解答最值问题的常见易错点

易错点一：忽视函数的定义域 例1（2012年高考重庆文科卷第19题）设函数f（x）=Asin（ωx＋φ）（其中A〉0,ω〉0,-π〈φ≤π）在x=π6处取得最大值2,其图像与x轴的相邻两个交点的距离为π2.（Ⅰ）求f（x）的解析式;（Ⅱ）求函数g（x）=6cos4x-sin2x-1f（x＋π6）的值域.难度系数0.75解（Ⅰ）f（x）=2sin（2x＋π6）.解答过程省略.     

三角函数式的值域求解八法

1．1的代换 例1 求f（x）=sin^4x＋cos^4x＋sin^2xcos^2x/2-sin2x的最大值和最小值．（2004年全国卷）     

关于f(x)＝sin(ωx+rπ)在两连续整数间取得最值的一个充要条件

题目 设f（x）=sin（ωx＋rπ），常数r∈Q．若ω∈Q使得对任意的n∈Z，f（x）在区间[n，n＋1]上至少取到一次最大值及一次最小值，那么，ω应满足怎样的条件？     

f（x）（x∈A）的值域为[m，M]与m≤f（x）≤M对x∈A恒成立不等价——剖析一道全国高考题的别解

（2008年全国高考全国卷Ⅱ文21） 设a∈R,函数f（x）=ax^3-3x^2． （1）若x=2是函数y=f（x）的极值点,求a的值; （2）若函数g（x）=f（x）＋f＇（x）,x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求a的取值范围．     

对一类无理函数最大值的求法探究

近日笔者发现2003年和2009年的高中数学联赛题中均出现了一类题目：求形如f（x）=√a1x＋b1＋√a2x＋b2＋√a3x＋b（其中a1,a2,a3〈0）的最大值．我们先来看一下标准答案．     

破解三角函数解答题的四大策略

一、由繁到简,等价化归例1已知函数f(x)=2cos~2ωx+2sinωxcosωx+1(x缀R,ω>0)的最小正周期是π/2.(1)求ω的值.(2)求函数f(x)的最大值,并求使f(x)取得最大值的x的集合.     

2010届高考数学主观题强化训练

1．若a=（√3cosωx,sinωx）,b=（sinωx,0）,其中ω∈（-1/2,5/2）,函数f（x）=（a＋b）·b-1/2,且f（x）的图象关于直线x=π/3对称．     

最值问题的求解策略

策略一：三角函数最值问题求解归一化 对三角函数最值问题的求解,一般策略就是归一化.所谓归一化,就是将所求三角函数化为同一三角函数,如y=Asin（ωx＋φ）模型的三角函数等,再利用相关知识,如三角函数的有界性等求其最值.例1（2011年高考北京理科卷第15题）已知函数f（x）=4cosxsin（x＋π6）-1.（Ⅰ）求f（x）的最小正周期;（Ⅱ）求f（x）在区间[-π6,π4]上的最大值和最小值.     

对一道高考题的反思

2008年高考山东卷理科17题是这样的：f（x）=√3sin（ωx＋φ）-cos（ωx＋φ）（0＜φ＜π,ω＞0）为偶函数,且函数y-f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为号．（Ⅰ）求,f（π/8）的值;（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移詈个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g（x）的图象,求g（x）的单调递减区间．     

解析式求法十例

1．直接代入 侈01已知f（x）=2x-1,g（x）=1/1＋x^2,求f[g（x）]和g[f（x）＋2].     

求最值问题常见的错误种种

一、忽视函数定义域致误 【例1】已知,f（x）=2＋log3x（1≤x≤9）,求函数y=[f（x）]^2＋f（x^2）的最大值．     

求函数解析式的常用方法

一、利用函数定义 例l已知函数y=f（x）满足条件：f（1＋x/x）=x^2＋1/x^2＋1/x,x≠0，求f（x）的表达式．     

这里带不带“等号”值得探讨

试题 已知函数f（x）=a-x^2/x＋lnx（a∈R,x∈[1/2,2]）.（Ⅰ）当a∈[1/2,1/4）时,求f（x）的最大值;（Ⅱ）设g（x）=[f（x）-lnx]·x^2,k是g（x）图象上不同两点的连线的斜率,是否存在实数a,使得k〈1恒成立？若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由．     

数学解题要从重视数学逻辑开始

1 问题提出 例1（2008年高考数学全国卷文科第21题）设a∈R,函数f（x） =ax3-3x2.（Ⅰ）若x=2是函数y=f（x）的极值点,求a的值;（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）＋f＇（x）,x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求a的取值范围.     

用光学原理求两类无理函数的最小值

1．用光的反射原理 求形如 y=√（x-a）^2＋（f（x）-b）^2＋√（x-c）^2＋（f（x）-d）^2 函数的最小值,其中f（x）为一次函数,且 （f（a）-b）（f（c）-d）〉0．     

函数单调性的一些应用

1．恒成立问题的求参 例1已知函数，f（x）=a＋2x-x^2/x，x∈[1，＋∞），若对任意x∈[1，＋∞），f（x）〈0恒成立，试求a的取值范围．     

七法求三角函数最值

1．分离常数 例1 求函数f（x）=3sinx-1/sinx＋2的最大值和最小值． 解法1 f（x）=3sinx-1/sinx＋2 =3-7/sinx＋2,     

一道安徽预赛题的推广

题目已知m∈N＋,n=2^m．求所有的n次实系数多项式f（x）,满足 f（x^2＋1）=f^2（x）＋1．     

2008年高考江西卷压轴题的简解及推广

题已 知函数f（x）=1/√1＋x＋1/√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）. （1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数a,证明1〈f（x）〈2．     

一个由三次函数所生成的不等式

函数f（x）=1＋x＋x3生成函数F（x）=f（x）f（x2）…f（xp-1）（p〉3）,ω是方程xp=1的一个复根,则有F（ω）≥1.在证明结论时,用了数学归纳法及根的存在性定理。