谈圆切于抛物线顶点的两个定理

1问题的提出例题在抛物线y=ax2(a>0)的上方(y≥ax2)求出与抛物线只有顶点交点的最大圆的方程.     

直线方程y0y=p(x0+x)的几何意义

文 [1 ]、[2 ]分别探讨了直线方程 x0 xa2 +y0 yb2 =1和直线方程 x0 xa2 -y0 yb2 =1的几何意义。两篇论文给出的结论对于研究椭圆和双曲线具有非常重要的意义。其实对于抛物线、圆也有类似的结论 ,作为对两篇论文的补充现给出抛物线与之相关的定理。定理 1　已知P0 (x0 ,y0 )是抛物线 y2 =2 px上的任意一点 ,则直线 y0 y =p(x0 +x)表示此抛物线上以P0 (x0 ,y0 )为切点的切线。证明　当 y0 >0时 ,抛物线的方程可以写成 y =± 2 px,则 y′=± p2 px,所以P0 (x0 ,y0 )为切点的切线的斜率为± p2px0,切线的方程为 y-y0 =± p2 px0(x -x0 ) ,即…     

直线方程yoy=p（x0＋x）的几何意义

文[1]、[2]、[3]分别给出了直线方程:x_0x y_0y=r~2,(x_0x)/a~2 (y_0y)/b~2=1,(x_0x)/a~2-(y_0y)/b~2=1的3种几何意义,笔者认为直线方程:y_0y=p(x_0 x)(p>0)也有类似的几何意义,而且它揭示了圆及二次曲线内在的一般规律.定理1:若点 P(x_0,y_0)在抛物线 y~2=     

解析几何问题的几种非常规处理法

遇到解析几何题,通常是从有关概念、定式(如公式、法则以及曲线标准方程等)和定法(即教材中介绍的基本方法)着手进行思考分析,寻求解题对策,虽一般能奏效,但有时会出现解题过程复杂甚至难以处理的局面.此时,若能针对问题的不同情况,采取一些非常规的解题方法去分析思考,常能将问题变繁为简,化难为易.1　曲线方程的非标准化处理例1　已知抛物线C:y2=2ax(a<0),过点(-1,0)作直线l交抛物线C于A、B两点,是否有以AB为直径且过抛物线C的焦点F的圆?分析　一般设直线l的点斜式方程y=k(x 1)(k≠0),代入方程y2=2ax,整理得k2x2 (2k2-2a)x k2=0.若存…     

由一个高考付题所想到的

你刊八O年三期登载的《19了9年全国高等学校招生考试数学付题》第十题: 在一抛物线y一ax’(系数a>o)的上侧(即y》ax’),求出一个与抛物线相切于原点的最大园。(16分) 解法要点是抓住两曲线相切于原点,只有一个公共点,从而得出最大园的方程为: rZ一xZ(rZ一x,)f“(o)二二 t 1、,1     

“二次函数”易错题选析

[例1]把抛物线y=x2向平移个单位再向平移个单位后得到抛物线y=x2-4x 7.[错解]右,4,上,7.[剖析]解答此题要先把一般式y=x2-4x 7,化成顶点式:y=(x-2)2 3,再根据抛物线的变换性质,判断平移的方向和距离.一般情况下,抛物线y=ax2与y=a(x-h)2 k形状相同,抛物线y=ax2向上(下)平移k个单位,再向左(右)平移h个单位,可以得到抛物线y=a(x-h)2 k.此题错解的原因是不熟悉抛物线的变换性质,没有把一般式y=x2-4x 7化成顶点式y=(x-2)2 3.[正解]右,2,上,3.[例2]已知二次函数y=ax2 bx c的图象如图所示,下列结论中:①abc>0,②b=2a,③a b c<0,④a-b c>0,正确的个…     

