三角形“四心”的向量表示

向量的加减法运算是通过三角形法则来完成的,向量与三角形有着密不可分的关系,三角形的“四心”（重心、垂心、内心、外心）又是三角形的重要内容,与“四心”相关的向量题目也是频繁出现,用向量表示“四心”则是常见问题,现归结如下．     

三角形的“五心”

三角形的“五心”,即重心、垂心、外心、内心和旁心,它们的性质是： （1）三角形的重心（三条中线的交点）到各顶点的距离是它到对边中点距离的两倍． （2）三角形的垂心与三角形的两个顶点所构成的新三角形的垂心（三条高所在的直线的交点）是原三角形的另一顶点．     

向量与三角形的“四心”

<正>三角形的“四心”即重心、垂心、内心、外心,在三角形中有着极其重要的地位,涉及到“四心”的问题既简洁明了,又新颖别致.向量是高中数学的新增内容,是一个具有代数与几何双重属性的量,向量能以独特的形式反映三角形的“四心”所具有的性质.下面例举有关三角形“四心”的向量关系式.     

用“心”沟通向量与三角形

在平面向量的学习中，经常会遇到有关三角形的“心”（重心、外心、内心、垂心）的问题，这些问题中包含了三角形和平面向量众多的知识和方法，内容丰富．通过这些问题的训练既可以使同学们掌握向量的有关概念、又可以培养数形结合、分析问题和解决问题的能力，因此利用三角形的“心”，     

用向量的眼光“透视”三角形的“四心”

用向量作为工具研究平面图形是高中数学的重要方面,其充分体现了向量知识与平面几何的内在联系．故而对于三角形的“四心”（重心、外心、内心和垂心）而言,就更加明显;并且近几年的高考题中也不断出现用向量表示的三角形“四心”问题。因此,用向量的眼光透视三角形的“四心”,进而解决与之相关的问题,就显得尤为重要,下面就从这一方面人手。     

三角形“五心”坐标的“三角”表示

笔者曾在文[1]给出了三角形“五心”的向量形式的充要条件,经进一步探究,得到了三角形“五心”坐标表示的统一的“三角”形式,特整理如下,供读者参考．     

杠杆原理使三角形“四心”统一

有关三角形“叫心”（即重心,内心,外心,垂心）的向量特征的试题在近几年各省的竞赛、模拟和高考试题中频频出现．     

异曲同工 异“心”同“标”

贵刊文[1]利用向量式给出了三角形“奇心”的定义：若O为△ABC所在平面内一点,且满足1/a·OA＋1/b·OB＋1/c·OC=0（a,b,c分别为内角A,B,C的对边）,则称点O叫做AABC的奇心．     

三角形“四心”性质的进一步讨论

三角形的“四心”即重心、垂心、内心和外心．通过查阅近几年中学数学类杂志刊发的有关三角形“四心”的论文资料发现,已有的关于三角形“四心”的研究主要包括“四心”的判定方法、“四心”的向量形式等方面．本文拟在已有研究的基础上,     

日语“心”的多义性及其汉译考察

从认知语义学角度探讨日语“心”的多义性出发,详细分析日语“心”的三个主要义项,以北京日本学研究中心制作的语料库调查为基础,归纳总结出日语“心”的转喻义和隐喻义义项各占一半,实际用例中以表示人的思维、情感的转喻义为主。从表达形式上看,「心の中（うち）で」「心の奥（底）から」「心に」「心を」「心が（は）」的表现形式占绝大多数。汉日语“心”有许多共通语义,但汉语“心”多以复合词形式出现。因此,在翻译日语“心”时,大多译成汉语带“心”的复合名词、形容词或动词等。     

向量视角下的三角形“四心”

