平面解析几何极值问题举例

例1 求点 P(4,0)与抛物线 y~2=2x 上的点的距离的最小值。解:设抛物线上一点 Q(x_1,y_1),则y_1~2=2x_1,|PQ|=(x_1-4)~2~(1/2) y_1~2=(x_1~2-6x_1 16)~(1/2)。∵被开方数二次项的系数为正,∴当 x=3时,(x_1~2-6x_1 16)极小值:=7,|PQ|极小值=7~(1/2)。例2 设 A、B 是椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1的相邻二顶点,试在(?)上求一点 P,使四边形PAOB 面积为最大。解:设(?)上一点 P(acosθ,bsinθ),则S(?)PAOB=S△AOB S△PAB     

对一道解析几何题的渐进式思考

在解析几何的复习中,我们遇到了这样一道题;已知抛物线 y~2=2px(p>0)上有两点 A、B 关于点 M(2,2)对称.(1)求 p 的取值范围;(2)当 p=2时,该抛物线上是否存在另外两点 C、D,且A、B、C、D 四点共圆?若存在,求出此圆方程;若不存在,请说明理由.对于第一问,同学们都能做出来,即设 A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)是抛物线上关于点 M(2,2)对称的两点,则 x_1 x_2=4,y_1     

1993年江苏各市中考数学试题综合题选解

1 抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)过A(0,3)、B(5,-7)两点. (1)如果抛物线开口向下,且它的对称轴在y轴的右侧,求a的取值范围; (2)当a为何值时,抛物线与x轴的两个交点之间的距离最小?此时抛物线顶点与这两个交点构成的三角形面积是多少?(镇江市)     

抛物线内接直角三角形的一个性质及应用

<正>抛物线除了对称性等熟知的性质外,还有一些未知的性质.本文探求以抛物线上一定点为直角顶点的内接直角三角形的一个性质,并运用该性质快捷地解决有关问题.一、性质及拓展抛物线y=ax²上有一定点A(x_0,y_0),B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)是二次函数图象上的两个不同于点A的动点.若AB⊥AC,     

数形结合探思路 一题多解启思维——2017年山东淄博中考压轴题的解法探究与教学之思

<正>1考题呈现及思路突破1.1考题呈现(2017年山东淄博中考卷第24题)如图1,经过原点O的抛物线y=ax²+bx(a≠0)与x轴交于另一点A(3/2,0),在第一象限内与直线y=x交于点B(2,t).(1)求这条抛物线的表达式;(2)在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B,O,C为顶点的三角形的面积为2,求点C的坐标;     

一道中考压轴题的解析与反思

<正>一、试题呈现(2019年长沙中考第26题)如图1,抛物线y=ax²+6ax(a为常数,a> 0)与x轴交于O,A两点,点B为抛物线的顶点,点D的坐标为(t,0)(-3 相似文献   

抛物线中的“四点”“五距”

一、抛物线中的"四点"抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的"四点"是指抛物线与x轴的两个A交点,与y的交点及抛物线的顶点(如图).抛物线与x轴的两个交点是A(x1,0),B(x2,0).其中x1、x2是当y=0时,方程ax2+bx+c=0的两根;     

抛物线的切点弦方程及其应用

从抛物线y~2=2px外一点p(x_0,y_0)、向抛物线引两条切线,切点为A,B,则线段AB称为p点的切点弦、切点弦AB的方程是yy_0=p(x+x_0),证明如下: 设切点A、B坐标分别为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则PA、PB方程分别为:     

一类直线方程的四种求法

解析几何里有这样一类问题:过二次曲线 C:F(x,y)≡Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0内部〔指包含焦点的平面区域(不包括周界)〕已知点 M(x_0,y_0)作直线与曲线C 相交于两点 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),使得 M 点平分弦 AB.例.过二次曲线 C:14x~2+24xy+21y~2-4x+18y-139=0内一点 M(1,-2)作一直线,使截得的弦被 M 点平分。求此直线的方程。     

抛物线综合题例说

抛物线综合题是一类代数与几何知识相交叉的题型,一般来说难度较大.现谈谈解答这类习题所涉及的知识与解答技巧.例1已知:抛物线y=x2+kx+1与x轴的正方向相交于A、B两点,顶点为C,△ABC是等腰直角三角形.求k的值.例2已知对称轴平行于y轴,开口向上的抛物线经过M(3~(1/2)-2,0)N(3~(1/2)+2,0)和P(0,k)三点,且|OP|2=|OM|·|ON|.(1)求此抛物线;(2)设Q(x,y)为抛物线上一点,且∠MQN为锐角,试确定x的取值范围.     