一个问题的解法探讨及推广

文 [1 ]中给出下面一道问题 :不垂直 x轴的直线与抛物线 y2 =2 px (p>0 )交于 A、B两点 (A、B不在同一象限 ) ,抛物线的准线与 x轴交于 N ,已知∠ AN B被 x轴平分 ,求证 :线段 AB经过抛物线的焦点 F.该文用方程法进行了证明 .文 [2 ]从抛物线的定义出发 ,利用平面几何的知识给出了一种较为简单的证明方法 ,并将结论推广到其他圆锥曲线中 .实际上该问题有多种证法 ,为此笔者作进一步的探究 ,供同行参考 .1　命题的证明1 .1　向量法如图 1 ,N的坐标为 (-p2 ,0 ) ,设 A、B两点的坐标分别为 (y212 p,y1) ,(y222 p,y2 ) ,(| y1|≠| y2 | )…     

抛物线的一个新参数方程及其应用

文[1],[2]对抛物线的参数方程进行了较深入地研究并加以归纳总结。本文将提出抛物线的另一种新的参数方程,用它解决关于抛物线的一些问题较简捷。设P(x,y)是抛物线y~2=2px(p>0)上任一点,θ为焦半径PF和x轴正向沿逆时针方向所成的角,则以θ为参数的抛物线参数方程是: 证明:设P(x,y)为抛物线上任_一点。(如图1)以抛物线焦点F为极点,以射线Fx为极轴建立极坐标系,则在极坐标系下抛物线方程为:     

问题探究发现推广——对两道高考试题的探究性学习

2012年全国高考数学福建卷文、理科解析几何试题分别是: 试题1 ,等边△OAB的边长为8√3,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p＞0)上.(1)求抛物线E的方程;(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.     

抛物线中的“四点”“五距”

一、抛物线中的"四点"抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的"四点"是指抛物线与x轴的两个A交点,与y的交点及抛物线的顶点(如图).抛物线与x轴的两个交点是A(x1,0),B(x2,0).其中x1、x2是当y=0时,方程ax2+bx+c=0的两根;     

圆锥曲线内接三角形一个性质的引伸

本刊2002(4)文[1]把文[2]的有两边与轴夹等角的椭圆内接三角形的性质(即文[1]的“定理”)移植到抛物线、双曲线(即文[1]的定理1、定理2),这三个定理揭示了椭圆、双曲线、抛物线的一个共性,读后颇受启发.本文把这一共性加以综合、引伸.并给出上述三个定理的一个简捷的统一证明. 我们把椭圆、双曲线、抛物线统一为圆锥曲线Г:f(x,y)=Ax2 Cy2 Dx Ey F=0.把文[1]的三个定理综合为. 定理设△ABC内接于圆锥曲线Г:f(x,y)=Ax2 Cy2 Dx Ey F=0,其两边AB、AC与Г的对称轴夹等角的充要条     

抛物线的一个有趣性质的引申及应用

《中学数学杂志》2005年第2期《新发现圆锥曲线的一个性质》一文(下称文[1])中,姜坤崇老师给出了抛物线的一个有趣性质.本文对文[1]的性质给予引申并提出过抛物线上一点的切线的一个新作法.为方便起见,先摘录文[1]的性质.性质1[1]给定抛物线C:y2=2px(p>0),O是顶点,过y轴上一点M(0,m)(m≠0)引直线交C于P、Q两点,记kOP,kOQ分别为直线OP、OQ的斜率,则kOP+kOQ为定值2mp.1该性质的几个引申引申1给定抛物线C:y2=2px(p>0),O是顶点,P、Q为抛物线上两点,记kOP,kOQ分别为直线OP、OQ的斜率.若kOP+kOQ为定值K(K≠0),则直线PQ必与y轴相交…     

与圆锥曲线的切线有关的一个结论及证明

文[1]给出了与抛物线有关的若干性质,其中性质1如下:已知抛物线C:y=px2,过Q(0,b)(b>0)的任一直线与曲线C交于M,N两点,过点M和N的切线的交点R的轨迹方程为y=-b.     

圆系方程问题再探讨

1.问题背景 文[1]及文[2]讨论了⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0及⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0无公共点时,方程x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+ F2)=0的意义,但均没有指明方程表示何种曲线. 本文试图通过对方程x2+ y2+ Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0及x2+ y2+ D1x+E1y+F1+λ(x2+ y2+ D2x+E2y+ F2)=0的分析,从而阐明:当直线l与⊙M及⊙C1与⊙C2相交(以下简称“相交圆系”)时,上述方程一定表示圆;当直线l与⊙M及⊙C1与⊙C2不相交(以下简称“非相交圆系”)时,上述方程可能表示何种曲线.     

