一道几何题的简证

题:有两条内角平分线等长的三角形是等腰三角形。(本刊1978年第一期曾刊载这题的多种证法,这里用反证法,简洁新颖,特再刊登——编者) 已知△ABC的两条角平分线BD、CE等长。求证AB=AC证明用反证法,若AB≠AC,不妨设AB>AC,则∠C>∠B。 BD、CE分别是∠B、∠C的平分线, ∴∠ACE>∠ABD。在∠ACE内作∠ECG=∠ABD,CG交AE于G,交BD于F,则△GBF∽△GCE, ∴BF∶CE=BG∶CG,又∠BCG>∠CBG, ∴BG>CG,BD>BF>CE,这与已知BD=CE矛盾, ∴AB=AC。     

斯坦纳定理的一种推广

定理 在△ABC中，BD和CE分别为∠B和∠C的对应n（n=2，3，4，…）等分线。若BD=CE，则AB=AC。     

也谈Steiner定理的拓广

Steiner定理在△ABC中,∠B和∠C的平分线BD与CE相等,则AB=AC．     

证明角相等六法

一、利用全等三角形的性质证明例1 已知:如图1,D、E在线段BC上,AD=AE,BD=CE.求证:∠B=∠C.证明:∵AD=AE,∴∠1=∠2,∴∠ADB=∠AEC在△ABD和△ACE中,BD=CE,∠ADB=∠AEC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS).∴∠B=∠C.     

由一个基本图形导出的重要结论

初中《几何》中有这样一个基本图形:如图1,D是AB上一点,E是AC上一点,BE、CD相交于点F.由这个基本图形我们可以得到这样的结论:∠BFC=∠B ∠A ∠C.证明这一结论成立的方法很多,现给出两种常见方法:方法一:连结AF并延长到M,则有∠BFM=∠B ∠BAM,∠CFM=∠C ∠CAM,∴∠BFC=∠BFM ∠CFM=∠B ∠BAC ∠C.方法二:由∠BFC=∠B ∠BDC,∠BDC=∠A ∠C,有∠BFC=∠B ∠A ∠C.图1及上述结论在解题中有着广泛的应用.现举几例说明.例1如图2,求∠A ∠B ∠C ∠D ∠E的度数.解:如图2,设BD与CE交于点F,由本文中基本图形导出的结论…     

2014年联赛加试平面几何题的证法探究

2014年全国高中数学联赛加试第二题为如图1，在锐角△ABC中，∠BAC≠60°，过点B、C分别作△ABC外接圆的切线BD、CE，且满足BD=CE=BC。直线DE与AB、AC的延长线分别交于点F、G。设CF与BD交于点M，BG与CE交于点N，证明：AM=AN。     

巧用切线的性质定理

切线是和圆有唯一公共点的直线,它的性质定理是:圆的切线垂直于经切点的半径。对于某些与圆的切线有关的证明问题,巧用切线性质定理,可找到很好的解题途径。一、线段垂直问题图1例1　如图1,AB为⊙O的直径,CE切⊙O于C点,过B点的直线BD交直线CE于D点,如果BC平分∠ABD,求证:BD⊥CE证明:连OC∵CE切⊙O于C点　∴OC⊥CE∵OB=OC　∴∠OCB=∠OBC∵∠OBC=∠DBC∴∠OCB=∠DBC,OC∥BD　∴BD⊥CE图2二、线段平行问题例2　如图2,△ABC内接于⊙O,AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D,BE与AC相交于点F,且CB=CE,求证:BE∥…     

创新月月练

题1如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线,且相交于点F,则图中的等腰三角形有( )个. A.6 B.7 C.8 D.9     

一道常见题的变式

在中学数学学习过程中 ,将一些题目进行变式练习 ,有利于开阔同学们的思路 ,培养创造性思维能力 ,提高归纳、总结、发现规律的能力。图 1问题 :如图 1 ,C是线段AB上的一点 ,分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE ,边接AE、BD 求证 :AE =BD 证明 :△ACD和△BCE是等边三角形 ∠ 1 =∠ 3=6 0° ∠ACE =∠BCDAC =CD ,BC =CE △ACE≌△DCB图 2 AE =BD 变式一 :将点C改在AB的延长线上 ,如图 2。证明 :△ACD与△BCE是等边三角形 AC =CD ,BC =CE∠C =∠C △ACE≌△DCB AE =BD 变式二 :点C…     