一道中考题的解法赏析

<正>题目(2013年绍兴市)如图1,抛物线y=(x-3)(x+1)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点D为顶点.(1)求点B及点D的坐标;(2)连结BD,CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E.①若线段BD上一点P,使∠DCP=∠BDE,求点P的坐标;②若抛物线上一点M,作MN⊥CD,交直线CD于点N,使∠CMN=∠BDE,求点M的坐标.     

对抛物线两个命题的探究

本文将对以下两个与抛物线有关的命题进行探究．命题1在抛物线y2=2px(p>0)中,过顶点O作两直线交抛物线于A、B两点,若(OA|→). (DB|→)=0,则直线AB过x轴上一定点(2p,0)．命题2在抛物线y2=2px(p>0)中,过焦点F(p/2,0)作不过顶点O的一条直线交抛物线     

过定点的三次函数图像切线条数问题

二次函数y=ax_2 bx c(a≠0)的图像是抛物线,我们有如下共识:点P(x_0,y_0)在抛物线上时满足y_0=ax_0~2 bx_0 c,过点P的切线有且只有一条;当点P在抛物线内时满足y_0     

一道中考压轴题的解法探讨

<正>一、试题呈现如图1,经过点A(0,-4)的抛物线y=1/2x2+bx+c与x轴相交于B(-2,0),C两点,O为坐标原点.(1)求抛物线的解析式;(2)将抛物线y=1/2x2+bx+c向上平移72个单位长度,再向左平移m(m>0)个单位长度得到新抛物线,若新抛物线的顶点P在ABC内,求m的取值范围;     

对课本中求切线方程的“判别式”法的意见

在统编高中第二册P_(150)介绍了求抛物线切线方程的初等方法。书上是这样说的:“设抛物线方程为y~2=2px,p(x_0,y_0)是抛物线上一点,我们来确定斜率k,使过点P的直线PQy—y_0=k(x—x_0)成为抛物线在P点的切线。(注意符号是笔者添的,     

与抛物线有关的十种生成曲线

定理1 抛物线上任一点与平面上一定点的连线段的定比分点的轨迹仍为抛物线。 证明 不妨设抛物线方程为y~2=2px,A(x_1,y_1)是抛物线y~2=2px上的动点,B(a,     

问题探究发现推广——对两道高考试题的探究性学习

2012年全国高考数学福建卷文、理科解析几何试题分别是: 试题1 ,等边△OAB的边长为8√3,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p＞0)上.(1)求抛物线E的方程;(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.     

对称点在二次函数问题中的应用

<正>二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,为轴对称图形,对称轴为x=-b/2a.因此,我们就有结论:若A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)为抛物线上一对对称点,则有(x_1+x_2)/2=-b/2a,y_1=y_2.下面谈谈上述结论的应用.一、在求抛物线上点的坐标中的应用例1已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,为轴对称图形,对称轴为x=-b/2a.因此,我们就有结论:若A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)为抛物线上一对对称点,则有(x_1+x_2)/2=-b/2a,y_1=y_2.下面谈谈上述结论的应用.一、在求抛物线上点的坐标中的应用例1已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=-1,A(2,1)、B(m,1)为抛物线上     

二次曲线的一类最值问题

近年来，二次曲线上任一点到两定点的距离的和的最值问题，越来越多，难度越来越大，在各类考试中经常出现．因此，研究一下这类问题，是必要的．定理1P为抛物线y~2＝2px上任一点，F为焦点，A（m，n）为该抛物线内部定点，当且仅当AP⊥y轴时，等号成立证明如图1，过点A作AM⊥l于M（l为准线）交抛物线于点P，连接PA、设P’为抛物线上任一点，连当且仅当P’与P重合时，等号成立．例1已知抛物线y~2＝4x，点A（2，1），F为其焦点，P为该抛物线上任一点，求的最小值，并求此时面积．解如图2，作AM⊥y轴交抛物线于P,则所求的最小值为3，…     

一道二次函数应用题的编制历程

<正>一、试题展示已知直线l:y=kx+b与抛物线y=x²相交于A(-1,m),B(2,n).(1)求直线l的解析式.(2)将原抛物线向下平移t(t> 0)个单位,得到的新抛物线与直线l相交于C,D两点(C在D左侧).(1)求证:AC=BD;(2)点Q在x轴上,设新抛物线顶点为P,当四边形PCDQ为平行四边形时,求它的面积.二、命题过程1.命题立意考查的主要知识点:点的坐标,一次函数的解析式、二次函数