定积分的三大热点问题

定积分题目以考查基础知识为主,难度不大,属中、低档题.现举例分析定积分的三大热点问题,供同学们参考.一、计算型这类题的特点是：给出定积分的表达式,求其值.例1∫_0^（2π）（sinx＋cosx）dx=（）.A.0 B.πC.2πD.4π解：函数y=-cos x＋sin x是函数y=sin x＋cos x的一个原函数.     

从高等数学看数“π”

从高等数学看初等数学中的π,π的概念,π的计算,π是无理数,π是数学中最重要的无理数,也是中学中经常遇到的常数。计算圆的面积是πr~2,圆的周长是2πr。在高等数学中如何去看π,如何解释中学中所遇到的π,这里将利用高等数学的理论方法阐述π的概念,π的计算方法及π是无理数的证明。     

导数法证明不等式的函数构造

应用导数证明不等式是导数的一个重要应用,是不等式证明的一种新方法.导数法证明不等式就是根据原不等式的结构特点,构造适当的函数,进而通过求导考察函数的单调性或最值,再利用函数的单调性或最值来证明不等式.导数法证明不等式的关键是构造函数,本文举例说明构造函数的几种方法,供参考.1对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式,构造函数f(x),使原不等式成为形如f(a)>f(b)的形式.例1证明2sin2cos2sin55555ππ π>ππ cos5π.分析题中2π/5、π/5不是特殊角,若用传统方法证明将会很困难,考虑到原不等式两边的结构相同,分别是x sin x cosx…     

构造函数证明不等式的几种类型

构造函数证明不等式是不等式证明的一种重要方法.它要求我们能敏锐地观察不等式的结构特征,联想一些特殊函数所蕴涵的不等关系,从而合理地选择恰当的函数模型.并能准确地运用它们的性质,将这些不等关系表示出来.1构造单调函数,利用函数值的不等关系例1求证:eπ>πe.证明:令f(x)     

探秘绝对值

1.应用绝对值的定义进行简单计算例1 |3.14-π|的值为() (A)0.(B)3.14-π.(C)π-3.14.(D)0.14.分析不能将π当作3.14,π是比3.14大的一个数.解因为3.14-π是负数,负数的绝对值     

“五点法” 作图的简化

在现行课本和有关资料中,画正弦型曲线y=Asin(ωx+ρ)时,都采用“五点法”画出其一个周期的图象.但在选五个关键点时,是令ωx+ρ=z,然后求出当z分别取0,π/2,π,3/2π,2π时的x值,这就必须解五个一元一次方程(或计算五次代数式的值),而且未能显示出这“五点”的规律性.     

巧构等腰三角形妙证两角互余题

题　若 b>a>0 ,　bsin2 α=asin2 β,bcos2 α acos2 β=b,α,β∈ (0 ,π2 ) .求证 :α 2 β=π2 .此题常规的证明方法是利用已知条件先证明 cos(α 2 β) =0 (或 sin(α 2 β) =1 ) ,再利用余弦函数值等于 0 (或正弦函数值等于1 )的角 α 2 β在 (0 ,3π2 )内只有 π2 来证 .事实上 ,若联想所给条件的几何意义 ,便可构造等腰三角形 ,巧妙地加以证明 .证明　∵ bcos 2α acos 2β=b,∴acos2 β=b(1 - cos2 α) >0 .由 β∈ (0 ,π2 ) ,知 2 β∈ (0 ,π2 ) .由 bcos 2α=b- acos 2β>a(1 - cos 2β)图 1>0及 α∈ (0 ,π2 )知 2 α∈…     

圆周率π的“后事”

圆周率π是圆周长与直径的比值.公元前三世纪,古希腊著名的学者阿基米德计算出π≈3.14.公元263年前后,我国的数学家刘徽,利用割圆术计算了圆内接正3072边形的面积,求得π≈3.1416.又过了约两百年,我国杰出的数学家祖冲之确定了π的值在3.1415926与3.1415927之间.祖冲之之后,阿     

从高等数学看数“π”

从高等数学看初等数学中的π，π的概念，π的计算，π是无理数，π是数学是最重要的无理数，也是中学中经常遇到的常数，计算圆的面积是πr^2，圆的周长是2πr。在高等数学中如何去看π，如何解释中学中所遇到的π，这里将利用高等数学的理论方法阐述π的概念，π的计算方法及π是无理数的证明。     

由图定φ

根据函数y=Asin(ωx φ)的图象特点,有下列几种确定φ的方法.一、最值法利用函数的最值,得一个特殊的三角方程,解得φ.例1如图1,是函数y=Asin(ωx φ) B(A>0,ω>0)的图象的一部分,求y的表达式.解:由图可见,T/2=4,T=8=2π/ω,得ω=π/4.又A=2,所以y=2sin(π/4x φ) 2.当x=-2时,ymax=4,     

π的无理性的两种积分证法

π的无理性的证明较为复杂且难以理解.采用反证法,假设π2或π为有理数,通过两种与积分相关的理论,可对π的无理性进行简单且易于掌握的证明.     

