三角形“1号心”的几何性质

文[1]定义了三角形的“1号心”,本文从几何的角度探讨它的某些性质.定理1在△ABC所在的平面内任意取一点P,分别作点P关于△ABC的边BC、CA、AB的中点D、E、F的对称点D'、E'、     

在椭圆和双曲线中的类西摩松线

西摩松线及其逆定理可统一表述为：点P是△ABC所在平面内的一点,过点P向三边BC,CA,AB或它们的延长线引垂线,垂足分别为D,E,F,则D,E,F三点共线的充要条件是：点P在△ABC的外接圆上．在椭圆和双曲线中作如下推广：     

数学奥林匹克问题

本期问题高351如图1,不等边△ABC的内切圆分别与三边BC、CA、AB切于点D、E、F,A′、B′、C′分别是边BC、CA、AB的中点,D′、E′、F′分别为点D、E、F在△DEF的边EF、FD、DE上的射影.证明:A′D′、B′E′、C′F′三线共点.     

第37届IMO中国国家队选拔赛试题解答

一、以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB、AC分别交于点D和E.过D、E作BC的垂线,垂足分别为F、G.线段DG、EF交于点M.求证:AM⊥BC.     

赛题另解

题1 记P、Q为△ABC内等角共轭点(即∠BAP=∠CAQ,∠ACP=∠BCQ,∠CBP=∠ABQ),Q1、Q2、Q3分别为点Q关于边BC、CA、AB的对称点,D、E、F分别为PQ1与BC、PQ2与CA、PQ3与AB的交点.证明:AD、BE、CF三线共点.[1]     

垂足三角形的一个性质

文[1]证明了三角形垂心的一个性质:定理0若△ABC的垂心为H,且D、E、F分别为H在BC、CA、AB边所在直线上的射影,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.本文将这一关于垂心的性质推广至平面上任一点,证明垂足三角形的一个性质.过△ABC所在平面上任一点P,作边BC、CA、AB边所在直线的垂线,垂足分别为D、E、F,则△DEF叫做△ABC关于点P的垂足三角形.定理1设△ABC关于任一点P的垂足三角形为△DEF,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,证则明△DEF≌△H1H2H3.如图1,依题设知FH2∥PD…     

一道MO试题的另证和变形

题目在△ABC中,AB≠AC,设D是△ABC的外接圆在点A处的切线与BC的交点,E,F分别是过B,C作BC的垂线与AB的中垂线、AC的中垂线的交点.求证:D,E,F三点共线.     

第二届陈省身杯全国高中数学奥林匹克

第一天1.(50分)已知锐角△ABC,过点A作BC的垂线与以BC为直径的⊙O_1分别交于点D、E;过点B作CA的垂线与以CA为直径的⊙O_2分别交于点F、G.证明:E、F、D、G四点共圆,并确定圆心的位置.2.(50分)记d(n)为正整数n的正因子     

数学奥林匹克问题

本期问题 高391 如图1,已知H为△ABC的垂心,⊙O与△ABC的三边BC、CA、AB分别交于点D1和D2、E1和E2、F1和F2,且D、E、F分别是D1D2、E1E2、F1F2的中点,     

一道IMO选拔赛试题的推广

题目(第37届IMO中国选拔赛试题).以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB、AC分别交于点D和E,过D、E分别作BC的垂线,垂足分别为F和G,线段DG、EF交于点M.求证:AM⊥BC.