以相似三角形为基点 探圆中等积式的证明

多年来 ,圆中等积式的证明问题 ,一直是各省市中考几何压轴题中的一种常见题型 .本文试以相似三角形作为问题化归的基点 ,通过三种代换 ,进而向基点转化的方法 ,对圆中等积式的常见类型的证法进行探讨 .1　基本型 :a·b=c·d或 ab =cd1.1　直接证相似例 1　已知 :如图 1,⊙O1 与⊙O2 内切于P点 ,过P点作直线交⊙O1 于A点 ,交⊙O2 于B点 ,C为⊙O1 上一点 ,过B点作⊙O2 的切线交直线AC于Q点 .求证 :AC·AQ =AP·AB .(2 0 0 4年武汉市中考题 )分析　要证AC ·AQ =AP ·AB △ACP∽△ABQ .连结PC ,过点P作两圆的外公切线MN ,则…     

直径——圆中重要的辅助线

在解圆的有关问题时,若能巧妙地作出圆的直径,将能获得简捷的解题思路,现举数例如下.例1(2005年宁波市)如图1,△ABC内接于⊙O,∠B=30°,AC=2cm.⊙O的半径为.解:连AO且延长交⊙O于D,连CD,则∠ACD=90°,∠D=∠B=30°,所以AD=2AC=2×2=4,所以⊙O的半径为2cm.例2(2005年自贡市)如图2,P是⊙O的弦CB延长线上一点,点A在⊙O上,且∠BAP=∠C.求证:PA是⊙O的切线.证明:作⊙O的直径AD,连BD,则∠C=∠D,∠ABD=90°,即∠D+∠BAD=90°,所以∠C+∠BAD=90°.因为∠C=∠PAB,所以∠BAD+∠PAB=90°,即AP⊥AD,所以PA为⊙O的切线.例3(…     

一道冬令营试题的推广

题目在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△ABC的内切圆⊙O分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP.若∠BPC=90°,求证:AE+AP=PD.(2006,中国数学奥林匹克)本文指出,对任意三角形,类似的结论都成立.命题在△ABC中,设内切圆⊙O分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP.则∠BPC=90°的充要条件是AE+AP=PD.引理1自⊙O外一点A作⊙O的切线AE及割线APD(AP相似文献   

一个数学问题的简证

问题:⊙O1、⊙O2内切于P,⊙O1的弦AB切⊙O2于C,设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r,求证:AACP22=RR-r.这个问题曾两次刊登于《数学通报》的“数学问题解答”栏目,分别是问题1436和问题1578,并分别由两位老师给出不同的证明方法,笔者通过研究发现,利用平行线分线段成比例这一性质和圆的切割线定理可巧妙地解决这一问题,现给出这一问题简证如下.证明:因为⊙O1、⊙O2内切于P,所以O1、O2、P三点共线,如图连结O1、O2、P三点,并延长使其与⊙O1、⊙O2分别相交于M、N,连结AP,设其与⊙O2交于点D.当A、D分别与M、N重合时,由圆的切割线定理得:AACP22=MMNP=2R-2r2R=RR-r.当A、D与M、N分别不重合时,连结DO2、AO1,所以∠DO2N=2∠DPN,∠AO1M=2∠APM,则∠DO2N=∠AO1M.所以DO2∥AO1,AADP=OO11OP2=R-rR.又由切割线定理得:AACP22=AADP=RR-r.综上所述,AC2AP2=RR-r.(责任编辑李闯)一个数学问题的简证@罗建宇$张家港市暨阳高级中学!江苏215600     

对一道平面几何题进行探究性学习的几个方面

例题如图1,⊙O1与⊙O2外切于点P,两圆半径分别为R1,R2,且R1>R2,AB是两圆的外公切线,A,B为切点,AB与O1O2的延长线相交于点C,在AP的延长线上有一点E满足条件:AP∶AB=AC∶AE,求证:(Ⅰ)AC⊥EC;(Ⅱ)PC=EC.图11分析证明,串联基础知识分析(Ⅰ)连PB,O1A,O2B,由AP∶AB=AC∶AE,易知△APB∽△ACE.而要证AC⊥EC,只需证∠ACE=90°.因此,证题关键是证∠APB=90°,故只需证∠2 ∠3=90°.而∠2=∠1=90°-21∠AO1P,∠3=∠4=90°-21∠BO2P,又∠AO1P ∠BO2P=180°,故∠2 ∠3=90°.获证.(Ⅱ)由(Ⅰ),易证∠CPE=∠1=∠E,从而PC=B…     

