数学(三)期末复习自测题

一、复数 1.数_称为虚数单位。 2.i的幂有周期性,所以_=1、 =1、=i、=-i。 3.1 i i~2 … i~(50)_。 4.复数Z的代数形式是_、三角形 式是_。 5.复数Z=a bi(其中a、b都为实数)中a叫做_、bi叫做_、b叫做_;Z表示实数需满足_,Z表示0需满足_且_,Z表示虚数需满足_,Z表示纯虚数需满足_且_。 6.两个复数Z=a bi、Z_1=c di ,Z=Z_1的条件是_和_。 7.如果两个复数都是_,可以比较大小,如果_,就不能比较大小。 8.在复平面上x轴称为_,y轴称为_,原点O在_上,它表示_。 9.两个互为共轭复数Z与的实部 _,虚部_;Z =,Z-= ,Z·=,=。 10.复数Z=a bi可以用复平面以 _为起点,点_为终点的向量来表示,向量的_叫做这个向量的模。 11.复数Z=a bi(a≠0)的幅角θ可用公式_求得,模可用公式_求得。两个共轭复数的模_。 12.Z=a bi化成r(cosθ iSinθ)来表示,其中模r=_,幅角θ有公式cos=_,sinθ=_。 13.复数幅角θ的主值取_,在电     

复数的三角不等式的推广应用

设Z_1、Z_2是不为零的复数,则||Z_1|-|Z_2||≤|Z_1±Z_2|≤|Z_1|+|Z_1|．(1)我们把(1)式叫做复数的三角不等式,等号当且仅当复数Z_1、Z_2的对应向量OZ_1、OZ_2同向时成立．其几何意义为“三角形的两边之和大于第三边．两边之差小于第三边．”根据复数模的性质和绝对值不等式的性质还可以推广如下：设Z_1、Z_2、Z_3是不为零的复数,     

利用复数知识证明线段的平方或积的和差问题

证明线段的平方或积的和差问题,历来是平面几何中一类较难的问题。近年来不少从事数学教学的同志,对这类问题作了一些有益的探讨。本文就这类问题试图利用复数知识给予证明。 中学数学课本中明确指出复平面内的点、位置向最（起点为原点的向量）、复数三者之间两两建立了一一对应关系,基于这种一 一对应关系,本文把三者等同起来,不加区分地记为x yi=点P=OP。 根据复数z的模|z|表示复平面上点Z到原点的距离,向量Z_1Z_2可以用复数Z_2-Z_1来表示,而向量Z_1Z_2的长度就是|Z_2-Z_1|.这样,我们就得到了复平面内计算任何两点Z_1、Z_2之间的距离公式     

巧用复数理论解决初等数学问题

在很多问题中,巧妙地利用复数,会使问题简洁明快。不等式问题,在数学当中有着广泛的应用,在本文中,我们将复数模的基本性质、复数的几何意义,复数间形式的转化,复数与向量的关系等应用到基本实数不证明的证明当中。     

复数模的三角形不等式及其应用

我们知道,对任意两个复数Z_1、Z_2有:|Z_1|-|Z_2|≤|Z_1+Z_2|≤|Z_1|+|Z_2| (1)左边的等号当且仅当Z_1与Z_2反向时取得,右边的等号当且仅当Z_1与Z_2同向时取得.这个不等式的证法较多,下面我们用复数的三角形式证明如下:     

复数在证明三角恒等式中的应用

复数的应用极其广泛,本文拟就复数在证明三角恒等式中的应用作一介绍。复数 Z 的模用 r 表示,幅角用θ表示,这里 r≥0,0≤θ≤2π.每一个不等于零的复数Z 与有序实数对(r,θ)一一对应;当 Z=0时,规定 r=0,θ不确定。我们知道,每一个复数 Z 都可以表示成三角形式;反过来,三角函数也可用复数表示出来。例如:设     

一道题的联想

六年制重点中学高中数学课本《代数》第二册上有这样一道题:设点Z表示复数z,在复平面内如何通过画图的方法找出表示复数z (3 4i)的点按题目的要求,可随意确定点Z,找出点Z_0(3,4)。然后根据复数的几何加法——向量的平行四边形法则,画出以OZ、OZ_0为邻边的□的对角线OZ_1,则点Z_1表示复数     

关于最小模定理的一个证明

最小模定理通常有最大模定理推得。本文用Frode Terkelsen在推证代数学基本定理一文中提出的方法,对最小模定理补出一个直接的证明。定理设f(Z)是区域D内不恒等于常数的正则函数,且在D内无零点,则f(Z)在D内不能取到最小模。证明假设f(Z)在Z_0∈D取到最小模,则由f(Z)的正则性,在Z_0~(?)的某个邻城N(Z_0,ρ)(?)D内可展成幂级数     

正确理解“出活题,考能力”——高考理科数学第五题阅后

高考理科数学第五题为: “设O为复平面的原点,Z_1和Z_2为复平面内的两个动点,并且满足:(1)Z_1和Z_2所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ(0<θ<π/2),(2)△OZ_1Z_2的面积为定值S。求△OZ_1Z_2的重心Z所对应的复数的模的最小值。”这道题,考生只要概念清楚,能根据已知条件写出复数的表达式、三角形重心的坐标公式、复数模的表达式(或两点间的距离公式)、三角形两边与夹角表示的面积公式,按评分标准就可得10分(本题满分15分)。如果考生有较清晰的思路,能够进行基本的三角恒等     

