一个不等式及其应用

定理设x_1∈R~+(i=1,2,…,n),且p、q∈N,p≥q 则(x_1~p+x_2~p+…+x_n~p)/(x_1~q+x_2~q+…+x_n~q)≥(x_1x_2…x_n)~((p-q)/n)。 (当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立)。证明根据幂平均——算术平均不等式:若x_1∈R~+,m≥1(i=1,2,…,n),则(x_1~m+x_2~m+…+x_n~m)/n≥((x_1+x_2+…+x_n)/n)~m(当且仅当x_1+x_2=…=x_n时等号成立)。     

试论韦达定理及其应用

1559年,法国数学家韦达提出一个关于一元n次方程根与系数关系的定理:设方程a_0x~n+a_1x~(n-1)+a_2x~(n-2)…+a_(n-1)x+a_n=0的n个根为x_1,x_2,…,x_n,那么x_1+x_2+…+x_n=-(a_1)/(a_0)x_1x_2+x_1x_3+…+x_1x_0+…+x_(n-1)x_n=(a_2)/(a_0)     

一个简单命题及其应用

命题 设|x_n|,|y_n|是两个正项数列,如果x_1>y_1,同时(x_n)/(x_(n-1))>(y_n)/(y_(n-1))(n≥2),那么x_n>y_n。 证明 x_n=(x_n)/(x_(n-1))·(x_(n-1))/(x_(n-2))…·(x_2)/(x_1)·x_1>(y_n)/(y_(n-1))·(y_(n-1))/(y_(n-2))…(y_2)/(y_1)·y_1=y_n。     

一道高考题的多种解法

题目(2009年广东卷理)已知曲线C_n:x~2-2nx+y~2=0(n=1,2,3,…),从点P(-1,0)向曲线C_n引斜率为k_n(k_n>0)的切线l_n,切点为P_n(x_n,y_n)(Ⅰ)求数列{x_n},{y_n}的通项公式.(Ⅱ)证明:x_1·x_3·x_5·…·x_(2n-1)<(1-x_n)/(1+x_n)~(1/2)<2~(1/2)sinx_n/y)n.分析:曲线C_n:(x-n)~2+y~2=n~2是以(n,0)为圆心,n为半径的圆,l_n:是过定点P(-1,0)圆C_n的切线,切点为P_n(x_n,y_n).     

一个条件不等式的背景、简证与推广

文[1] 在研究不等武:设 x_1,x_2,…,x_n≥0,且 x_1 x_2 … x_n=1,m∈N,则1/(1 x_1~m) 1/(1 x_2~m) … 1/(1 x_n~m)≤n~(m 1)/(1 n~n)(0)的证明时,需证明如下条件不等式:若 a,b,c>0且 a b c=1,则     

一道自主招生试题的推广与加强

题目有小于1的正数x_1,x_2,…,x_n满足x_1+x_2+…+x_n=1.证明:sum from n to i=1 1/(x_i-x_i~3)>4.此题为2010年浙江大学自主招生试题.文[1]经过探究,发现可以加强为:命题1若x_1,x_2,…,x_n为小于1的正数,且x_1+x_2+…+x_n=1,则     

不定方程x_1+x_2+…+x_n=1的非负整数解

[定理1] n元一次不定方程x_1+x_2+…+x_n=r的非负整数解共有C_((n+1)_(-1))~(n-1)个(r∈N)。证:考虑由r个1与n-1个0作成的一个排列。令x_1等于排列中第一个0左边1的个数,x_2等于第一个0与第二个0之间1的个数,…,x_n等于最后一个0右边1的个数。例如n=4,r=8,则排列11011110011对应解     

求递推数列X_(n+1)=ax_n+b/cx_n+d通项的新方法

文[1]、[2]给出了递推数列x_(n+1)=(ax_n+b)/(cx_n+d)通项的若干求法。本文将给出一种新的求法,而此方法在讨论该类型递推数列的存在性和周期性时是较方便的。设c≠0,则上述递推公式可化为x_(n+1)=(Px_n+Q)/(x_n+R) (1) 在由(1)式及x_1直接递推x_2,x_3,x_4等项的过程中容易发现:在一般情况下,x_n可表示成x_n=(a_(n-1)x_1+b_(n-1)Q)/(c_(n-1)x_1+d_(n-1)) (2)因此,只要能求出a_(n-1),b_(n-1),c_(n-1),d_(n-1),就不难求得x_n({a_n},{b_n},{c_n},{d_n}为辅助数列)。为此,不妨设     

从一道高考题的错证看学点数理逻辑的必要性

1986年全国高考试卷中有这么一道题: 已知 x_1>0,x_1≠1,且x_(n+1)=(x_n(x_n~2+3))/(3x_n~2+1)(n=1,2,3…) 求证数列{x_n}或者对任意自然数n都满足x_nx_(n+1)。这题有不少证法,拙作《递推式》(上海科技出版社1989年版)中曾引了五种证法。高考结束后,在一份数学杂志上曾刊登了一则利用反证法的证明。兹将它摘录如下: “证”若设{x_n}对任意的自然数n既不满足x_nx_(n+1),则应满足x_n=x_(n+1)。再由题设可得 x_n=(x_n(x_n~2+3))/(3x_n~2+1) 3x_n~3+x_n=x_n~3+3x_n ∴x_n=0,1,-1。     