用“折叠法”解决角平分线问题

当几何问题中出现“角平分线”时,我们常常构造全等对称图形来解,而全等对称图形实际上可以看作沿角平分线“折叠”.因此,直接用“折叠法”解决角平分线问题,有时更有效、更简捷.例1如图2,AD为ABC中∠A的平分线,AB>AC,P为AD上一点,求分证析:AB-AC>PB-PC.题中含有AD为ABC中∠A的平分线,因此可沿角平分线AD折叠ABP,得到全等对称图形AB′P.于是可在此三角形中讨论线段大小.证明延长AC到B′,使AB′=AB,连接PB′.在BAP和B′AP中,AB=AB′,∠BAP=∠B′AP,AP=AP,∴BAP≌B′AP,∴PB=PB′.在PB′C中,B′C>PB′-PC.…     

参考答案

<轴对称>单元测试题(一) 　　1.B 2.B 3.D 4.AC 5.C 6.C 7.4 △ABE与△ACF,△ABD与△ACD.AAED 与△AFD.△ABF与△ACE 8.23cm 9.冀A3075 10.(出) 11.连接BC,因AB=AC,DB=DC,故点A在BC的中垂线上,点D在BC的中垂线上.所以直线AD足线段RC的中垂线.PB=PC又因为AB=AC,AP=AP,所以△ABP≌△ACP(SSS).于是∠ABP=∠ACP.……     

参考答案

<轴对称>单元测试题(一) 　　1.B 2.B 3.D 4.AC 5.C 6.C 7.4 △ABE与△ACF,△ABD与△ACD.AAED 与△AFD.△ABF与△ACE 8.23cm 9.冀A3075 10.(出) 11.连接BC,因AB=AC,DB=DC,故点A在BC的中垂线上,点D在BC的中垂线上.所以直线AD足线段RC的中垂线.PB=PC又因为AB=AC,AP=AP,所以△ABP≌△ACP(SSS).于是∠ABP=∠ACP.……     

几何证明中添加辅助线的途径

一、构造基本图形，添加辅助线 例 1.如图 1，过△ ABC的顶点 C任作一直线与边 AB及中线 AD交于 F、 E两点，求证 . 证明 1：过 D点作 DG∥ AB交 CF于 G点， 证明 2：如图 2，过 D点作 DG∥ CF交 AB于 G点，下略 . 这里通过构造平行线分线段成比例定理的原型图形，添加了辅助线，使问题得到证明 . 二、构造经验图形，添加辅助线 例 2.如图 3，已知：⊙ O1与⊙ O2外切于点 P，两圆的外公切线 AB切⊙ O1于 A，切⊙ O2于 B， AC是⊙ O1的直径， CD切⊙ O2于 D，求证： AC=CD。 (连云港市中考题 ) 证明：利用例题 (＊ )，…     

托勒密定理及应用

1　基础知识托勒密定理　圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积 .证明 :如图 1 ,四边形ABCD内接⊙O ,在BD上取点P ,使∠PAB =∠CAD ,则△ABP∽△ACD ,于是ABAC=BPCD AB·CD =AC·BP .又△ABC∽△APD ,有BC·AD =AC·PD .上述两乘积式相加 ,得AB·CD +BC·AD =AC(BP +PD) =AC·BD .①注 :此定理有多种证法 ,例如也可这样证 :作AE∥BD交⊙O于E ,连结EB、ED ,则知四边形BDAE为等腰梯形 ,有EB =AD ,ED =AB ,∠ABD =∠BDE=θ ,且∠EBC +∠EDC =1 80°,令∠BAC =φ ,AC与BD交于点G ,则…     

证明带系数等积式的分析思路

证明线段等积式是平面几何的重要内容,也是学习的难点.当等积式中有一项的系数不为1,这就更增加了证明的难度.如何处理式中不为1的系数,这是证题的关键.本文介绍一种根据数字信息,证明带系数线段等积式的方法. 例题已知 PA、PB与⊙O相切于A、B两点,AC是⊙O的直径.求证:AB·AC=2PA·BC. (2002年湖北省襄樊市中考题) 分析:先将求证等积式中的系数“2”作如下变换(转化成     

从一道常见几何题到一道IMO竞赛题

问题1.过⊙O直径AB的两端点作⊙O的切线AD,BC.在⊙O上任取一点E,过E作⊙O的另一条切线交AD于D,交BC于C. 求证:(1)以CD为直径的圆与AB相切; (2)AD·BC为定值. 这是一道常见题. 在问题1中,让A,B两点发生变化,可得: 问题2.A,B为⊙O的一条直径所在直线上的两点,且AO=OB.过A,B两点     

一道中考试题的解法探究

<正>题目(2013南京)如图1,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦,过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连结AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D.连结AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.(1)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=9,BC=6,求PC的长.     

