关于一个三角恒等式的简证

《中学数学》92年第8期胡绍培用三种方法证明了第五届国际奥林匹克竞赛第五题,《中学教研》(数学)93年第2期杨士俊也给出了一种证法,本文采取另外两种简易的方法证明。     

一个三角恒等式的简证及其它

第5届国际数学竞赛有这样一题: 证明:cosπ/7-cos(2π)/7+cos(3π)/7=1/2,①①式可等价变换为: cosπ/7+cos(3π)/7+cos(5π)/7=1/2, ②文[1]中用复数方法将②式推广为: cosπ/n+cos(3π)/n+cos(5π)/n+…+cos(n-2)/nπ =1/2(n为奇数,且n≥3)。③本文用纯几何构造方法更简洁的证明③式,其证明过程可作为③式的几何解释,并同时得到n为偶数时的两个恒等式。如图示,作∠XOY=π/n。     

也谈一类三角不等式的简证

文 [1]在证明一类三角不等式的过程中 ,灵活地运用凸多边形的性质 ,数形结合的思想方法 ,化难为易 ,化隐为显 ,使不等式得到巧妙 ,简明的证明 .让读者认识到了特殊图形的魅力 .读后深受启发 ,笔者对该文例题作了进一步的思考 ,发现换一个角度 ,用方差来证明、也能体现解题过程的简捷明了 ,可与构图法殊途同归 ,相映成趣 .下面给出该文 5个问题的构造方差证明法 ,供同行参考 .问题 1　已知角α、β、γ满足条件 sinα +sinβ + sinγ=2 ,试证 :| cosα+ cosβ + cosγ|≤5 .证明 :因为 sinα,sinβ,sinγ的方差为S2 =13 [sin2α+ sin2β + s…     

例谈一个三角恒等式的妙用

在三角函数的化简、求值中,经常需要用到一个三角恒等式sin2α cos2α=1.若在学习过程中,灵活掌握这个恒等式的正用、逆用、变形应用,可迅速提高分析问题和解决问题的能力.     

证三角条件恒等式应注意的一个问题

所谓三角条件恒等式,就是在给定条件所包含的一切情况下都成立的三角等式.因此,证明三角条件恒等式时,必须证明该三角等式在给定条件所包含的一切情况下都成立;如果只     

一个三角不等式的简证

设 x,y,z 是任意实数,在△ABC 中,则有不等式x~2 y~2 z~2≥2xycosC 2zxcosB 2yzcosA(1)其中等号当且仅当 x:sinA=y:sinB=z:sinC 时成立.不等式(1)即三角形中著名的 Wolstenholme 不等     

一个三角不等式的简证

本刊1997年第4期上刊出《一个三角形不等式的加强》一文后,编辑部陆续收到了浙江富阳中学许康华老师(邮编:311400)、山东淄博四中艾志刚老师(邮编:255100)、河南新郑市一中刘银峰老师(邮编:451150)、陕西绥德中学王炜老师(邮编:718000)等来稿,他们均对此不等式提出更为简捷的证法,且证法都相同,现把他们提出的证法刊登出来,供大家参考.     

一个三角恒等式巧用

容易证明下列三角恒等式: sin~2α sin~2β=sin~2(α β)-2sinαsinβcos(α β) 这个三角恒等式结构对称,易于记忆,直接利用这一公式可简单求解一类高考题和竞赛题。     

一个新的三角恒等式

文[1]用两种不同的方法分别证得: 题1 在△ABC中,D为BC边上一点,AD分∠A为a,β,求证:     

一个新的三角恒等式

设a，b，c，R，r分别为三角形的三边长、外援圆及内切圆增径，则有［‘j最近，本人又证得以下不等式（证明从略）：比较上述两个不等式，作者发现一个新的三角恒等式．定理若a，b，c，R，厂分别为三角形的三边长、外接圆及内切圆半径，则证明根据三角形中的恒等式＊］知原式等价于将此式左端展开，整理可得所以，定理成立．一个新的三角恒等式@宋庆$江西省永修县一中!3303041宋庆。若干几何不等式的讨论.九江师专学报1998,6. 2R.A约翰逊著,单汉译.近代欧氏几何学.上海教育出版社,1999,8(第1版).…     

一个三角恒等式的一个应用

恒等式sin(α β)cos(α-β),=sinαcosα sinβcosβ=(1/2)(sin2α sin2β)揭示了正余弦的积与和差之间的密切联系,现举例说明它的应用.     

