求最大公约数的五种简便方法

在小学数学教学中,求最大公约数的方法有分解质因数法和短除法。本文介绍求最大公约数的五种特殊方法,以供教学时参考。 (一)若b|a,则(a,b)=b 证明:因为b|a,所以b的约数即为a、b的公约数,而在b的约数中b最大,所以(a,b)=b 例1 求15和45的最大约公数。(六年制小学数学课本第十册第44页)     

数学的未解之谜

古希腊毕达哥拉斯学派的人常说:“谁是我的好朋友,我们就 会像220和284一样.” 为什么“220”和“284”象征着好朋友呢? 原来220除去本身以外还有11个约数,它们是1,2,4,5,10,11, 20,22,44,55,110.这11个约数的和恰好等于284.同样,284的约数 除去它本身以外还有1,2,4,71,142,它们的和也恰好等于220.也就 是: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284, 1+2+4+71+142=220. 这两个数是你中有我,我中有你,相亲相爱,形影不离.古希腊 的数学家给这样的两个数起名叫“相亲数”或“亲和数”.220和284 是人类发现的第一对“相亲数”,也是最小的一…     

定向量子余代数与其自身张量积上的定向量子余代数结构(英文)

定向量子代数(定向量子余代数)是拟三角Hopf代数(余拟三角Hopf代数)的推广并且可以得到定向1-1缠绕、定向扭结和连接的正则合痕不变量.令(H,σ,D,U)为域k上的定向量子余代数,则(H(×)H,ψ,D(×)D,U(×)U)为余代数H与其自身张量积上一个平凡的定向量子余代数结构,其中ψ(a(×)b,c(×)d)=ψ(a,c)ψ(b,d).本文给出余代数H H上的一种定向量子余代数结构(H(×)H,σ,D(×)D,U(×)U),其中σ(a b,c d)=σ-1(D1,a1)·σ(a2,c1)σ-1(d2,b1)σ(b2,c2).进一步得到定向量子余代数与其自身张量积上的一种非平凡的定向量子余代数结构,这一结果对偶于Radford发表于2007年的一文中的结论.理论上本文的结果对于构造定向扭结和连接不变量是非常重要的.     

竞赛常用知识手册

数论部分1　整除1.定义对于整数a、b(b≠0),存在整数q,满足a=bq就叫做a能被b整除,记作b|a.其中a叫做b的倍数,b叫做a的约数(因数).若b≠±1,则b叫做a的真约数.若a不能被b整除,则记作ba.如果at|b,at 1b,t∈N,记作at‖b.2.关于整除的一些简单性质(1)b|0,±1|a,a|a(a≠0).(2)若b|a,     

分数分解的定理与方法

一、预备知识——共轭约数 对于一个自然数N来说,如果它能表示为两个不同自然数a与b的积,即 N=ab (a≠b) 那么称呼a与b为N的一对共轭约数。     

一个数论函数方程

对于正整数a,设σ(a)是a的不同约数之和.本文证明了方程∑nk=1σ(k!)=(n(n 1)/2)!,仅有正整数解n=1.     

一道IMO试题的推广

设a,b,c为三角形的三边长,证明: ∑a~2b(a-b)≡a~2b(a-b)+b~2c(b-c)+c~2a(c-a)≥0 (1) 这是第24届IMO的一道试题. 经探讨,我们得到了与(1)类似的如下不等式: ∑a~3b(a-b)≥0 (2) ∑a~4b(a-b)≥0 (3) 证令a=y+z,b=z+x,c=x+y,并记σ_1=x+y+z,σ_2=xy+yz+zx,σ_3=xyz(x,y,z>0),则∑a~3b(a-b)=∑(σ_1-x)~3(z+x)(y-x)=∑(σ_1-x)~3(σ_2-x~2-2xz)=σ_2∑(σ_1~3-3σ_1~2x+3σ_1x~2-x~3)-∑(x+2z)(σ_1~3x-3σ_1~2x~2+3σ_1x~3-x~4)     

相亲数

人们常用“你中有我,我中有你”来表达两个人的亲密关系。令人惊奇的是:在无声无息的数字世界中,竟然也有这样关系密切的“相亲数”!220与284就是这种“你中有我,我中有你”的相亲数,它们的特点是:彼此的全部约数和(本身除外)都与另一方相等。把220的全部约数(除掉本身)相加是:1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284同样,把284的全部约数(除掉284本身)相加是:1+2+4+71+142=220相亲数,使古今中外的数学爱好者产生了极大的兴趣。大数学家弗尔马、笛卡尔和欧拉等人也都进行过研究。特别是欧拉,他在1750年一口气向公众宣布了60对相亲数,这使人们大…     

亲和数

亲和数指的是:对于自然数 m 和 n,若 m 的全部因数(不包括自身)之和恰好等于 n,而 n 的全部因数(不包括自身)之和又恰好等于 m,则 m 和 n 是一对亲和数.例如,220的全部因数之和1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 110=284,而284的全部因数之和1 2 4 71 142=220.所以220和284是一对亲和数1 历史最早明确地给出亲和数的是毕达哥拉斯,他只知道220和284这对亲和数.这是远古时期人们找到的唯一一对亲和数.公元9世纪,阿拉伯学者塔比·伊本·库拉(Thabit ibn Qurra,826～901)发现了一个求亲和数的公式:设 a=3·2~n-1,b=3·2~(n-1)-1,c=9·2~(n-1),其中 n 是大于1的正整数,则当 a、b 和 c 都是大于2的素数时,2~nab 和2~nc 是一对亲和数.验证:当 n=2时,a=11,b=5,c=71,都是素数.     