题组训练例谈

在解题过程中，先观察联想，探求解题思路，寻找条件和结论之间的联系，再从广度和深度上发掘所解题目的内涵.在解题之后，作探索性的变化，形成一个题组、一个系列,这样训练对提高解题能力很有好处.例１如图１，已知⊙O与⊙A相交于B、C两点，⊙O经过点A，过A作⊙O的弦AF交BC于D、⊙A于E.求证：AB２＝AD·AF．观察分析要证AB２＝AD·AF，只要证△ABD与△AFB相似即可.证明连接FB、AC，∵AB＝AC∴A B＝A C，∴∠BFA＝∠CBA．又∵∠BAF＝∠DAB，∴△ABD∽△AFB．初中生之友∴ABAD＝AFAB．∴AB２＝AD·AF．解题…     

一道由考试题的解法探究

题目（2013南京）如图1,AD是⊙0的切线,切点为A,AB是⊙O的弦,过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连结AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D．连结AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且〈BCP=〈ACD。     

如何证明同一直线上的线段成比例

不少的同学对于运用“三点定形”法证明线段的等比与等积得心应手,但对于同一直线上的线段成比例或者等积的题目感到困难·下面通过数例来介绍其方法·一例、1等线如代换图1,△ABC中,AB=AC,P是中线AD上一点,过C作CF∥AB交BP的延长线于F,BF交AC于E·求证:BP2=PE·PF·分析:三条线段在同一直线上,不能直接应用“三点定形”法证明,注意到P是BC垂直平分线上的点,可连PC,则PB=PC,即证PPCF=PPEC,可证△PCE∽△PFC·由∠EPC=∠CPF,易知∠ABP=∠ECP=∠F·所以命题得证·二例、2等比如代图换2,P为平行四边形ABCD对角线B…     

数学综合题归纳与训练 二、几何综合题

几何综合题大多是圆与平行线、三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用 .同学们在总复习阶段 ,适量地研究一些不同类型综合题的解法 ,有助于对几何图形的识别 ,有助于加强对重要定理的理解 ,有助于所学知识的融会贯通 ,更有助于对不同类型习题解题规律的掌握 .图 1例 1　如图 1,AC切⊙O于点A ,AB、AD为⊙O的弦 ,AB =AC ,AD∥BC ,BC交⊙O于点E ,AO的延长线交BE于F ,AO与DE交于G .求证 :(1)四边形ADEC是平行四边形 ;(2 )EG2 =18CF·CB .证明 :(1)由已知 ,有∠B =∠C .又∠B =∠D ,则∠D =∠C .因为AD…     

2011年全国高中数学联赛加试(B卷)几何题的简解及推广

2011年全国高中数学联赛加试(B卷)试题:如图1,过⊙O外一点A作⊙O的两条切线,切点分别为B,C.点D在线段BC的延长线上,CD=1/2BC.P为AD的中点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为Q,R,QR与BC交于点E.点M在线段CB的延长线上,BM=BC.N为AM的中点,过N点作⊙O的两条切线,切点分别为K,J,JK与BC交于点L.证明: (1)四点A,R,Q,D共圆;(2)MC/CL=BE/CE.     

“母子圆”的性质

这里把经过另一圆心的圆叫“母圆” ,把圆心在另一圆上的圆叫“子圆” .下面介绍母子圆的性质和相应的中考题 .图 1如图 1,点A在母圆⊙O上 ,子圆⊙A与母圆⊙O交于B、C ,点P是母圆⊙OBC的上的任意一点 (不与点B、C重合 ,且点A、P在直线BC的两侧 ) ,PA交BC于D ,设子圆⊙A的半径为r ,则有下列结论成立 (此文中结论与所注中考原题在形式上略有不同 ,但本质相同 ) .1 PA平分∠BPC .证明 :因为AB =AC ,所以 AB =AC ,所以∠BPA =∠CPA .2 ( 1) .△ABD ∽△APB∽△CPD ;2 ( 2 ) .△ACD ∽△APC∽△BPD .3 .PB·PC =PD·P…     

数学测试题

一、选择题1.下列计算正确的是()A.3a-1=31a B.a2 2a=2a3C.(-a)·3a2=-a6D.(-a)3÷(-a2)=a2.#16的平方根是()A.±4B.±2C.4D.-43.如果不等式组xx><3,$m有解,那么m的取值范围是()A.m>3B.m≥3C.m<3D.m≤34.如图,⊙O的两条弦AB、CD相交于点E,AC和DB的延长线交于点P,下列结论中成立的是()A.PC·CA=PB·BD B.CE·AE=BE·EDC.CE·CD=BE·BA D.PB·PD=PC·PA5.若⊙O1与⊙O2交于A、B两点,半径分别为2和#2,公共弦长为2,则∠O1AO2=()A.105°B.75°或15°C.105°或15°D.15°6.在△ABC中,AB=AC,BC=5cm,作AB的垂直平分…