MACHIN算法研究

从估算π值引出麦金算法，并对麦金公式应用初等方法进行推导和证明。利用无穷级数理论和麦金公式估算法，并对麦金公式应用初等方法进行推导和证明。利用无穷级数理论和麦金公式估算π值的许多公式和方法。     

三角函数最值的求解方法

一、利用三角函数的性质求最值1.若函数形如y=asinx+b(或y=acosx+b),可直接利用函数的下列性质来求解:｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1.例1求函数y=sin(x-π6)cosx的最值.解析y=sin(x-π6)cosx=12[sin(2x-π6)-sinπ6]=12sin(2x-π6)-41.当sin(2x-π6)=1时,ymax=21-14=41;当sin(2x-π6)=-1时,ymin=-21-41=-43.2.若函数形如y=acssiinnxx++db(或y=acccoossxx++db),先逆向解得sinx(或cosx)的表达式,再结合性质｜sinx｜≤1(或｜cosx｜≤1)来求解.例2求函数y=8cos2x+83cos2x+1的最值.解析由原式逆向解得cos2x=38y--y8,由0≤cos2x≤1,得0≤8-y3y-8≤1,解…     

数学教师的教学图式

正1由一个例子说起看到下列信息,你会怎么想?你会如何处理?1650年,英国数学家约翰·沃利斯得到了一个奇妙的表达式:π/2=(2·2·4·4·6·6·8…)/(1·3·3·5·5·7·7….)提供数学教师可能出现的回答如下:(1)此题无法证明,中考(高考)也不会考,看了弃之.(2)是一种数学美!有数学家的创造之美,也有分数表达形式的规律之美,可以作为介绍"数学美"的材料.(3)编写成问题:2·2·4·4·6·6·8…1·3·3·5·5·7·7…最接近下列哪个值()A.2π3B.π2C.89D.43     

提高学生计算能力的一点做法

小学高年级“圆、圆柱和圆锥”的计算中,由于位数多,容易出现错误。为了提高计算的正确率,我在教学中采用“先背π值,π当被乘数”的做法,使学生计算的正确率有了明显的提高。具体做法是:首先让学生熟背1～9π的值。     

一道IMO试题的几何模型及应用

第五届IMO第5题是:证明: cos π/7-sos (2π)/7+cos=(3π)/7=1/2. 因为cos (3π)/7=cos(π-(4π)/7)=-cos (4π)/7,所以原题变为: cos π/7-cos (2π/7)-cos (4π/7)=1/2.由于π/7+(2π)/7+(4π)/7=π,故可构造一个三角形来证明.     

Ch.Huyens弧长计算公式的推广和π的新算法

本文将Ch.Huygens利用弦长求弧长的近似公式推广到一般情形,利用所得结果,我们获得了圆周率π的两类新的极限形式,并由此导出π的一系列近似公式,给出了误差估计,从而提供了以高精度计算π值的新方法。     

计算型选择题速解探法

选择题可分为两大类,一类为计算型,另一类为非计算型.计算型选择题一般是通过计算后决择.本文对这类选择题快速巧解的特殊方法进行初步的探讨.1 端值法有一类计算型选择题,其各选项都是综合表达式,对这类选择题采用端值法求解,往往可使解题事半功倍,这种方法是将选择题中有关量(一个或多个)取其端值,将所取端值代入备选各项表达式进行计算,并将得到相应的结果与已知事实、结论、答案等进行比较,     

拓扑学的代数工具——基本群

拓扑空间X的一个代数不变量——基本群π1(X)定义为单位区间I到X的同伦函数的集合.这些函数将0和1映射到某个固定的点.将证明π1(X)能够被赋予一个群的结构,并且它就是X中的同伦不变量.如果X是可三角剖分的,将给出一种计算π1(X)的方法.     

巧变角 速求值

在三角函数的条件求值问题中 ,常需要运用整体观念 ,巧变角 ,沟通条件式和欲求式之间的关系 .现举两例说明 .例 1　已知ｃｏｓα-π3 =1 51 7.,-π2 <α<0 ,求ｃｏｓα的值 .分析　若将条件式ｃｏｓα-π3 直接展开求ｃｏｓα ,虽然思路清晰 ,但无疑有一定的计算量 .若将α-π3 看作整体 ,则ｃｏｓα =ｃｏｓα -π3 +π3=12 ｃｏｓα-π3 -32 ｓｉｎα-π3=1 53 4-32 ｓｉｎα -π3 ,∵ -π2 <α<0 ,∴ -5π6<α -π3 <-π3 ,∴ｓｉｎα -π3 =-81 7,∴ｃｏｓα=1 5+833 4.注　本题通过角的变换α=α-π3 +π3 ,只需求出ｓｉｎα -π3 的值…