分离法证三角条件恒等式

证带有条件的三角恒等式,是三角解题教学中的难点之一,它难在学生把握不住解题方向,思路难于展开上。分离法证三角条件恒等式,思路简明清晰,易于掌握。当然,跟其他方法一样,它只适用于某些类型的问题。本文举例说明。 1 分离系数例1 已知cosA-(acosB-b)/(a-bcosB),求证:tg~2A/2/tg~2B/2=(a+b)/(a-b)。说明:由待证可知,要分离条件中余弦的系数a、b,由于是分式,常用合分比定理。证明:由已知并运用合分比定理得     

三角恒等式的一个来源

应用一元高次方程根与系数的关系证明或者分析三角恒等式,是初等或者中等数学研究的热点课题。文中构建了5个一元高次方程,根据方程根与系数的关系,得到三角恒等式的一个来源。     

一个三角恒等式的推广

在文[1]中,曾用复数方法证明了较为一般的一个三角恒等式,即cos(2π)/(2n+1)+cos(4π)/(2n+1)+……+cos(2nπ)/(2n+1)=—1/2 (A) 笔者认为(A)式还可以作如下的推广: 定理:若n为正整数,p为奇数,且     

一个三角恒等式的启示

在三角中,三角函数连乘积的证明、化简是一个难点。例如,“求证sin20°·sin40°·sin60°·sin80°=3/(16)”,一般需几次应用积化和差公式才能证得。仔细观察求证式,左端除了60°这个特殊角以外,其余三个角为20°、40°、80°,有一定的规律。由此我想起一个三角恒等式: sinα·sin(60°-α)·sin(60° α) =1/4sin3α(1) 如果在上题中令α=20°,则40°=60°-α,80°=60° α,利用(1)式来解决就简单了。证:左=(3~(1/2))/2sin20°sin(60°-20°) ·sin(60° 20°) =(3~(1/2))/2·(1/4)sin60°=3/(16)=右。仿照(1)式,我们还可以证明     

一个值得注意的三角恒等式

六年制重点中学高中代数第一册P_(233)—第10(2)题揭示了如下一个恒等式(证明简单,故从略): tgθ=ctgθ-2ctg2θ (1) 恒等式(1)极易记忆,应用它可以简捷地解答一些问题。     

一个三角恒等式的应用

三角恒等式tgA tgB tgC=tgA·tgB·tgC（A B C=π），是现行全国统编高中《数学》课本中的一个练习题，证明它成立的过程，并不太复杂，但它的应用范围却很广泛，不仅能解决三角中的一些问题，还能解决代数、几何中的许多问题。下面略举几例说明之。     

也谈一个不等式的两种简证

文[1]给出了如下一个常见不等式:(其中a,b,c为△ABC的三边)的两种证法,比较之我们     

一个三角恒等式及其应用

代入上式即得命题1．以下是命题1的几个等价命题．其中A,B∈R．命题2sin2A sin2B 2sinAsinBcos(A B)sin2(A B)命题3cos2A cos2B-2cosAcosBcos(A B)=sin2(A B)命题4sin2A＋cos2B-2sinAcosBsin（A＋B）=cos2（A B）;命题5cos’A＋sin’B—ZcosAsinBsin（A＋B）一。。S＼A十B）;台四6sin’A＋sin’B—ZsinAsinBcos（A—B）一幻DZ（A—B）;命囹7COS’A＋COS’B—ZCOOACOSBCOS（A—B）＝sin’（a一B）;命囹8sin’A＋cos’B—ZsinAcosBsin（A—B）一COSZ（A—B）;今囹＠。。s’A＋sin’B＋ZcosAsinBsin…