托勒密定理·证明·应用(初三)

托勒密,2世纪希腊数学家.定理在圆的内接四边形ABCD中.AB·CD+BC·AD=AC·BD.证明如图1所示,在BD上找一点P,使∠1=∠2.于是在△ABP和△ACD中。     

托勒密定理的一个推广

1引言托勒密(Ptolemy)定理在圆内接四边形中,两对角线之积等于两对对边之积的和.即设ABCD是圆的内接四边形,则AB·CD+BC·AD=AC·BD①文[1]简述了托勒密定理的历史与作用,并提及1866年Casey对托勒密定理的一个推广.Casey定理[2]四圆O1、O2、O3、O4同时内切于圆O,以aij表示圆Oi、Oj的外公切线长,则a12·a34+a23·a14=a13·a24②由于点可以看成是退化的圆,当Casey定理中的四圆O1、O2、O3、O4的半径均为零时,②式变为①式,所以Casey定理确实是托勒密定理的推广.本文将Casey定理中四个内切于圆O的圆O1、O2、O3、O4的部分或全部…     

余弦定理在证明几何定理中的应用

用余弦定理证明几何命题,常常可以不添或少添辅助线,且思路清晰。现将余弦定理在证明几个著名定理中的应用介绍如下: 1.托勒密定理 在圆内接四边形ABCD中,求证:AC·BD=AB·CD+AD·BC(如图1) 证明 记AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,AC=e,BD=f。即证ef=ac+bd。图1 因 cosA=-cosC,应用余弦定理,得     

又两个著名定理的等价性证明及推论

在几何学发展的历史长河中,人们发现了许多经久不衰的平面几何定理,其中托勒密(ptolemy)定理、斯德瓦特(stewart)定理和西姆松(simson)定理尤为著名(三定理均可用初中知识证明).托勒密定理和西姆松定理的等价性已经证明(详见文     

两个著名定理的等价性

本文给出两个著名定理:西姆松线定理与托勒密定理等价性的证明.为方便,将两个定理写在下面:托勒密定理:若四边形ABCD是圆内接四边形,则AB·CD AD·BC=AC·BD.西姆松线定理:三角形外接圆上任一点在三边所在直线上的射影共线.1 用西姆松线定理证明托勒密定理文[1]已给出证明,简述如下:证明 ABCD是任一凸四边形,连接AC,如图,过D向△ABC各边作垂线,垂足分别为 C_1、A_1、B_1,连结C_1B_1,B_1A_1,由西姆松线定理得:     

用极坐标法证明托勒密定理

托勒密定理是平面几何中著名的定理,它有着多种证明方法,然而随着高中课程把《坐标系与参数方程》列入选修系列4,因此,使得极坐标这一传统内容又有了用武之地,本文介绍三种证明托勒密定理的极坐标方法．供高中数学教师阅读时参考．     

托勒密定理的证明及其应用

托勒密(Ptolemy)是公元二世纪时希腊数学家,三角术创始人之一。托勒密定理(下文简称 P 定理)就是他发现的一个著名平面几何定理。这个定理内容是:圆内接四边形中两双对边积的和等于两对角线的积。托勒密曾以此定理为理论基础,造出了世界上第一张弦表。一、P 定理及其逆定理的证明P 定理有多种证法,这里再提出一个较简单的证法,供参考。如图一,四边形 ABCD 内接于圆,对角线 AC、BD 交于 E,求证:     

应用托勒密定理解题

托勒密定理 圆内接四边形两组对边乘积的和等于其两条对角线的乘积。 定理的证明这里略去。 通过构造圆内接四边形运用托勒密定理,常可轻松而直观地解决数学中的一些问     

用托勒密定理解几何题

托勒密（Ptolemy公元前85-165年）是古希腊亚历山大时代的著名数学家和天文学家。托勒密定理是初等几何中相当有趣的重要定理之一。本文就定理及其逆定理的证明和应用,列举数例以供同行教学中参考。     

勾股定理及其逆定理的另证

勾股定理及其逆定理的证法很多．笔者运用平面几何中著名的托勒密定理．构造出托勒密定理满足的基本条件,再借助初中几何的圆及四边形等综合知识,对两个定理加以证明．利用构造的方法,对培养学生的创新思维具有抛砖引玉的功效．     

