函数f(x)=(ax b)~(1/2)-(cx d)~(1/2)值域的求法

对于给定的函数f(x)=(ax b)~(1/2)-(cx b)~(1/2)(a、b、c、d,均为常数,且ac≠0)。可分以下情况求其值域: 1.当a>0,c<0时,f(x)在定义域上是增函数,可由单调递增函数的性质求出值域。 例1 求函数f(x)=(x 2)~(1/2)-(-3x 4)~(1/2)的值域。 解 求函数f(x)的定义域是[-2,4/3],     

一类函数值域求值法的改进

贵刊1997第4期《形如,f(x)=(ax b)~(1/2) (cx d)~(1/2)的函数的最值问题》一文中最后两道例题是求函数的值域.但笔者认为解法不简,运算量大,可作如下改进:1 求函数,f(x)=(2x 4)~(1/2) (-x 6)~(1/2)的值域     

对有关形如y=(ax b)~(1/2)±(cx d)~(1/2)的最值问题探讨

在高中数学中,函数有关值域和最值问题是一个重点也是一个难点问题,题型和解法也较多。本文就形如y=(ax b)~(1/2)±(cx d)~(1/2)的有关函数求最值问题做一探讨。     

求函数 f(x)=(ax b)~(1/2) (cx d)~(1/2)(ac<0)值域的新方法

对于函数 f(x)=(ax b)~(1/2) (cx d)~(1/2)(ac<0)的值域,本刊1997年第4期第36页上介绍了“柯西不等式法”和“参数代换法”两种方法,读后受益匪浅,今再介绍一种新方法,供师生教学参考.例1 求函数 y=(3x 6)~(1/2) (-x 8)~(1/2)的值域.解:y=3~(1/2)·(x 2)~(1/2) (-x 8)~(1/2).设 y_1=(x 2)~(1/2)-3~(1/2)·(-x 8)~(1/2),则     

也谈一类无理函数值域的求法

文[1]中介绍了求函数f(x)=(1/2)(ax b)-(1/2)(cx d)的三种方法,本文将进一步说明,对于此类无理函数,有两种求其值域的通法。 1.利用函数的单调性求函数f(x)=(1/2)(ax b) (1/2)(cx d)的值域。 此法的依据是下面定理: 定理 函数f(x)=(1/2)(ax b)±(1/2)(cx d)(a,b,c,d均为常数,且ac≠0),记g(x)=a*((1/2)(cx d))±c*((1/2)(ax b)),A={x|g(x)≥0},B={x|g(x)≤0},则当时,f(x)在A上是增函数,当时,f(x)在B上是减函数。     

函数f(x)=(x~2 ax b)(1/2)±(x~2 cx d)(1/2)的最值

结论 1　若Δ1=a2 - 4b≤ 0 ,Δ2 =c2 - 4d≤ 0 ,则函数 f(x) =x2 ax b x2 cx d的最小值是 f(x) min=12 (-Δ1 -Δ2 ) 2 (a -c) 2 .证明 :因为Δ1=a2 - 4b≤ 0 ,Δ2 =c2 - 4d≤ 0 ,所以x2 ax b≥ 0 ,x2 cx d≥ 0 ,f(x) =x2 ax b x2 cx d =x a22 0 - 4b -a222 x c22 0 - 4d -c222 .求 f(x)的最小值即求两定点A - a2 ,4b -a22 、B - c2 ,4d -c22 到x轴上一点 (x ,0 )距离和的最小值 ,即求两点A′ - a2 ,- 4b -a22 、B - c2 ,4d -c22 之距 |A′B|.点A′与A关于x轴对称 .根据对称性 |A′B|=|PA| |PB|,在x轴上任取一点…     

关于f(x)=(ax b)~(1/2)±(cx d)~(1/2)(ac≠0)值域求法

记方程ax b=0,cx d=0的两根分别为t_1、t_2,在t_1=t_2的情况下,f(x)的值域易求,以下假设t_1t_2时,由于f(x)与f(-x)值域相同,可类似讨论f(-x)的值域).     

不动点与数列通项(高一、高二、高三)

对于一个确定的函数f(x),方程x=f(x) 的根x=x0称为f(x)的不动点.下面利用不 动点求数列通项. 1.三个定理 定理1 设f(x)=ax b(a≠0且a≠1), {xn}满足递归关系xn=f(xn-1)(n≥2),p为 f(x)的不动点,则xn-p=a(xn-1-p). 定理2 设f(x)=(ax b)/(cx d)(c≠0,ad-bc≠ 0),{xn)满足递归关系xn=f(xn-1)(n≥2),且     

求y=(ax+b)~(1/2)±(cx+d)~(1/2)(ac(?)o)型函数的值域的新方法

求y=((ax+b)~(1/2))±((cx+d)~(1/2))(ac≠0)型函数值域的方法,一般不只一种,如观察法,利用函数单调性、三角代换等,但这些方法,往往因为考虑不周而容易出错,或使用范围有限,或有变形繁琐的缺点。这里,我们借助直线与二次曲线的关系,给出求y=((ax+b)~(1/2))±((cx+d)~(1/2))(ac≠0)型函数值域的新方法,此方法具有直观、简明、准确、实用范围广等优点。 [方法]设Y=(ax+b)~(1/2)≥0,X=(cx+d)≥0,则 y=Y±X 即 Y=±x+y (1)且 aX~2-cY~2=ad-bc (2) 建立平面直角坐标系XOY,那么(1),(2)分别表示坐标平面内的一条直线(斜率为±1,在Y轴上的截距为y)和一条二次曲线(可以为直线),若直线(1)与曲线(2)在第一象限(包括X、Y轴的正半轴)     

关于分式函数f(x)=ax+b/cx+d的n次迭代公式的完整求法及应用

本文应用不动点及拓扑共轭的方法推导出分式函数 f(x)=(ax+b)/(cx+d)的 n次迭代公式.并运用这个公式,讨论了分式函数f(x)的周期点存在性问题.     

