转化是学好四边形的关键

一、将四边形问题转化为平行四边形问题例 1.已知 :四边形 ABCD中 ,AB=DC,AC=BD,且 AD≠BC。求证 :四边形 ABCD是等腰梯形。分析 :欲证此四边形为等腰梯形 ,可由定义来证明。从已知条件可看出 ,只要证明AD∥ BC即可。由此联想到构造平行四边形即可证得。证明 :过点 D作 DE∥ A B交BC于点 E,则∠ ABC=∠ DEC。∵ AB=DC,AC=DB,BC=CB,∴△ ABC≌△ DCB。∴∠ ABC=∠ DCB,∠ DEC=∠ DCB。∴ AB=DC=DE,∵ AB∥ DE,∴四边形 ABED是平行四边形 ,∴ AD∥ BC。又∵ AD≠ BC,∴四边形 ABCD是等腰梯形。二、将四…     

不作辅助线求解更简捷

“梯形”练习题中有这样一个问题:已知等腰梯形ABCD,AD//BC,对角AC⊥BD,AD=3cm,BC=7cm,求梯形的面积S.参考书中通常介绍如下三种作辅助线的方法(如图1).然而不作辅助线,是否也能求解呢?答案是肯定的.解法如下:如图2,因为ABCD是等腰梯形,所以AB=DC,∠ABC=∠DCB,又知BC=BC,所以△ABC≌△DCB(SAS),所以∠1=∠2,AC=BD,而AC⊥BD,所以∠1=∠2=45°,故△BOC等腰直角三角形.同理可知△AOD也为等腰直角三角形.由勾股定理得OA=OD=姨22AD=23姨2cm.OB=OC=姨22BC=7姨22cm.所以AC=OA OC=5姨2cm.于是S梯形ABCD=S△ABC S…     

解读四边形

【知识归纳】~~【例题分析】例1.已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,点E是BC上一点,AE的垂直平分线分别交AD、AE、BC于点M、O、N,试判断四边形AMEN的形状并给出证明.解:四边形AMEN是菱形3/2005山西教育·初中版证明:AD∥BC∠1=∠2,MN垂直平分AE∠AOM=∠EON=90°OA=O△AOM≌△EON(AAS)OM=ONOA=O四边形AMEN是平行四边形AE⊥MAMEN是菱形例2.根据下列不同条件,计算梯形的面积.(1)如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=4,AC=4,BD=3,求梯形ABCD的面积.(2)如图2,梯形ABCD中,AD∥BC,AE⊥BC于点E,AE=12,BD=15,…     

例说与等腰梯形有关的探索题

近年来的中考中,与等腰梯形有关的探索题屡见不鲜,下面解析两例.例1如图1,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别是AD,BC的中点,E、F分别是BM、CM的中点.(1)求证:四边形MENF是菱形.(2)若四边形MENF是正方形,请探索等腰梯形ABCD的高和低边BC的数量关系并说明理由.(2005年广东省中考题)解:(1)在等腰梯形ABCD中,∵AD∥BC,∴AB=DC,∠A=∠D,∵AM=DM,∴△ABM≌△DCM(SAS),∴BM=CM,∵E、F分别是BM、CM的中点.∴ME=12BM,MF=12CM.∴ME=MF,∵N为BC的中点∴EN,FN都是△MBC的中位线∴EN∥CM,FN∥BM∴四边形MENF是平…     

梯形中常见辅助线的作法

在进行有关梯形的边、角、面积等计算和论证问题时,常常需要添加辅助线,将梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等特殊图形问题.下面介绍六种常见辅助线的添加方法.1平移一腰过梯形的一个顶点作一腰的平行线,通过平移腰,将梯形转化为三角形和平行四边形,利用三角形和平行四边形的性质,并结合题目条件,达到计算或证明的目的.图1例1如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=2∠B,AD=a,CD=b,求AB的长.解过D作DE∥BC,交AB与点E,则∠DEA=∠B,四边形DEBC是平行四边形,故BE=CD=b,∠EDC=∠B,由∠ADC=2∠B,得∠ADE=∠AED,因而AE=AD=a,所以AB=AE+BE=a+b.2平移两腰过梯形的上底上的一点作两腰的平行线,将梯形转化为一个三角形和两个平行四边形,再利用三角形和平行四边形的性质,结合题目条件,来证明(或计算).图2例2如图2,在梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别为上、下底的中点,且∠B+∠C=90°.求证:MN=12(BC-AD).证明过点M作ME∥AB交BC于点E,作MF∥CD交BC于点F,则∠MEC=∠B,∠MFB=∠C,∵∠B+∠C=90°,∴∠MEC+∠...     