用圆交点法求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程

1引言文[1]给出了椭圆标准方程的又一新求法(下称新法),方法新颖,比[2]中的方法及资料上常见的构造对偶式的方法简单得多,对教学及开阔学生视野有很大的益处.但笔者以为新法的陈述没有明确指出x,y表示的点(x,y)是椭圆上的任一点,这样,初学者不易理解.本文将新法的陈述加以改写,且称之为圆交点法,并用此法求出双曲线、抛物线的标准方程.2改写新法的陈述图1坐标系的建立(如图1),及a,c的意义同[2].设M(x,y)是椭圆上的任意一点,由椭圆的定义知,M点恰是以F1(-c,0)为圆心,r(0     

错在哪里

数学抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,它与圆x2 y2=9相交,公共弦MN的长为2(5~(1/2)),求该抛物线的方程．错解:设抛物线的方程为x2=2py(P∈R),M(x1,y1),N(x2,y2)．     

抛物线的一个特殊点

提到抛物线的特殊点,大家想到的是抛物线的顶点以及抛物线与坐标轴的交点,其实还有一个未被大家重视的特殊点,这个特殊点是P0,1a.　命题　过抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴上一点P0,1a,任作一直线(不与y轴重合)交抛物线于A、B两点,则∠AOB恒为90°.图1证明　设过点P0,1a的直线解析式为y=kx+1a,联立方程组得y=ax2,y=kx+1a.①②把①代入②,整理得ax2-kx-1a=0.∵Δ=(-k)2-4·a·-1a=k2+4>0,∴直线y=kx+1a与抛物线y=ax2必有两个交点.从而保证了∠AOB的存在性.设A(xA,yA),B(xB,yB),则根据根与系数的关系有xA·xB=-1a2,于是yA·yB=ax2A·ax2…     

合理选择直线方程形式 优化抛物线的解题过程

正拜读《中学生数学》2012年4月(上)张泽仙、高继慧撰写的《两根之积在解题中的特殊功用》一文(文[1]),感觉思路顺畅,颇受启发.但文[1]例3的解答是有"纰漏"的,为了杜绝此类"纰漏"的再现,特将原解呈现出来:文[1]例3过定点A(a,0)(a0)作抛物线y~2=2px(p0)的割线交于点M、N,求△OMN面积的最小值(O为坐标原点).错解再现:设M、N所在直线方程为y=k(x-a)(k≠0),将其代入抛物线方程,     

高中数学基础训练题（4）

直线与圆1.点 P(2 ,5 )关于直线 x+ y=0的对称点的坐标是(　 ) .(A) (5 ,2 )　　　 (B) (2 ,- 5 )(C) (- 5 ,- 2 ) (D) (- 2 ,- 5 )2 .点 M(2 ,0 ) ,N是圆 x2 + y2 =1上任意一点 ,则线段 MN中点的轨迹是 (　 ) .(A)椭圆　 (B)直线　 (C)圆　 (D)抛物线3.直线 ax+ 2 y+ 2 =0与直线 3x- y- 2 =0平行 ,那么实数 a的值为 (　 ) .(A) - 3　 (B) - 6　 (C) - 32 　 (D) 234.如果直线 l将圆 x2 + y2 - 2 x - 4y=0平分 ,且不过第四象限 ,那么 l的斜率的取值范围是 (　 ) .(A) [0 ,2 ]　　 (B) [0 ,1](C) [0 ,12 ](D) [0 ,- 12 ]5 .在直角坐…     

"圆锥曲线一个有趣的等比性质"再探

文[1]给出了圆锥曲线一个有趣的等比性质:如图1,以原点为圆心,半径为R(bb>0)在第一象限的部分于点A,直线BA与x轴交于点D,则BE2=BA·BD.上述结论对双曲线和抛物线仍然成立.