两道二重最值问题的推广

问题1 设实数x1,x2,x3,x4,x5均不小于1,且x1x2x3x4x5=729,则max{x1x2,x2x3,x3x4,x4z5}的最小值是___.     

重叠法解题四例

1．叠加 例1 若x1,x2,x3,x4,x5满足 2x1＋x2＋x3＋x4＋x5=6, x1＋2x2＋x3＋x4＋x5=12,     

错在哪里

1.设f（x）,g（x）都是奇函数,{x｜f（x）〉0}={x｜4〈x〈10},{x｜g（x）〉0}={x｜2〈x〈5},则集合{x｜f（x）g（x）〉0}等于（ ）。     

取整函数的性质及其应用

设x是实数,用[x]代表不超过x的最大整数,即[x]≤x＜[x]+1.又称x-[x]为x的小数部分,记作{x},即{x}=x-[x],所以x=[x]+{x},并且0≤{x}＜1.有时为了书写简单起见,小数部分就用一个字母符号表示,而不打上花括号.例如:x=[x]+r,0≤r＜1.     

一类有关函数不等式问题的探究

正题1设函数f(x)1=lnx+1/x,已知xf(x1)=f(x2),x2x10.求证:x1+x22.参考答案的思路是用函数的单调性证明x1+x22,主要步骤有:一是引入函数g(x)=f(2-x)与h(x)=f(x)-g(x),并结合导数研究其单调性;二是证明当x1时h(x)0即f(x)g(x);三是结合已知并根据以上两步推出x1+x22.详细过程类似于     

一类对称方程的新视角

文[1]从函数的视角对:题型A:已知x1、x2分别为方程2x+2x=5、2log2(x-1)+2x=5的实数根,求x1+x2的值.题型B:已知x1、x2分别为方程2x+x=5、log2x+x=5的实数根,求x1+x2的值.     

分式运算的常用技巧

一、巧用分式的基本性质例 1.计算 x- 1x ÷ (x- 1x)。解 :原式 =x- 1xx- 1x(化为繁分式 )=(x- 1x )· x(x- 1x)· x(分式的基本性质 )=x- 1x2 - 1=1x+ 1。二、巧用逐步通分法例 2 .化简 11- x+ 11+ x+ 21+ x2 + 41+ x4 。分析 :若一次性完成通分 ,运算量很大 ,注意到 (1- x) (1+ x)=1- x2 ,而 (1- x2 ) (1+ x2 ) =1- x4 ,可以用逐步通分法化简。解 :原式 =21- x2 + 21+ x2 + 41+ x4=41- x4 + 41+ x4=81- x8。三、巧用运算律例 3.计算 11- x+ 8x71+ x8- 4 x31+ x4 - 2 x1+ x2 - 11+ x。分析 :可以先用加法交换律整理顺序如下 :11- x- 11+ x-…     

一个猜想的否定

文[1]提出了一个猜想： （1）设x1,x2,x2是非负实数,且满足x1＋x2＋x3=1,k≥2,k∈Z．则x1^kx2＋x2^kx3＋x3^kx1＋x1x2x3（x1＋x2＋x3）^（k-2）≤k^k/（k＋1）^k＋1;     

韦达定理和根的对称式

如果x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两个根,由根与系数的关系（即韦达定理）,不解方程可求得下列代数式的值：（1）x12＋x22;（2）1x1＋1x2;（3）x2x1＋x1x2;（4）x12＋x1x2＋x22;（5）（x1＋k）（x2＋k）（k为常数）;（6）｜x1-x2｜···仔细观察这些代数式,它们都有一个共同的特点：把式子中的x1、x2互换,原来的式子不变.例如,把x1、x2互换后,x12＋x22变成了x22＋x12,｜x1-x2｜变成了｜x2-x1｜,其值不变,我们把这类式子叫做一元二次方程根的对称式.     

利用数论知识解数学竞赛题

(本讲适合高中)1知识介绍1.1函数f(x)=[x]的概念与性质设x、y∈R.记f(x)=[x]表示不小于实数x的最小整数,[x]表示不超过实数x的最大整数.(1)[x]-1相似文献   

一个错误的“证明”

《数学通讯》1 997年第 7期上的征解问题 1 73是 :设xi>0 ,i=1 ,2 ,… ,n(n≥ 3 ) ,则有Sn=x2x1(x3+x4+… +xn) + x3x2(x4 +… +xn+x1) +… + xnxn - 1(x1+x2 +… +xn - 2 ) + x1xn(x2 +x3+… +xn - 1)≥ (n -2 )∑ni=1xi.该刊 1 999年第 1 2期刊出张煜的一个“证明”按此“证明”有S6 =x1( x4 x3+ x5x4+ x6 x5+ x3x6) +x2 ( x5x4+ x6 x5+ x1x6+ x4 x1) +x3( x6 x5+ x1x6+ x2x1+ x5x2) +x4 ( x1x6+ x2x1+ x3x2+ x6 x3) +x5( x2x1+ x3x2+ x4 x3+ x1x4) +x6 ( x3x2+ x4 x3+ x5x4+ x2x5)≥ 4x1+ 4x2 +… + 4x6 =( 6-2 )∑6i=1xi.然而 ,最左边…     

用《几何画板》画分段函数图像的简单方法

先来看例题：在《几何画板》中画出分段函数F（x）= {f1（x）,x〈1 f2（x）,1〈x〈2的图像,其中f1（x）=x（x〈1）、f2（x）=x^2（1〈x〈2）、f3（x）=1/x（x〉2）. f3（x）,x〉2     

用单调性求解一类特殊的最值问题

对于任意的函数f(x),g(x)(xε R),令p(x)=f(x)+g(x),s(x)=f(x)g(x),当p(x)(s(x))为定值时,s(x)(p(z))的最值问题可以通过单调性来求解.     