从证明托勒密定理过程中感受初等几何的思维视角

初等平面几何中定理、性质、结论较多,运用广泛,在数学竞赛中,证明几何题方法灵活机动,可从代数、几何、三角知识作深入性思考,现结合托勒密定理证明作简单阐述,供参考.托勒密(Ptolemy)定理:圆内接四边形的两组对边的乘积之和等于两对角线的乘积.已知:四边形ABCD内接于圆O.证明:AB·CD+AD·BC=AC·BD.证法分析1此定理从几何角度证明方法较多,从中选     

用托勒密定理证明三角等式

本文介绍一种证明三角等式的新方法，即借助三角形的外接圆把三角等式中的三角函数转换为线段比，再运用托勒密定理证明．     

待定点法和退原法证几何题

众所周知，托勒密（Ptolemy）定理的证明，难度较大，关键是添作那条辅助线。本文通过对全量与各分量数量关系的分析，引入一种“待定点法”来解决诸如托勒密定理等型为a·b c·d=e·f一类数量关系的证明和辅助线的添作方法。此外，文中还阐述了另一种证题方法——“退原法”。     

托勒密逆定理及其应用

不少初等几何版本都载有托勒密定理,但对其逆及应用却未见涉及。本文除给出该定理之逆的证明外,并对其应用予以初步整理,以期对该部分内容的教学能有一点助益。托勒密定理及其逆可以概括成如下定理:凸四边形ABCD是圆内接四边形的充要条件是两双对边积的和等于两对角线的积。     

圆中几个著名的定理

托勒密定理托勒密定理：圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积.这个定理的证法有很多,可采用面积证法或余弦定理等方法,这里采用的是相似三角形法,也是比较简单的一种证法.     

正三角形外接圆周上点的性质的推广

众所周知 ,正三角形外接圆上任一点到三顶点的距离 ,其最长者必等于较短二者之和。若将其推广到一般的三角形 ,则得 :定理　Ｐ是△ＡＢＣ外接圆上一点 ,Ｐ与Ｃ在ＡＢ的异侧 ,则ＰＢ·ｓｉｎＢ +ＰＡ·ｓｉｎＡ =ＰＣ·ｓｉｎＣ ,证明　连结ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ ,由托勒密定理 :ＰＢ·ＡＣ +ＰＡ·ＢＣ =ＰＣ·ＡＢ。在△ＡＢＣ中 ,设它的外接圆半径为Ｒ ,由正弦定理得 :ＡＣ =2Ｒ·ｓｉｎＢ ,ＢＣ =2Ｒ·ｓｉｎＡ ,ＡＢ =2Ｒ·ｓｉｎＣ ,将它们代入上式得 :ＰＢ·ｓｉｎＢ +ＰＡ·ｓｉｎＡ =ＰＣ·ｓｉｎＣ。推论 1　如下左图 ,Ｐ是△ＡＢＣ外…     

托勒密定理的向量证明

从向量的角度对托勒密定理进行研究,可以精简证明过程,降低综合几何在解决问题时的难度,也可以直观地得出一些有用的结论．     

托勒密定理及应用

1　基础知识托勒密定理　圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积 .证明 :如图 1 ,四边形ABCD内接⊙O ,在BD上取点P ,使∠PAB =∠CAD ,则△ABP∽△ACD ,于是ABAC=BPCD AB·CD =AC·BP .又△ABC∽△APD ,有BC·AD =AC·PD .上述两乘积式相加 ,得AB·CD +BC·AD =AC(BP +PD) =AC·BD .①注 :此定理有多种证法 ,例如也可这样证 :作AE∥BD交⊙O于E ,连结EB、ED ,则知四边形BDAE为等腰梯形 ,有EB =AD ,ED =AB ,∠ABD =∠BDE=θ ,且∠EBC +∠EDC =1 80°,令∠BAC =φ ,AC与BD交于点G ,则…     

托勒密定理的教法探讨

初中几何第二册复习题五第二十题所求证的命题,是著名的托勒密定理.这个定理的证明方法,给出了证明六条线段a、b、c、d、e、f之间的等量关系??的一般规律.在教学时若能适当加以引导,将会起到举一反三的作用.     

对角互余四边形的一个性质

著名的托勒密定理反映的是对角互补的四边形的四条边及两对角线之间的关系,其关系式工整、优美。本文给出一组对角互余的四边形的四条边及两对角线之间的关系,与托勒密定理颇有些相似之处。