圆与图形变换易错扫描

一、圆1.垂径定理知识点垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.(注意:平分弦的直径不一定垂直于弦)分析这一定理揭示的是圆的直径与垂直于这条直径的弦以及这条弦所对的弧三者之间的关系.需要指出的是,在圆中,一条弦所对的弧     

圆中三条最值结论及其应用

一、结论 1．若点P是⊙O内一定点,则⊙O中过点P的所有弦中,直径是最长的弦,垂直于该直径的弦是最短的弦．     

椭圆共轭直径性质的探究

正在解析几何中有如下的定义:定义1[1]二次曲线平行弦中点的轨迹叫做这个二次曲线的直径,它所对应的平行弦,叫做共轭于这条直径的共轭弦,而直径叫做共轭于平行弦的直径.由此,我们便容易得出椭圆共轭直径的如下定义:定义2如图1,椭圆中平行于直径CD的弦的中点的轨迹AB和直径CD叫做互为     

垂径定理及其推论的功能与应用

垂径定理是平凡中的重要定理,其应用也十分广泛,学习该定理及推论时,要理解和掌握它们的功能与应用．一、垂径定理组垂径定理是：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧．由此可得：1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分这弦所对的两条弧．2．平分一条弦所对的两条弧的直线垂直平分这条弦．3．弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这弦所对的两条弧．4．平分弦和它所对的一条弧的直线经过圆心,并且垂直于这条弦．5．平分一条弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这弦所对的另一条弧．垂径定理和上述五个推…     

也谈圆中常见辅助线的添置

圆的证明问题是初中平面几何中的难点之一,解决圆的问题关键在于正确地作出有关的辅助线,那么应如何作圆的辅助线呢?本文就圆中常见的辅助线及其作用作些归纳,供同学们参考. 1 已知弦,常引的辅助线是:垂直于弦的直径(或弦心距);过弦端点的半径.如图,其作用是:①应用垂径定理;②利用半弦长、弦心距和半径组成直角三角形. 2 已知直径,常引的辅助线是:作直径所对的圆周角.如图,其作用是得到直角∠ACB.     

圆锥曲线的直径在解一类对称问题中的应用

在圆中,垂直于弦的直径平分此弦,并且平分此弦所对的弧,这就是垂径定理。由垂径定理可知,圆的直径为圆中一组平行弦中点的轨迹。把这一结论推广至圆锥曲线中,于是就有了圆锥曲线直径的概念。所谓圆锥曲线的直径就是圆锥曲线中一组平行弦中点的轨迹。本文将应用代换法则,由圆锥曲线的中点弦方程推导出直径方程,再举例说明直径方程在求解(或证明)一类对称问题中的应用。     

共轭直径的一个性质及其应用

在中学解析几何中,大家知道有心圆锥曲线的平行弦中点的轨迹是过中心的一条直线(其实是线段或射线),这条直线称为这有心圆锥曲线的一条直径,如图1,在椭圆中,与弦CD平行的弦的中点的轨迹是过中心O的直径A'B';平行于A'B'的弦EF的中点的轨迹是过中心O的直径AB,不难证明A'B'∥EF,AB∥CD。称AB和A'B'是椭圆的一对共轭直径。     

圆中线段相等的几种证明方法

一、利用弧、弦、弦心距间的关系例1如图1,AB是⊙O的直径,AC是弦,     

零距离接触圆

特别关注（1）直径是弦,但弦不一定是直径：两条能够重合的弧是等弧．但长度相等的弧不一定是等弧;半圆既不是优弧,也不是劣弧．     

垂径定理及其应用

垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 这个定理是圆这一章比较重要的定理,讲的是垂直于弦的直径的性质。同学们必须熟练地掌握,并要学会运用垂径定理及其推论解决有关的证明、计算和作图问题。     

例说垂径定理及其推论的应用

知识链接垂径定理 :垂直于弦的直径平分这条弦 ,并且平分弦所对的两条弧 .推论 1(1)平分弦 (不是直径 )的直径垂直于弦 ,并且平分弦所对的两条弧 .(2 )弦的垂直平分线经过圆心 ,并且平分弦所对的两条弧 .(3)平分弦所对的一条弧的直径 ,垂直平分弦 ,并且平分弦所对的另一条弧 .推论 2圆的两条平行弦所夹的弧相等 .例 1　在⊙Ｏ中 ,过点Ｐ的最长的弦为8ｃｍ ,最短的弦为 4ｃｍ ,则ＯＰ的长为 (　　 ) .(Ａ) 2 3ｃｍ　　 (Ｂ) 2 2ｃｍ(Ｃ) 2ｃｍ (Ｄ) 6ｃｍ(2 0 0 1年四川省乐山市中考题 )分析　本题的条件比较隐蔽 ,过Ｐ的最长弦即直径 ,最短…     