(九)等腰三角形测试卷

一、境空题（每空4分，共44分）：1．在ABC中，若AB=AC，AD是角平分线，则AD与BC的位正关系是＿，BD与DC的大小关系是____．2．在ABC中，若AB=AC，AD是中线，则AD与BC的位置关系是_____，∠DAB与∠DAC的大小关系是___．3．在ABC中，若∠B=∠C，AD是高，则BD与DC的大小关系是____，∠DAB与∠DAC的大小关系是____．4．若等腰三角形两个角之比是1:2，则其项角的度数是_______．5如图1，D、B、C、E在同一直线上，∠ABC=60°，∠ACB=70°，AB=BD，AC=CE，则∠D=___，∠E=____，AD与AE的大小关系是＿6．若等腰三角…     

“两头凑”分析法

老师常常会告诫同学们:不能盲目做题!这就需要分析题意,在做几何证明题时,往往可以有多种证题途径,最有效的一条途径往往是条件结论一起考虑,我们首先考虑条件能向结论提供什么有效信息,而后考虑结论需要条件提供什么有效信息.这也就是通常说的“两头凑”的分析方法.例1如图1,已知∠1=∠2,∠C=∠D.求证:∠A=∠F.图1分析欲证∠A=∠F,只需证AC∥DF.从而可转化为证∠C=∠CEF,而由已知∠C=∠D,故只需证∠D=∠CEF,从而需证BD∥CE.证明因为∠1=∠2,∠2=∠3,所以∠1=∠3,所以BD∥CE,所以∠D=∠CEF.又∠C=∠D,所以∠C=∠CEF,所以AC…     

应用轴对称图形的性质解题举例

轴对称在生产、生活实际中有着广泛应用,在数学中运用轴对称知识来解决的问题也是很多的。例已知△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于D,CE⊥BD交BD延长线于E。求证:BD=2CE。分析 BD为∠ABC的平分线,且CE⊥BD,应用轴对称图形的性质,把△CBE沿     

关于三角形角平分线的三个结论

笔者在研究三角形角平分线的问题时,发现了三个有趣的结论,大家一起来看看吧!例1如图1,在△ABC中,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD与CE相交于点O,你能找出∠BOC与∠A之间的关系吗?     

关于三角形角平分线的三个结论

笔者在研究三角形角平分线的问题时,发现了三个有趣的结论,大家一起来看看吧!例1如图1,在△ABC中．BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD与CE相交于点0,你能找出∠BOC与∠A之间的关系吗？     

一道课本习题的有趣变形

现行九年义务教育三年制初级中学《几何》第二册第 1 1 2页复习题三A组有这样一道习题 :题　已知　△ABC的∠B和∠C的平分线BD、CE相交于点I。求证　∠BIC =π2 +12 ∠A。本文先给出该习题的解答 ,然后再在该习题的基础上做一些有趣的变形。分析　本道题中∠BIC为三角形两条内角平分线相交而成的角 ,求证的是∠BIC与∠A的关系式 ,题目涉及的知识点 :①三角形内角和定理 ,②角平分线定义 ,③由方程或方程组求解。图 1证　如图 1所示 :∵BD平分∠ABC ,∴可设∠ABD =∠DBC =x ,同理设∠BCE =∠ACE =y ,则有x +y +∠BIC =π ①…     

一个基本模型的提炼与应用

文[1]中给出了如下三道题： 题1 如图1,在等边三角形ABC中,AB=2,点D、E分别在线段BC、AC上（点D与点B、C不重合）,且∠ADE=60°．设BD=x,CE=y．     

“一角”定“八角”

责任编辑王写之已知△ABC中，∠A＝７０°，如果要你画出图形，你一定会说可以画无数个，因为△ABC中仅知道∠A＝７０°，∠B或∠C的大小不固定，三角形的任何一条边长也不确定，因此三角形的大小形状都在改变．但这无数个变化的三角形中，有一些特定位置的角的值是固定不变的，它们的大小由∠A的度数决定，而与∠B、∠C的大小无关．举例说明如下：例１△ABC中，已知∠A＝７０°，H是角平分线BD、CE的交点．求∠BHC的度数．解：∠BHC＝１８０°－∠HBC－∠HCB＝１８０°－１２∠ABC－１２∠ACB＝９０°＋１８０°－∠ABC…     

构造“蝶形”,简便求角

如图1,O是线段AC、BD的交点,连结AB、CD.△AOB与△DOC成“蝶形”,则∠A ∠B AOB=∠C ∠D ∠DOC=180°,而∠AOB=∠DOC,故A∠ ∠B=∠C ∠D.利用此等量关系,可以简便地求角的度数.     

两道平几难题的简证

[题1] “两内角平分线相等的三角形是等腰三角形”如图(1),△ABC中BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,其交点为I,且BD=CE。求证AB=AC。此乃众所周知的难题。     

角平分线定理的应用

角平分线定理的应用十分广泛. 一、求比值例1 如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB+BD=AC.求∠B:∠C的值. ^