韦达定理的几何证法

<正>如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x_1和x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a,这就是著名的韦达定理.现行义务教育初中数学教材中的证法是利用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x_1和x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a,这就是著名的韦达定理.现行义务教育初中数学教材中的证法是利用一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式先求出它的两个根,然后分别计算这两根之和与两根之积.笔者在文[1]中不借助于一元二次方程的求根公式给出了韦达定理的三种代数证法,本文再给出韦达定理     

一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程的根与系数之间存在着下列关系:如果ax~2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x_1、x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1·x_2=c/a.这就是有的参考书所讲的“韦达定理”.     

浅谈一元二次方程根与系数的关系

1基本内容1)如果ax~2 bx c=0(a≠0)的2根是x_1、x_2,那么x_1 x_2=-b/a·x_1·x_2=c/a.一元二次方程根与系数的关系叫做韦达定理.2)以2个数x_1、x_2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x~2-(x_1 x_2)x x_1x_2=0.这种根与系的关系叫做韦达定理的逆定理.     

根与系数的关系及其应用

正如果一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x_1,x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1·x_2=c/a这就是根与系数的关系,也称为韦达定理.下面以2011年中考试题为例,归纳它在中考解题中的几种典型应用,供你复习时参考.     

韦达定理和判别式相结合

设实数x_1、x_2为方程x~2-px q=0的两实根,则由韦达定理有x_1 x_2=p,x_1x_2=q,又上述方程的判别式Δ=p~2-4q≥0。 把韦达定理(及其逆定理)和根的判别式相结合,可以解决很多类型的问题。 一、求取值范围 例1 实数a、b、c满足a~2-bc-6a 3=0,b~2 c~2 bc-2a-1=0。     

谈谈韦达定理

一、教学中的一个问题己知方程x~2+px+q=0的两个根x_1、x_2,求以此两根的平方为两根的方程.解:∵x_1、x_2是方程x~2+px+q=0的根,由韦达定理,得     

浅谈韦达定理的教学

韦达定理“如果方程ax~2 bx c=0(a≠0)的两个根是x_1、x_2,那么x_1 x_2=-(b/a),x_1x_2=c/a”。它反映了一元二次方程根与系数的关系,无论在代数、几何、三角,还是在解析几何中都有广泛的应用。然而,许多学生虽然掌握了韦达定理的内容,但不能正确加以运用。为此,本文想结合平时的教学实践,就韦达定理的教学淡点浅见。     

根与系数关系的应用

若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a.这就是一元二次方程的根与系数的关系,又称"韦达定理".由韦达定理可得:     

一元二次方程的根的对称式

如果x_1、x_2是一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的两个根,由根与系数关系(即韦达定理),不解方程,可以求出下列代数式的值:     

一元二次方程的演绎

1根与系数的关系对于一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的韦达定理x_1 x_2=-b/a、x_1x_2=c/a (x_1,x_2是方程的两个根)是大家都熟悉的,那么两根之比λ和两根之差d与系数的关系又是怎样的呢?     

充满活力的韦达定理(上)

一元二次方程的根与系数的关系,即韦达定理,是初中数学中一个充满活力的定理,应用极为广泛.本文以1996、1997两年全国各地中考试题为例,介绍它的应用. 一、求一元二次方程根的对称式的值若x_1、x_2是方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,应用韦达定理,可不解方程直接求得x_     

虚系数一元二次方程实根判别定理

虚系数一元二次方程总可化为如下形式: x~2+(a+bi)x+c+di=0 (*)其中,a、b、c、d(R,b、d不同时为零. [定理] 方程(*)有实根的充要条件是b≠0且d~2=b |a b c d|.这时方程(*)的有唯一实根-d/b. 证:利用韦达定理易知(*)不能有二实根,也不能有二共轭虚根.设x_1(R_1,x_2∈R是(*)的二根,则     

韦达定理和根的对称式

如果 x_1、x_2是一元二次方程 ax~2+bx+c=0(a≠0)的两个根,由根与系数的关系(即韦达定理),不解方程,可以求得下列代数式的值     

关于韦达定理的一点补充

对于一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的两根X_1,X_2,确X_1+X_2=-b/a,(1)X_1·X_2=c/a.(2) 这就是著名的韦达定理. 我认为韦达定理的内容尚可补充下列一条,以简便解题过程:     

韦达定理新证

如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1和x2,那么x1+x2=-a/b,x1x2=c/a,这就是著名的韦达定理.韦达定理的常规证法是利用一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式先求出它的两个根,然后分别计算这两根之和与两根之积.本文不借助于一元二次方程的求根公式给出韦达定理的几个新颖别致的证法,供大家参考.     

巧用韦达定理解竞赛题

如果ax~2 bx c=0=(a≠0)的两个根是_x_1、x_2,那么x_1 x_2=-(b/a),x_1·x_2=c/a.这个定理是数学家韦达发现的.它揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系.应用这个定理来求解的数学竞赛题在历年的初中数学竞赛中,频频出现.下面我们一起探讨几个问题。一、讨论方程的根的状况例1 当m是什么整数时,关于x的方程x~2-(m-1)x m 1=0的两根都是整数?     

一元二次方程两根之比的一个关系式

如果一元二次方程的两根之比为k,则证明：设方程ax~2 bx c=0的两根为x_1,x_2，由韦达定理得:x_1 x_2=-b/a,x_1·x_2=c/a,∵x_1/x_2=k,将（1）两端平方除以（2），消去x_2~2，得：（90年山东省临沂地区初中数学竞赛题）如果一元二次方程的两根之比2：3，求证6b~2=25ac.（1987年徐州市初中数学竞赛题〕一元二次方程两根之比的一个关系式@徐希扬$山东省郯城师范学校     

一元二次方程根与系数关系的一组命题

对于一元二次方程 ax~2+bx+c=0, (a≠0) (*) 韦达定理及其逆定理又可以叙述成下述形式: 命题Ⅰ方程(*)的两根之和为常数p,两根之积为常数q的充要条件是 p=-b/a,q=c/a。本文从命题Ⅰ出发,推出以下一组很有用的命题。命题Ⅱ方程(*)的两根互为相反数的充要条件是b=0。     

根与系数关系在中考代数题中的应用

如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1、x2,那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a,反之,若x1+x2=-b/a,x1x2=c/a则x1和x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,这两个性质揭示了方程的根与系数之间的必然联系,故称为根与系数的关系,这个关系是法国数学家韦达首先发现的,通常又叫做韦达定理及其逆定理,这两个定理十分重要,在历年的中考题中应用极为广泛,现分述如下:     

巧用一个恒等式简化解析几何运算

<正>若x_1、x_2为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实根,则 x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c,这就是著名的韦达定理,在解析几何的运a算中常发挥着举足轻重的作用.然而在具体解题运用时,常常会遭遇无法回避的固化式繁琐运算,能否简化运算是我们共同的追求.运用创新思维,笔者发现,由两关系式消去a,可得一个简洁的恒等式-c(x_1+x_2)=bx_1x_2,此恒等式能简化运算过程,给我们带来不同的解题体验.