一个关于Peano公理的注记

证明了关于自然数集■的Peano公理系统中的第五条公理(即数学归纳原理)与命题I:■1≠b∈■,■a∈■∈.σ(a)=b及命题II:{1}∪σ(■)=■三者是等价的.从而,用该二命题中之任一去取代数学归纳原理而形成的公理系统与Peano公理系统等效.     

求约数和公倍数的策略

在数学竞赛中,我们常常遇到求约数和公倍数的问题.在解这类问题之前,要掌握以下基本知识. 对于两个整数a、b(其中b≠0),若a=bq的整数q存在时,则称a是b的倍数,b是a的约数     

方程δ(xm)=yn的素数解

对于正整数a,设δ(a)是a的约数和,本文讨论了方程δ(xm)=yn的素数解.     

一个容易忽视的解(高一、高二、高三)

题a、b为常数,且a≠0,函数f(x)=x/(ax+b),同时满足条件: (1)f(2)=1; (2)方程f(x)=x有唯一的解.求a、b的值.     

从函数观点看数列

例1如果函数f(x)满足:对任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)f(b),且f(1)=2,则f(2)/f(1)+f(5)/f(3)+f(9)/f(6)+f(14)/f(10)+…+f(1274)/f(1225) =__.解在等式f(a+b)=f(a)f(b)中,令b=1,则有f(a+1)=f(a)f(1)=2f(a),所以,数列{f(n)}是以2为首项,2为公比的等比数列,因而     

约数和倍数教学设计

约数和倍数这节课的教学要求有两点,一是理解约数和倍数的意义,知道一个数的约数的个数是有限的,它的倍数的个数是无限的;二是会正确表述a是b的倍数、b是a的约数。会找出一个数的约数和倍数。围绕这两点要求,教师可按以下步骤教学。 1.建立约数和倍数的概念开始,教师让学生判断下列5组数中哪一组的第一个数能被第二个数整除。(制成卡片出示)     

数学奥林匹克初中训练题(11)

第一试 一、选择题(每题6分,共36分) 1.a,b是1995的正整数约数,则有序数对(a,b)的个数是( )。 (A)16 (B)32 (C)64 (D)256 2.正数a,b,c,x,y,z满足a 2x=2b 3y=3c 4z=k,若M=ax by cz,则M的取值范围是( )。     

初一数学第一章奥赛题精解

例1 设m和n为大于0的整数,且3m+2n=225,如果m和n的最大公约数为15,求m+n的值.(第11届“希望杯”初一试题)解因为(m,n)=15,故可设m=15a,n=15b,且(a,b)=1.因为3m+2n=225,所以3a+2b=15.因为a,b为正整数,所以可得a=1,b=6或a=b=3,但(a,b)=1,所以a=1,b=6.从而m+n=15(a+b)=15×7=105.     

再谈一道竞赛题的解法与推广

贵刊2000年第8期刊登了一篇文章《从一道竞赛题谈起》,原文对1999年12月第十四届江苏省初中数学竞赛的一道试题列举了五种解法,并进行初步的推广.笔者认为该题还有一种新的求解途径,并可以进行更一般性的推广.题目　已知a,b,c,d是四个不同的有理数,且(a c)(a d)=1,(b c)(b d)=1,那么(a c)(b c)的值是.解　作函数f(x)=(x c)(x d)-(x-a)(x-b)-1,1其次数低于2.由f(a)=f(b)=0且a≠b可知　　　　f(x)≡0.2从而　　f(-c)=0.即　　　(a c)(b c)=-1.评注1　将构造的函数1展开,有f(x)=(a b c d)x (cd-ab-1),根据恒等式2有a b c d=0,cd-ab=1.　　　　…     

数的整除

小学数学研究的主要对象是整数,而数的整除性则是研究整数性质的基础,所以每个小学数学教师对这部分知识都应当牢固掌握,并有更深一步的了解.数的整除理论的初步知识一、数的整除性1.整除、约数和倍数的意义.在整数范围内,如果一个整数a除以一个自然数b,能得到一个整数商q,使得a=bq(即余数是零),那么,就说b整除a或a被b整除,记作b|a(或a(?)b).此时把b叫做a的因数或约数,把a叫做b的倍数.     

共线向量在解题中的应用

向量a与b(b≠0)共线的充要条件是a=λb(或x1y2-x2y1=0).这一结论在近几年高考的解析几何问题中比较常见.本文例谈用它处理三角及代数问题.例1已知一次函数f(x)=ax b且-1≤f(-1)≤2,-2≤f(2)≤3,求f(3)的取值范围.分析由条件知f(-1)=-a b,f(2)=2a b,f(3)=3a b.构造向量a=(2-(-1)