函数f(x)=√x2+ax+b±√x2+cx+d的最值

结论1若△1=a2-4b≤0,△2=c2-4d≤0,则函数f(x)=√x2 ax b √x2 cx d的最小值是f(x)min=1/2√(√-△1 √-△2)2 (a-c)2.     

函数y=(ax+b)~(1/2)+(d-cx)~(1/2)的值域

本刊2002年第4期文[1]用改进了的三角换元法举例说明了无理函数 y=(ax+b)~(1/2)+(cx+d)~(1/2)(ac<0)最小值和最大值的求法,读后颇受启发.本文将用“双换元法”给出这类无理函数的最小值和最     

求函数y=(ax b)~(1/2)-(cx d)~(1/2)(ac＞0)值域的新方法

函数 y=(ax b)~(1/2)-(cx d)~(1/2)是中学数学中重要的一类无理函数.近年来,许多刊物曾探讨过其值域的求解方法,本文运用的两个简单不等式给出解决这类问题的一种新方法,望同行赐教.很容易证明下列两个简单不等式:     

函数y=(ax b)~1/2 (cx d)~1/2(ac<0)值域的又一求法

《数学教学通讯》1997年第4期文[1],1998年第4期文[2],1998年第5期文[3]中分别就函数 y=(ax b)~(1/2) (cx d)~(1/2)(ac<0)的值域给出了相应的求法,本文再介绍一种方法——三角换元法.供参考.     

函数f（x）=cx＋d/ax＋b的一个恒等式的发现与引申

1问题提出 函数f（x）=cx＋d/ax＋b（ad≠bc,ac≠0）的图象关于（-b/a,c/a）中心对称,故函数有 f（x）＋f（-2b/a-x）=2c/a恒成立,仿此形式,函数f（x）=cx＋d/ax＋b有没有形如f（x）。[第一段]     

运用导数解析函数的各类问题

运用导数研究函数的单调性、极值、最值以及证明不等式,是一种可行性强、操作性简单的方法.一、求函数的解析式【例1】　设y = f(x)为三次函数,且图像关于原点对称,当 x =12时的极小值为-1,求函数f(x)的解析式.解析:设f(x)= ax3 bx2 cx d(a≠0),因为其图像关于原点对称.即f(- x) =- f(x)得ax3 bx2 cx d= ax3 - bx2 cx - d(x∈R),∴b =0,d =0,即f(x) = ax3 cx,由f′(x) =3ax2 c,依题意f′(12) =34a c =0,f(12) =18a c2=-1解之,得a =4,c =-3.故所求函数的解析式为 f(x) = 4x3 -3x.二、求函数的单调区间【例2】　求函数f(x…     

函数f(x)=ax+b~(1/2)+d-cx~(1/2)值域的又一新求法

求形如 f (x) =ax + b + d -cx(a>0 ,c >0 ,dc>-ba)的函数值域的方法很多 ,本刊文 [1]利用“双换元法”给出一种求法 ,阅后深受启发 .本文再给出此类函数的一种新的求法 ,具有简单易行的特点 ,更易为广大中学生所理解和接受 ,现介绍如下 .1　结论及证明定理　设 f1 (x) =ax + b,f2 (x) =d -cx,则函数 f (x) =ax + b + d -cx(a >0 ,c >0 ,dc >-ba)的值域为[[f1 ( x) +f2 ( x) ] m in,f1 ( dc +f2 ( - ba) ] .以下定理的证明过程 ,即给出了求 f (x)值域的一种方法 .证明 :(1)证 f (x)≤f1 (dc) + f2 (-ba)设λ >0 ,则由基本不等式 ab≤a + b2 …     

三次函数f(x)=ax~3+bx~2+cx+d(a>0)的图象及其应用

近几年随着导数进入高中教材,以三次函数为背景的题目经常出现在全国各地的高考试题中.但对于三次函数的性质学生了解并不多,教材中也没加以说明,这也影响了他们有效解决这类问题的途径和方法.我们知道二次函数图象的直观明了大大帮助了学生对函数性质的理解和掌握.本文将研究三次函f(x)=ax3 bx2 cx d(a>0)的图象与性质.三次函数f(x)=ax3 bx2 cx d(a>0x∈R),则f'(x)=3ax2 2bx c.f'(x)=6ax 2b=6a(x b/(3a)),当a>0,?=4b2?12ac>0时,f'(x)=0有两个根为213,3xb b aca=???x2=?b 3ba2?3ac,f'(x)=0的根为x0=?b/(3a).(1)当(,23]3xb b aca∈?∞???…     

无理函数槡槡y=a(x-b)~(1/2)+c(d-x)~(1/2)最值的其他求法

正文[1]给出了无理函数槡槡y=a(x-b)~(1/2)+c(d-x)~(1/2)(a0,c0,bd)最值的三种求法(拉格朗日乘数法、三角置换法、构造平面向量法),本文在此基础上再给出几种求法.1.导数法记函数y=f(x)槡槡=a(x-b)~(1/2)+c(d-x)~(1/2)(a0,c0,bd),其定义域为区间[b,d].     

函数y=1-X/1 X的性质与应用

关于分式线性函数y=(cx d)/(ax b),已有众多文献进行了研究。本文拟对函数F(x)=(1-x)/(1 x)的独特性质进行一些探讨,并举例说明它的应用. 性质1 函数y=F(x)自为反函数,且F(F(x))=x(x≠-1). 性质2 对a≠-1,b≠-1,ab≠-1