让学生的思维“荡起双桨”——一道条件不充分习题的变式探讨

<正>原题已知:如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点M是AD的中点,且MB=MC.求证:四边形ABCD是等腰梯形.新题已知:如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,点M是AD的中点,且MB=MC.求证:四边形ABCD是等腰梯形.简析因为四边形ABCD是梯形,要证明它是等腰梯形,就是证明两腰相等,也就是要证两条线段相等,可以利用全等三角形来解决.证明因为点M是AD的中点,所以AM=BM.又因     

一道平几习题的几种证法

初中教材《几何》第二册复习题四中有这样一道证明题(P194.6(1)): 题目 已知:四边形ABCD中,AB=DC,AC=BD,AD≠BC.求证:四边形ABCD是等腰梯形. 《教师教学用书》给出一种证法.下面给出四种新的证明. 证法 1 ∵ AB=DC,AC=DB,BC=CB, ∴ △ABC≌△DCB. ∴ ∠ABC=∠DCB.     

2004年中考数学大盘点(续)

(5)组构命题、命题变换题 例15 已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,给出下列5个条件: ①AB∥CD;②OA=OC;③AB=CD;④∠BAD=∠DCB;⑤AD∥BC.     

同解一道梯形题共探辅助线真谛

美国著名的数学家G·波利亚曾明确指出:“学习任何东西最好的途径是自己去发现.”从这样的一个理念出发,我们开展了一次“解中考题探究梯形辅助线的作法”的活动,收到了较好的效果. 所选的题是一道青海省中考题:已知:四边形ABCD中,AB=DC,AC=BD,AD≠BC.求证:四边形ABCD是等腰梯形. 分析:要证四边形ABCD是等腰梯形,因为AB=DC,所以只要证明四边形ABCD是梯形即可.因为AD≠BC.故只要证明AD//BC即可.要     

构造三角形中位线解题例举

例1已知:四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC=BD,M、N分别是AB、CD的中点,MN交BD、AC分别于点E、F求证:OE=OF.分析:如图1,要证OE=OF,只要证∠OEF=∠OFE,即可.取AD中点G,连接MG、NG,则有MG∥BD,NG∥AC,从而有∠OEF=∠GMN,∠OFE=∠GNM,又MG=12BD,NG=21AC,而AC=BD,故有MG=NG,从而有∠GMN=∠GNM,故可得∠OEF=∠OFE.例2如图2,△ABC中,∠ACB=2∠B,AD⊥BC于点D,M是BC的中点,求证:MD=21AC.分析:取AB中点N,连出△ABC的中位线MN,则有MN=21AC,所以只要证MD=MN即可,连接ND,则ND=21AB=BN,从而…     

转化——解决梯形问题的基本思路

一、平移腰——将梯形转化为平行四边形和三角形,利用平行四边形和三角形性质来解题。 例1.如图1,梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=2∠B,AD+DC=8。 求:AB的长。 解:过D作DF∥BC交AB于F,四边形DFBC是平行四边形,∴∠1=∠B。     

从定理证明中学习证题方法

等腰梯形判定理:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。已知:如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C·求     

等腰梯形的功能

等腰梯形的功能是由等腰梯形的性质决定的．等腰梯形有这样几个性质：等腰梯形的两腰相等；等腰梯形的两条对角线相等；等腰梯形同一底上的两个底角相等．这就决定了等腰梯形有如下两个基本功能：1．利用等腰梯形可以证明两条线段相等；2．利用等腰梯形可以证明两角相等．例1如图1，在梯形ABCD中，AD/BC，ABC=60°，AB＋AD=BC．求证：AC=BD．分析因为AC、BD是梯形ABCD的两条对角线，所以，欲证AC=BD，只须证梯形ABCD是等腰梯形即可，即只须证AB=CD（或ABC=DCB=60°）．为此，需要添加适当的辅助线，把AB、CD迁移到一个…     

2008年第7期问题

175.如图,已知在梯形ABCD中,AB∥CD(AB>CD),E、F分别是AB、CD的中点.若∠A ∠B=90°,求证:EF=21(AB-DC).(安徽省肥西中学231200刘运宜提供)176.在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AC,CD=%2-1,BC=BD,且∠BAC ∠BDC=180°,求BC的长.(安徽省芜湖市城南实验中学241002杨晋提供)177.设a,b,c∈R     