凹凸函数性质的应用

定义.如果对于f(x)的定义域D中的任意x_1,x_2,有f(x_1+x_2)/2≥(≤)则把f(x)叫做D上的上凸(下凸)函数。定理.如果f(x)是D上的上凸(下凸)函数则对于x_1,x_2,…,x_n∈D,n∈N,有f(x_1+x_2+…+x_n)/n≥(≤)f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_k)/n下面我们用凹凸函数的性质证明一类不等式。     

不等式(a+1/a)(b+1/b)≥25/4的再推广

目前已有人把(a+1/a)(b+1/b)≥25/4(a>0,b>0,a+b=1)推广为:设x_i>0(i=1,2,…,n)且x_1+x_2+…+x_n=k,则(x_1+1/x_1)(x_2+1/x_2)…(x_n+1/x_n)≥(n/k+k/n)~n当且仅当x_1=x_2=…=x_n=k/n时取等号。本文对该不等式进一步作了推广,得出两个新的结果。欲知情况如何,请看该文。     

利用一个不等式巧解竞赛题

本文给出一个非常简单的不等式,并用于解证几道国内外数学竞赛题。由a~2+b~2≥2ab(a,b∈R),即a~2≥b(2a-b)可得推论若a,b∈R且b>0,则a~2/b≥2a-b。当且仅当a b时取等号例1 已知x>0,(?)1,2…,n,求证: x_1/x_2+x_2/x_3+…+x_n/x_1≥x_1+x_2+…+x_n。 (1984年全国高中数学联赛试题) 证明:由推论得 x_1/x_2≥2x_1-x_2,x_2/x_3≥2x_2-x_3,…,x(?)/x_1≥2(?)-x_1。将以上n个同向不等式两边相加,得     

一个三角不等式的代数推广

匈牙利第二十二届奥林匹克数学竞赛有这样一道题: 证明若是锐角,则 (1+1/sina)(1+1/cosa)>5. 众多杂志上已征得了它的加强 (1+1/sina)(1+1/cosa)≥3+2 2~(1/2). 观察上面的结论,我们不难看出sina与cosa的约束条件无非是sin~2a+cos~2a=1,而3+2 2~(1/2)可化为(1+2~(1/2))~2。由此,笔者将上面的三角加强式作如下的代数推广: 若x_1、x_2、…、x_n为正数,且x_1~2+x_2~2+…+x_n~2=1,则     

Jensen不等式在处理一类竞赛题不等式中的应用

<正>Jensen不等式[1]:若函数y=f(x)是(a,b)上的凸函数,则对任意x_1,x_2,…,x_n∈(a,b)都有f(x_1+x_2+…+x_n/n)≤f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_n)/n.其中等号当且仅当x_1=x_2=…=x_n时成立.Jensen不等式反映了凸函数的一个基本性质,它有着极其广泛的应用.本文中我们利用此不等式     

浅谈算术平均数在极值问题中的应用

我们知道,n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。即若x_1,x_2,…,x_n∈k~ ,且n>1,有:(x_1 x_2 … x_n)/n≥(x_1x_2…x_n)~(1/2),其中,等号当且仅当x_1=x_2=…=x_n时成立。利用此不等式可求一些函数的     

有奖解题擂台(117)

<正>题设:x_i为正实数(i=1,2,…,n),且x_1x_2…x_n=1,n∈N,n>3,m是实数,则当m≥n-2或m≤-n+1时,有sum from i=1 to n x_i^m/((1+x_1)…(1+x_(i-1)(1+x_(i+1)…(1+x_n))≥n/2m/((1+x_1)…(1+x_(i-1)(1+x_(i+1)…(1+x_n))≥n/2^(n-1).第一位正确解答者将获得奖金100元.     

也谈1984年高考数学第八题的解法

题:设a>2,给定数列{x_n},其中x_1=a,x_(a+1)=x_n~2/2(x_n-1),(n=1,2,…)。求证(1) x_n>2,且x_(n+1)/x_n)<1(n=1,2,…);(2) 如果a≤3,那么x_n≤2+(1/2~(n-1)(n=1,2,…)(3) 如果a>3,那么当n≥lg(a/3)/lg(4/3)时,     

迎新趣题一则

求正整数n和x_1、x_2、x_3、…、x_n,使x_1+x_2+x_3+…+x_n=1987,且积x_1·x_2·x_3·…·x_n尽可能地大.     

求解非线性方程的迭代算法

为了求解非线性方程f(x)=0,本文给出一个新的迭代算法,即 x_(n 1)=x_n-(x_n-x_(n-1))/(3f(x_n)-4f((x_n x_(n-1)/2) f(x_(n-1))f(x_n)这个新方法集弦割法和抛物线法的优势于一身,具有更快的收敛速度,已经证明:这个新方法的收敛阶至少是二阶的。     

用特征方程组法求一类分式型递推数列的通项公式

例1 已知数列(x_n)满足初始条件x_1=3和递推关系x_(n 1)=(3x_n 2)/(x_n 1)(n∈N),求通项公式x_n.