a~2+b~2=0a=b=0

“a２＋b２＝０a＝b＝０”这一符号语言翻译成自然语言为“实数a，b的平方和等于零与a＝０和b＝０等价”，也就是说“如果a＝０且b＝０，则a２＋b２＝０；反过来，如果a２＋b２＝０则a＝０且b＝０”．如果a＝０且b＝０，则a２＋b２＝０＋０＝０显然成立．反过来，如果a２＋b２＝０，如何证a＝０且b＝０呢？那就不是很容易了．a、b与零的关系，有下列四种情况：１°a＝０且b＝０；２°a＝０而b≠０；３°a≠０而b＝０；４°a≠０且b≠０．要证明a＝０且b＝０成立，那就得推翻２°、３°、４°都不成立．２°、３°、４°可用一句话概括，即a…     

漫谈公式a b c=0<==>a~3 b~3 c~3=3abc在解题中应用

设a、b、c是不都相等的实数,则有下列公式:a b c二0 令乡a3 b, c’二3abc, 因为:a, b’ e,一3abc=(a b e)(a: 乙2 c:一a6一石c一ea)=于(a b c)〔(a一乙)2 (丢一c)2 (a一c).〕当a、西、e不都相等时,(a一乙)2 (b一c)2 (a一e)2特0(>0),所以a 右 c二o牵今a, b3 c3一3a乙e二0,即 a b     

条件等式a~3+b~3+c~3=3abc的应用

由a3+b3+e3一3abc=(a+b+e)(aZ十bZ+eZ一。b一bc一c。),则当a+b+‘~o时,有aa+b3+‘,一3abc. 下面例谈上述条件等式在解题中的应用. 例i已知。一b一3,那么a3一b,一gab的值是(). (A)3(B)9(C)27(D)81 (第9属“希望杯”初二赛题) 解丫a十(一b)+(一3)=0, .,.“3十(一b)3十(一3)3~3召·(一b)·(一3), 即a3一吞3一gob~27.故应选C· 例2已知。+b~5,那么矿+15ab+bs的值是(). (A)5(B)25(C)75(D)125 解‘:a十b十(一5)=o, 一。,+b,十(一5)3=3ab·(一5), 即a3+b3+15ab~125.故应选D. 例3如果a+b一6,a3+b3=72,那么。2+b,的值是 (第7届“希望杯”初二赛…     

条件a+b+c=0在解题中的应用

在各类考试中经常出现条件为a+b+c=0的问题.本文分类举例,说明如何灵活应用条件a+b+c=0,使问题得到解决.一、若a+b+c=0,则有a+b=-c;b+c=-a;c+a=-b例1(1998年全国初中生数学竞赛题)已知:abc≠0,并且a+bc=b+ca=c+ab=p,那么直线y=px+p一定过()(A)第一、二象限(B)第二、三象限(C)第三、四象限(D)第一、四象限解(1)若a+b+c=0,则a+b=-c.∴p=a+bc=-1,此时直线方程为y=-x-1,经过二、三象限.(2)若a+b+c≠0,由等比性质可得:(a+b)+(b+c)+(c+a)c+a+b=p,∴p=2.此时直线方程为y=2x+2,经过一、二、三象限.故y=px+q一定经过二、三象限.故选(B).例2(2002年…     

怎样分解a~3+b~3+c~3-3abc

多项式a3＋b3＋c3－3abc结构匀称、和谐、优美,可在考虑对它进行因式分解时却令多数人望题兴叹,感叹它好看但难分解．的确,分解时不知多少人走过这样的老路：考虑公因式,没有;运用公式法,不行份组分解法,无效;添项或拆项,亦难！真是山穷水尽．怎么办？注意题目信息：a、入c的立方和．对,先用立方和公式把它变形,再说,不做这种变形还能做什么呢？原式一知十b）（a‘一劝十b‘卜c3－3abc（。）至此,依然是无路可走．注意观察（。）式,我们还可以做些什么呢？对,把a‘－ah＋b’化为a＋b与ah的形式,以前我们不也经常做这种变形…     

应用a＋b＋c=0解题

在方程ax^2+bx+c=0(a≠0)中,若a+b+c=0,则方程二根为1和c/a;反之,当方程有一根为1,则另一根为c/a且a+b+c=0,应用这个性质解题,常能收到出奇制胜之数,现举例如下。     

巧用a+b+c=0

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a~3+b~3+c~3≥3abc的几何意义

如图所示,分别作棱长为a,b,c(不妨设a≥b≥c)的正方体AB,CD,EF,在正方体AB内截取长、宽、高分别为a,b,c的长方体BG;又在正方体CD和正方体AB的剩余部分内截取长、宽、高分别为a,b,c的长方体CH;在正方体AB的一条棱QR上截取     

多项式a~3+b~3+c~3-3abc的分解及其应用

我们记P(a、b、c)=a~3+b~3+c~3-3abc这个多项式的因式分解公式为: P(a、b、c)=a~3+b~3+c~3-3abc=(a+b +c)(a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca), 这个公式在因式分解中,在多项式的恒等变换中以及在解方程中都有一定的应用。     

不等式a~3+b~3+c~3≥3abc的推广及应用

本文从一个基本初等不等式a~3+b~3+c~3≥3abc(a、b、c∈R~+)出发,利用凸函数的定义及性质,对它进行推广,得到了此不等式更广泛的形式:p_1a_1∑(pi)+p_2a_2∑pi+……+p_na_n∑pi≥(∑pi)(a_1)~(p_1)(a_2)~(P_2)…(a_n)~(p_n),当且仅当a_1=a_2=……=a_n时,等号成立。从本文给出的两个例子可以看出,此推广形式对一些不等式的证明十分方便。     