与圆的切线有关的一个性质

命题:过已知弦(非直径)中点的弦(非直径)的两个端点的圆的切线的交点与以已知弦两端点为切点的切线交点连线和已知弦平行。 如图,已知:⊙O的弦CD(非直径)经过弦AB的中点M,EA,EB,FC,FD分别与⊙O相切于A,B,C,D.     

对九义教材中“垂径定理及其推论”的教改建议

九义初中几何第三册七章第三节:“垂直于弦的直径”.教材是这样处理的,首先给出垂径定理:“垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧”.然后给出推论1,推论1包含三条结论.上述表述方式,本人认为显得复杂,学生难于掌握,     

圆锥曲线的直径方程及其应用

一、直径与直径方程圆锥曲线的平行弦的中点轨迹叫做圆锥曲线的直径,根据该定义不难推得圆锥曲线F(x,y)=0中平分斜率为k的弦的直径方程:曲线方程相应的直径方程     

与圆的垂径定理有关的辅助线的作法研究

<正>圆的垂径定理,是指平分弦(不是直径)的直径与弦垂直,同时平分弦所对应的两条弧．作圆中与垂径定理有关的辅助线,一般有两种:第一种,过圆心作弦的垂线段,利用垂径定理证明线段相等,构建直角三角形;第二种,圆心与弦的两个端点相连,构建直角三角形．     

对椭圆、双曲线共轭直径斜率的探究

连接椭圆（或双曲线）上任意两点的线段叫弦，过椭圆（或双曲线）中心的弦叫直径，平行于该直径的弦的中点的轨迹和该直径叫椭圆（或双曲线）的互为共轭直径，对此进行探讨，可以得到重要的性质。     

圆的基本性质

圆是平面几何的重要内容之一 ,圆的基本性质具有非常广泛的应用 ,因此 ,它也是数学竞赛命题的热点 .一、基础知识圆的基本性质有 :1 圆是轴对称图形 ,也是中心对称图形 .对称轴是任何一条直径所在的直线 ,对称中心是它的圆心 ,并且具有绕其圆心旋转的不变性 .2 直径所对的圆周角是直角 .3 垂直于弦的直径平分这条弦 ,并且平分弦所对的两条弧 .4 在同圆或等圆中 ,两个圆心角和它所对的两条弧、两条弦以及两个弦心距这四组量中 ,如果其中一组量相等 ,则其它三组量也都分别相等 .5 如果弦长为 2ａ ,圆的半径为Ｒ ,那么弦心距ｄ为Ｒ2 -ａ2 .…     

有关圆锥曲线弦中点的问题

有关圆锥曲线f(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0的弦的中点问题,大体可分为两类:一是已知斜率为k的一组平行弦中点的轨迹(也就是直径)的方程;一是以定点(x_0,y_0)为中点的弦所在直线的方程(中点弦的方程)。下面分别作论述。一、斜率为k的一组平行弦中点的轨迹(直径)方程定理1.二次曲线f(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0的斜率为k的一组平行弦中点的轨迹(即直径)方程是(2A+Bk)x+(B+2Ck)y+(D+Ek)=0①推论二次曲线的直径是一条过斜率为     

圆中常用的辅助线

课标数学选修4-1《几何证明选讲》将原来初中平面几何删减的圆的有关内容(如弦切角、切割线、相交弦)又添加进来.这些内容对高中生来说是新知识,由于安排课时少,解答相关问题时常感没有思路.现就与圆有关的辅助线归纳如下.一、与直径有关的辅助线题中有直径或可以作出直径时,常作出直径所对的圆周角(直角),构造直角三角形中的射影模型;或把与直径垂直的线段补成弦,构造垂径、相交弦.     

圆中常见辅助线的作法

一、作弦心距 如果已知中含有圆心及弦,根据题目需要,有时可过圆心作弦的垂线,利用“弦心距平分弦”这一性质解题. 例1 如图1,⊙O的直径长为10,弦AB的长为8,M是弦AB上的动