆用,还可以与韦达定理联用．     

例谈构造对偶式求两类递推数列通项

类型一：an＋2=pan＋1＋qan 此类递推数列的通项求法一般是通过假设an＋2=aan＋1=β（an＋1-aan）构造等比数列来处理,其中α,β的确定可由其等式等价于an＋2=（α＋β）αn＋1—αβan,得到α＋β=P,αβ=-q,所以α、β满足方程x^2=px＋q,此也就是类型一的特征方程．：     

钠及其化合物核心突破

1钠及其重要化合物之间的转换2 Na2O与Na2O2Na2O和Na2O2都是氧气和金属钠反应的产物,但二者的性质却不同.Na2O是白色的固体,而Na2O2则是淡黄色的粉末.Na2O是碱性氧化物,而Na2O2是过氧化物,具有氧化性,和同一种物质反应的产物是不同的.如与水的反应：Na2O＋H2O=2NaOH,2Na2O2＋2H2O=4NaOH＋O2↑;再如与二氧化硫的反应：Na2O＋SO2=Na2SO3,Na2O2＋SO2=Na2SO4;又如与盐酸的反应Na2O＋2HCI=2NaCI＋H2O,2Na2P2＋4HaCI=4NaCI＋2H2O＋O2↑.     

题相似 法不同

例1（第18届江苏省竞赛题）已知x,y,z都是实数,且x2＋y2＋z2=1,则m=xy＋yz＋zx（）A.只有最大值B.只有最小值C.既有最大值又有最小值D.既无最大值又无最小值解由0≤（x＋y＋z）2=x2＋y2＋z2＋2（xy＋yz＋zx）=1＋2m,得m≥-1/2.     

错在哪里？

1 陕西师范大学附中 申祝平 （邮编：710061） 题设z、Y∈R,且2x^2＋3xy十2y^2=1,试求xy＋x＋y的取值范围．解命S=xy,t=x＋y,u=xy＋x＋y=s＋t,则有2x^2＋3xy＋2y^2=1→2t^2-s=1.u=s＋t=st^2＋t-1=2（t＋1/4）^2-9/8.故xy＋x＋y的取值范围为[-9/8,＋∞）．解答错了!错在哪里？ 错解 求函数u=2（t＋1/4）^2-9/8的值域时,没有考虑自变量t（即x＋y）的聚会范围!     

从一道保送生入学试题谈圆锥曲线的几个结论

2011年北京大学保送生数学考试共有5道试题,最后一题为： 设点A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）是圆x^2＋y^2=1上不同的三点,且满足 x1＋x2＋x3=y1＋y2＋y3=0．① 证明：x1^2＋x2^2＋x3^2=y1^2＋y2^2＋y3^2=3/2.     

一道中考试题的引申

下面是2009年湖北省鄂州市的一道数学中考题： 为了求1＋2＋2^2＋2^3＋…＋2^2008的值,可令S=1＋2＋2^2＋2^3＋…＋2^2008,则2S=2＋2^2＋2^3＋2^4＋…＋2^2009,     

二次函数与一元二次方程关系的应用

二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的关系是：二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的根;反之,一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的根是二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标.它们之间的这种关系在求解相关的问题时,如果能够灵活地运用,则不仅可以使解题过程大为简化,而且还可以获得巧解.     

小小数轴作用大

当一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）有一个根是1时,根据方程根的定义得a＋b＋c=0,反之,如果a＋b＋c=0,一元二次方程abx^2＋bx＋c=0（a≠0）的根又分别是什么呢？下面我们一起来探究。     

一道2011重庆高考填空题的思维历程

（2011重庆,文15题）若实数口,b,c满足2^a＋2^b=2^a＋b,2^a＋2^b＋2^c=2^a＋b＋c,则c的最大值是＿＿＿.这是一道设计新颖,能力立意高,在知识网络交汇处命制的好题．拿到题目,感觉无从下手,不妨从特殊值上考虑：a=b=1时,第一个条件满足,带入第二个等式得4＋2^e=4·2^c,解得c=log24/3．但不知道它是否为最大值．     

课本习题中的小秘密

苏教版必修二课本第77页有这样一道习题：已知两条直线alz＋61y＋1=O和a2x＋62y＋1=0都过定点A（1,2）,求过两点P,（a1,b1）,P2（a2,b2）的直线方程．本题的解法是：因为两直线都过A（1,2）,所以a,＋2b1＋1=0,a2＋2b2＋1=0．由于（a1,b1）和（a2,b2）均适合方程x＋2y＋1=O,所以所求直线方程为X＋2y＋1=0．这种求直线方程的方法不同于我们求直线方程的常规方法,     

基础练习

一元二次方程 1．下列方程中,关于x的一元二次方程是（ ） A．3（x＋1）2=2（x＋1） B.1/x2＋1/x-2=0 C.ax2＋bx＋c=0