共轭复数的性质及其应用

本文将对拙作《“复数”问题的解题方法和技巧》(载本刊1981年第5期)中未涉及到的方面进行初步论述,作为对原文的补充。在正式讨论之前,先约定用Z表示复数Z的共轭复数。一、共轭复数的性质共轭复数的下述一些性质都是为大家所熟悉的,故只抄录于后而将证明留给读者。     

复数的模和辐角主值解题要领

求复数的模和辐角主值是复数内容中的重点和难点之一,尤其是当复数的实部和虚部都是用三角函数表示时,不少学生感到无从下手。本文试介绍一些解题要领,以帮助学生掌握解题规律,提高解题速度。一、形女X＋yi（X,y6R）的复数例1、已知复数Z＝1＋i,求复数Z‘3Z＋6,。。。。。、。二7牛一二的模和辐角主值。Z＋1。、。,、。,。、。u1－i的模r＝JZ,它的对应点ng四象限,且辐角日的例2、设复数Z＝。。s日十isin6,日6（。,2。）,求复数Z‘＋7的模和错角上倩。说明：此题学生往往误以f即三角形式,因而得出模为;半。——。H、形…     

解与复数相关的不等式赛题

(本讲适合高中)众所周知,复数是没有大小关系的,但与复数的几种表示形式有关的一些局部元素是可以有大小关系的(如复数的模、实部、虚部、幅角等),它沟通了代数、三角、几何等知识间的联系,也为解题者应用复数知识解决相关问题指明了方向.在近几年国内外数学竞赛中,与复数有关的不等式赛题特点鲜明,难度较大.本文主要立足代数与几何方法探索其解题策略,以期抛砖引玉.常用到的复数性质(不等式):     

应用复数模不等式巧解等式问题

用复数模不等式|z_1 z_2|≤|z_1 |z_2|解决一些条件等式的证明问题,往往有意想不到的效果.     

一道高考数学试题解法的分析与评论

今年全国高考(理工农医类)数学第五题是一道很好的试题.命题如下: 设O为复平面的原点,Z_1 和Z_2为复平面内的两个动点,并且满足: (1)Z_1和Z_2所对应的复数的幅角分别为定值θ和-θ(0<θ<π/2), (2)△OZ_1Z_2的面积为定值S. 求△OZ_1Z_2真的重心Z所对应的复数的模的最小值. 应用本题给出的条件解题最基本的要求就是(复)平面上的点与复数构成一一对应.复数     

从一道试题谈起

前几年有一道高考试题:设0为复平面内的原点,Z_1和Z_2是两个动点,且它们对应的复数辐角分别为定值θ和-θ(0<θ<π/2),△OZ_1Z_2的面积为定值s。求△OZ_1Z_2的重心Z所对应的复数模的最小值。此题虽难度不大,但涉及知识面广,比较灵活,有新意。若借此题以发挥,则对启发学生思维是有好处的。例如改变题目的要求,求△OZ_1Z_2的重心Z的轨迹方程。     

巧用双曲线解题

例1.O 为复平面原点,Z_1和 Z_2为动点,且满足:(1)Z_1与 Z_2对应复数幅角为定值θ和-θ(θ<θ<π/2);(2)△OZ_1Z_2面积为定值 S.求△OZ_1Z_2重心所对应复数模的最小值.     

一种求辐角主值的简便方法

求复数1+cosθ+isinθ(0<θ<π/2)的辐角主值的习题,很多同学见到这样的题,只能用三角公式去“凑”,若将符号进行一些变化,用这种方法不但很费时,而且也容易出错。下面介绍一种简便的方法,供参考。求复数Z=1+cosθ+isinθ(0<θ相似文献   

浅谈复数在数学解题中的应用功能

复数的几何表示和复数运算的几何意义,揭示了复数和平面上图形的对应关系;复数模的大小则指明复数和不等式及最值关系密切;复数的三角表示则又沟通了复数与三角函数之间的内在联系。因此复数知识在解决数学问题中发挥了广泛的作用。一、复数在求最值中的应用功能复数模的范围可用不等式表示,而求最值则要借助于不等式,由此运用复数的这一性质又开辟了一条求最值的新思路。例1已知复数ｚ1、ｚ2满足关系式|ｚ1|2 |ｚ2|2=1,设ｚ=ｚ1·ｚ2,若ｚ=ｘ ｙｉ(ｘ、ｙ∈Ｒ),求ｘ ｙ的最大值和最小值。解:∵|ｚ1|2 |ｚ2|2=1,而|ｚ|=|ｚ1|·|ｚ2|≤|ｚ1|2…     

Gauss整数环的商环的一种显式刻画

用Z[i] 表示Gauss整数环,对于Z[i]的任一个非零理想I=（m ni),商环Z[i]/I的元素的具体表示形式被给定,特别,当（m,n）=1时,Z[i]/I≌Z_(m~2 n~2),这里Z_(m~2 n~2)是整数模m~2 n~2的剩余类环。     

不设而解—处理复数问题的重要方法

复数是中学代数的重要内容之一,复数沟通了代数、三角、平几、解几等各部分数学知识,因此处理复数问题时方法十分灵活,一个题常可有多种解法。如常见的,求复数 Z 在复平面上对应的点的轨迹(或求|Z|的最值)时,常设 Z=x yi(x,y∈R),将 x,y 表成同一参数的解析式,再消去其中参数,得到平面解几中关于 x,y 的普通方程,这时不难画出其图形,也不难直接从图形得出|Z|的最值;如果题目条件中已知某复数|Z_0|=r 甚至|Z_0|=1,这时一般采用三角形式 Z_0=r(cosθ tsinθ)更为方便(这时常需研究 r,θ的关系)。