三角形有外心、内心、重心、垂心,在平面几何中研究过三角形的“四心”的作法,在解析几何中可以利用方程的思想方法求三角形的“四心”,这两种方法,前者侧重几何特性,后者侧重代数运算.由于向量具有代数和几何的双重属性,以向量为视角,研究三角形的“四心”,可以揭示三角形“四心”与顶点及各心之间的联系.一、“四心”依托顶点,各具特色结论1设O是ABC所在平面内一点,则O为ABC外心的充要条件是|OA|=|OB|=|OC|(即点O到3个顶点距离相等)(OA OB)·AB=(OB OC)·BC=(OC OA)·CA=0(即O为三边垂直平分线的交点).证明如图1,设ABC的三…     

平面向量定“四心”

向量具有“数”和“形的双重身份,是数学中的一种重要工具．现对利用平面向量判定三角形的“四心”即内心、外心、重心、垂心问题说明如下．[第一段]     

解读向量,从"心"开始

许多向量试题都与三角形的“四心”有关，而且几乎涉及了向量的全部运算方式，因此在复习向量时，可以从“心”开始，或说要把这当作一个重点．下面我们就分类解读与三角形的“四心”有关的试题．[第一段]     

向量与你谈“心”

与三角形的“心”（重心、垂心、外心、内心）有关的向量问题是一类极富思考性和挑战性,又具有相当深度和难度的重要题型,备受各级各类考试命题者的青睐,频频出现在各类考试卷中,凸现出较好的区分度和选拔功能,是考查数学能力和素养的极好素材．下面选取几例,与您共赏．     

对焦点三角形"五心"轨迹方程的进一步探究

文[1]以椭圆为例探究了其焦点三角形“五心”的轨迹方程,受此启发,笔者进一步研究了双曲线焦点三角形并给出了其“五心”的轨迹方程和详细证明．     

三角形“四心”的向量式充要条件及其应用

2006年数学高考大纲中明确指出：要加强平面向量在平面几何中的应用，纵观近几年的高考题。我们已经体会到这种命题思想的变化，在平面向量在平面几何中的应用问题中．又以涉及三角形“四心”的试题为热点．由于三角形的“四心”与向量之间有着紧密的联系．这就为运用向量法解决这类“心”题提供了可能性。预计2006年的高考还要加大对向量与三角形“心”的交汇问题的考查力度．对此，笔者给出三角形“四心”的向量式充要条件．并结合部分高考题．说明这些充要条件的应用。[编者按]     

一组求动点的轨迹“心”题

在近几年高考及各地模拟考试中,出现了许多涉及到三角形四“心”（垂心、重心、内心、外心）的向量考题,使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有了更深刻的认识．     

与“四心”有关的解析几何问题

三角形的“四心”指重心、外心、内心、垂心，它们是三角形的重要几何点，与之相关的数学问题是数学竞赛的热点问题，也是解析几何的难点问题，这类问题涉及的知识面较广，富有挑战性，是考查学生能力的“好”点，在高考中常充当“把关题”的重要角色．本文对三角形的“四心”的几何性质加以归纳，旨在探索解题规律，总结解题方法．     

三角形的“四心”与平面向量的结合

三角形的“四心”是指三角彤的外心、内心、重心和垂心．三角形的“四心”在高考试题中时常出现，但教材中没有作专门的论述，许多同学对此知识点的掌握是零碎的、模糊的．现通过一些典型题目，结合平面向量知识分析三角形的“四心”．     

“事事关心”还是“事事在心”？

无锡东林书院中的一副对联是无人不知的 ,这便是 :“风声雨声读书声 ,声声入耳 ;家事国事天下事 ,事事关心”。此联传为顾宪成所撰。就是这副对联 ,却有着一段至今尚未破解的悬案。此联一直流传着两个版本 ,一是现在的版本 ,另一版本是把现在的“事事关心”换成“事事在心”。无锡的史学专家王赓唐先生认为 ,“在心”与“关心”在感情色彩上有轻重之分 ,“在”字本义是“居”和“存” ;“关”字是牵连或涉及的意思 ,程度上有很大不同。“入耳”与“在心”都是动宾结构的词组 ,而“关心”则是词语 ,不甚相称。另外 ,王先生还认为 ,明代心学思…