巧添辅助圆

许多几何问题,若能恰当添出辅助圆,充分利用圆的丰富性质,便能获得简捷巧妙的解法.　例1　在△ABC中,∠ABC=∠C,∠A=100°,BE是∠B平分线,求证:AE+BE=BC.图1证明　作△ABE的外接圆交BC于D,连结ED.∵∠A=100°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=40°.又∵BE平分∠ABC,∴∠EBD=20°,AE=DE,∴AE=DE.又∵四边形ABDE为圆内接四边形,∴∠DEC=∠ABC=40°,∴∠DEC=∠C.∴DE=DC,∴AE=CD.∵∠BDE+∠A=180°,∠A=100°,∴∠BDE=80°,∴∠BED=80°,∴BE=BD,∴BC=BE+AE.　例2　已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC.AD=a,BC=b,AB=CD=…     

数学问题与解答

551.如图1,圆内接四边形ABCD中,BC=CD,E、F分别为AB、AD上的点,线段EF交AC于G.若EF∥BD,求证:∠GBD=∠FCO,∠GDB=∠ECB.     

梯形与三角形、梯形的中位线

[知识要点]1 等腰梯形的性质有: (1) 　　　　　;(2) 　　　　　;(3) 　　　　　 等腰梯形的判定方法有: (1) 　　　　　;(2) 　　　　　 2 三角形的中位线定理: 　　　　　;梯形的中位线定理:　　　　　 四边形典型考题解析图1例1　(2003 年江苏省徐州市)如图1,在梯形ABCD 中,AB=CD, AD∥BC,点E在AD 上,且EB=EC 求证: AE=DE 略证　在梯形ABCD中,∵AB=CD,∴∠ABC=∠DCB 在△EBC中,∵EB=EC,∴∠EBC=∠ECB ∴∠ABE=∠DCE 又∵ AB=CD, BE=CE, ∴△ABE≌△DCE ∴AE=DE 例2　(2003年杭州市)如图 2,EF为梯形AB…     

等腰三角形一个判定方法的证明及应用

<正>等腰三角形具有"三线合一"的性质:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.如图1,在△ABC中,AB=AC,D是BC上一点.(1)如果∠1=∠2,那么AD⊥BC,BD=CD;(2)如果BD=CD,那么∠1=∠2,AD⊥BC;(3)如果AD⊥BC,那么∠1=∠2,BD=CD.上述性质中,共存在4个关系式:AB=AC,∠1=∠2,AD⊥BC,BD=CD.而改写后的每条性质都有两个条件,且都有一个条件是"AB=AC".反过来,在关系式∠1=∠2,AD⊥BC,     

由平行线和角平分线推出的等腰三角形

初二几何教材在“等腰三角形的判定”一节的开始 ,提出下面两道题 :其一是第 75页例 1,求证 :如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边 ,那么这个三个形是等腰三角形。这就是 ,已知 :如图 ,∠ CAE是△ ABC的外角 ,∠ 1=∠ 2 ,AD∥ BC,求证 :AB=AC。　　其二是第 76页练习题第 3题 ,已知 :如图 ,AD∥BC,BD平分∠ ABC。求证 :AB=AD。　　这两道题提供了一种新的思路 :由平行线和角平分线的条件来推出一个三角形是等腰三角形。事实上 ,这个思路在解题中往往很有用处。例 1.已知 :如图 ,DC∥AB,AD∥ BC,∠ 1=∠ 2 ,∠ 3=∠ …     

解梯形问题常用的辅助线

在解梯形问题时,常常需要添作辅助线,其目的就是将梯形问题转化为同学们所熟悉的平行四边形和三角形来解决.下面举例说明梯形中常用的辅助线的作法郾一、作梯形的高例1如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=∠C=90°,MA=MB,∠BMC=75°,∠AMD=45°.求证:BC=CD郾证明作AE⊥BC于E郾∵AD∥BC,∴DC=AE郾∵∠AMB=180°-75°-45°=60°,MA=MB,∴△AMB为正三角形郾∴AB=BM郾又∵∠ABE=60°+15°=75°=∠BMC,∴Rt△ABE≌Rt△BMC郾∴AE=BC郾∴BC=CD郾二、作梯形的中位线例2如图2,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,垂足为O…