当a+b+c=0时

我们知道,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的实数根,在b~2-4ac≥0时,可由求根公式求得。 现在,我们来探究一个问题,当a+b+c=0时,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根有什么特点? 探究 ∵ a+b+c=0,∴b=-(a+c),∴ 原方程可化为ax~2-(a+c)x+c=0,即 (ax~2-ax)-(cx-c)=0. ∴ ax(x-1)-c(x-1)=0. ∴(x-1)(ax-c)=0. ∴ X_1=1,X_2=c/a。     

(a+b)~2≠a~2+b~2,为什么

上面这个错误的等式是显而易见的.但在学习了这部分知识后,在利用乘法公式的计算中,有些同学却屡改屡犯,这是为什么呢?可能是老师在给这部分学生纠正错误时,只注重了从表面或运算结果的角度去分析,而忽略了从"学生的学习心理"方面去分析问题.同学们可能会这样想:     

例谈“a~2+b~2=0”在解题中的应用

若a、b为实数,且彭十夕一o,则a一O且b一。.在解题中若能充分利用这一结果,将会使一些看似无从下手的问题迎刃而解.请看以下例题. 例1已知实数x、y满足尹+少一Zx十4y+5一0.求x、y的值. 分析一个方程,求两个未知数,似乎无法求出.但将条件中的5拆成1+4,通过分组结合,可变形为矿+夕一。的形式,即可分别求出x、y的值. 解将原式变形为 (xZ一Zx十1)+(犷+4y+4)一O, 即(x一1)2+(少+2)2=o, :。x一1一O且y+2一O, 解之得x一1,y-一2. 例2如果实数x、y满足等式:Zx+扩+才犷+2一一Zxy,那么x+y的值是(). (A)一1(B)0(C)1(D)2 (1993年全国“希望杯”数学…     

不等式a~3+b~3+c~3≥3abc的证法及推广

现行教材中三元基本不等式 :“若 a,b,c∈R+ ,则 a3+ b3+ c3≥ 3 abc,当且仅当 a =b =c时 ,等式成立 .”是用因式分解方法证明 ,但分解需要一定技巧 .笔者在教学中了解 ,学生除了欣赏很难掌握 .笔者从学生已有的知识出发 ,通过证明一般的情况 ,导出三元基本不等式的证明 .要证上述“若 a,b,c∈ R+ ,则 a3+ b3+ c3≥ 3 abc,不等式成立 .”学生已有的知识是 :若 a∈ R+ ,a≥ a成立 ,(a∈ R也成立 )若 a,b∈ R+ ,a2 + b2 =2 ab成立 ,当且仅当 a =b时 ,等式成立 .(a,b∈ R也成立 ) ,自然联想 :a,b,c,d∈ R+ ,a4 + b4 + c4 +d4≥ 4abcd是否成…     

有关a~3+b~3+c~3≥3abc教学的一点建议

现行部编教材高中第三册不等式一章中,有不等式 a~3+b~3+c~3≥3abc 的证明的教学.除了书本中的原有证明方法之外,尚有几种证法,这已在某些刊物中发表过.这里推荐一种证明方法,特点是比较密切地结合教材内容,以供大家参考.证明方法分二步:第一步是把书中上一教时内容中的例5(第61页)略加修改而引用.即对已知正数     

a~3 b~3 c~3≥3abc的加强

文（1）对基本不等式给出了如下加强.事实上，因1-≥0，故展开即得本文用它来证明下面的不等式.定理　若证　由不等式（*）得以上三式相加，得（**）式两边同乘以（a＋b＋c），展开并整理即得证.a~3 b~3 c~3≥3abc的加强@周永国$湖南沅陵六中(1)杨浦斌,《基本不等式的加强及应用》,中学数学研究1993(10).     

遇到a+b+c=0怎么办?(初三)

同学们在解竞赛题时,常会遇到条件或隐含条件a b c=0,许多同学不知它有何用?下面就举例说明它的功能.结论1若a b =0(a≠0),则一元二次方程dx~2 bx c=0必有一个根为1;反之也成立.(请同学自己完成证明)     

公式(a+b)~2=a~2+2ab+b~2的教学设计

公式（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２的教学设计□徐光考（浙江省台州市椒江二中３１８０００）《九年义务教育初级中学数学大纲》明确提出：“在教学时，应当注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展，……，使学生在这些过程中展开思维，从而发展...     

运用a~3 b~3 c~3-3abc的分解因式解题几例

a3 b3 c3一3abc =(a b)3 c3一3“b(a b)一3“bc ~[(a b) c〕[(a b)2一(a十b)c cZj 一3ab(a十b十c) =(a b c)(aZ bZ cZ一ab一bc一ca). 下面举例介绍aa ba ‘3一3obc的分解因式在解题中的应用,供同学们学习时参考. 例1已知a b ‘~6,矛 夕 ‘2~14,矿 b3 ca~36,求abc的值. 解由。 b ‘~6得 a含十b盆 c,十加b Zbc十Zca=36,.’.口b bc ‘“~11.丫a3 b3 ca一3abc ~(口 b十c)(“Z bZ c足一“b一bc一c召), 1,,:。“bc~令「a“ b3 ‘3一(d b ‘)·一’一一3‘一’一’一、一’-(aZ bZ cZ一。b一bc一ea)〕 例2‘5~0. 解一合〔36一6(14一11)j一6.已…