分式运算中通分的技巧

在分式加减运算中,若能根据分式的结构特点,使用通分的技巧,不仅可以保证运算的正确性,而且可以提高解题的速度,收到事半功倍之效。一、整体通分例1计算x3x-1-x2-x-1。解:原式=x3x-1-(x2+x+1)=x3x-1-(x-1)(x2+x+1)x-1=x3x-1-x3-1x-1=1x-1。二、拆项通分例2计算a-bab+b-cbc+c-aca。解:原式=(1b-1a)+(1c-1b)+(1a-1c)=1b-1a+1c-1b+1a-1c=0。三、一次通分例3计算1x2+3x+2+1x2+5x+6+1x2+4x+4。解:原式=1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+1(x+1)(x+3)=x+3+x+1+x+2(x+1)(x+2)(x+3)=3(x+2)(x+1)(x+2)(x+3)=3(x+1)(x+3)。四、逐步通分例4计算1x-1-1x+1-2x2+1。…     

剖析问题 巧抓症结

正一、多项式的乘法例1若(x2+nx+3)(x2-3x+m)的展开式中不含x2和x3项,求m和n的值.解析一些学生一看到题目,他们会毫不犹豫地利用多项式的乘法将(x2+nx+3)(x2-3x+m)展开,得(x2+nx+3)(x2-3x+m)=x4-3x3+mx2+nx3-3nx2+mnx+3x2-9x+3m=x4+(n-3)x3+(m-3n+3)x2+(mn-9)x+3m.     

方差公式的若干应用

<正>学习了方差公式,有些学生往往只局限于具体的数字计算之中,没有体会其中的奥妙,实际上方差公式在数学解题中有着广泛的应用.大家知道,如果一组数据x1,x2,x3,…,x n,其平均数为x=1n(x1+x2+x3+…+x n).1方差为S2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+(x3-x)2+…+(x n-x)2].2此方差公式可简化为S2=1n[x21+x22+x23+…+x2n)-nx2].31代入3得S2=1n[x21+x22+x23+…+x2n)-     

带余除法在求数列通项中的应用

在高等代数中,有关于多项式除法的一个定理:设f(x)和g(x)是F[x]中的任意两个多项式,并且g(x)≠0,那么在F[x]中可以找到多项式q(x)和r(x),使f(x)=g(x)·q(x)+r(x),这里,或者r(x)=0,或者r(x)的次数小于g(x)的次数,     

问疑答难

豁1.已知xl是方程x lgx一3的解，是方程x 10，一3的解，则x、 等于多少? :由x，是方程x十lgx~3的x， lgx，=3，即lgx;=3一x，.众两解x:是方程x 10’~3的解，解徐由暴魂得x: 10，2=3，即10二2=3一x2. x，是y一lgx的图象与直线y~3一x的交点的横坐标，x:是y ~10’的图象与直线y~3一x的交点的横坐标.又y一lgx与y~10，的图象关于直线y一x对称，xl xZ一2二。(x。是直线y~3一x与y一x的交点的横坐标).生狱理化易求得x。一粤，则x， x:一3.‘2.解方程:(x一2)(x一3)(x一4)(x一5)=120.解:原方程可化为〔(x一2)(x一5)〕〔(x一3)(x一4)j=120，即(xZ一7x …     

用定积分直接简证高考理科压轴题

2013年高考全国卷理科压轴题 已知函数f(x)=ln(1+x)-x(1+λx/1+x).(Ⅰ)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值; (Ⅱ)设数列{an}的通项an=1+1/2+1/3+…+1/n,证明:a2n-an+1/4n＞ln 2. 另解 (Ⅰ)先证当λ≥1/2时,f(x)≤0(x≥0)恒成立,即证(1+x)In(1+x)≤x(1+1/2x)(x≥0),即1/2x2+x-(x+ 1)ln(x+1)≥0(x≥0). 设g(x)=1/2x2+x-(x+1)ln(x+1)(x≥0),得g’(x)=x-ln(x+1)(x≥0).     

培养解题能力——探索函数的单调性

一、利用零点法判定函数的单调性 在函数f（x）的定义域内（或指定区间上）任取x1〈x2,作差f（x1）-f（x2）并因式分解变形,记其中关于x1,x2且不能确定符号的式子为g（x1,x2）,然后令g（x1,x2）=0,且x1=x2=x0,从中解出x0,x0是函数f（x）的单调区间的端点,然后就可以利用单调性的定义确定函数的单调区间及单调性,下面举例说明。