《相似形》测试题

一、填空题三．已知线段a＝4cm,b＝9cm,那么线段a、b的比例中项是2已知那么3．如图豆,ABCD的对角线相交于0,E为OD中点,CE的延长钱交AD于几若BC＝18,则DF＝4．如图2,在△ABC中,ACB＝CDAB于D,已知AD＝4BD＝16,则CD＝5．在RtthABC中,CD是斜边AB上的高,BC＝3,AC＝4,则DB＝,CD二6．如图3,在凸ABC中,AB二9,AC＝6,点M在AB上,且AM＝3,点N在AC上,如果连结MN使得凸AMN与原三角形相似,则州一二、选择题1．两个相似多边形的相似比为49,那么这两个相似多边形面积的比为（）（川2：3;（田4：入（o4…     

共边比例定理及其应用

共边比例定理：若△ABC和△DBC有公共边BC，AD交BC于E（或交BC的延长线于E），则＝S△ABC/S△DBC=AE/DE．符合命题条件的两共边三角形，其位置关系有如下四种情形．证如图甲，过A、D分别作BC的垂线，垂足其他三种情形可以类似地证明（略）．如果我们熟悉这个定理的四种情形，并能灵活地应用它，则能方便地、简捷地解答许多数学竞赛题.一、有关线段问题例1如图，在△ABC中，若BD：DC＝CE:EA＝2：1，AD和BE相交于F，则AF：FD＝___．（92－93学年度广州等五市初中数学竞赛题）解　　连结FC，设S△DCF＝S,贝S△BDF＝2…     

《相似形》自测题

一、填空题（每小题6分,共36分）1．若线段a＝3cm,b＝5cm,c＝6cm,则a、b、c的第四比例项d＝_______2．若线段a=3cm,b=12cm,则a、b的比例中项c＝_________．4．如图1,已知5．如图2,在△ABC中,D为AB上一点,BD＝6．在梯形ABCD中,ADBC,AC与BD相交于0,AD＝5,BC＝15,AC＝12,则OA=二、单项选择题（每小题6分,共36分）1．若sa＝7b,则的值分别是（）2．如果,且面ABC与DEF的周长的比是5：3,则它们的对应角平分线的比是（）（A）：5．（B）4：5．（C）5：8．（D）5：3,3．如果平行于三角形一边的直线将此三角形的…     

用平移法解(证)梯形问题

求解有关梯形的几何证明题或计算题时,常常需要添加辅助线,将梯形问题转化为三角形或其他特殊四边形问题,从而使问题巧妙地获解（证）．乎移法即是一种非常有效的方法,将梯形中的有关线段平行移动到适当位置,能够使某些几何量巧妙地联系起来,从而迅速打通解题思路．现举例说明之．一、平移梯形的腰例1如图地梯形ABI中,AD／BC,AD＋AB＝BC,zB＝70,求ZADC的度数．分析将AB平移到DE的位置（即过D作DE／AB交BC于E）,得OABED,则ZI＝Z3＝ZB＝70,AD＝BE,AB＝DE．又AD＋AB＝BC＝BE＋EC,…AB＝EC二DE．故ZZ…     

线段垂直平分线性质定理及其逆定理的应用

定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．同数学语言表示：如图1,直线ｌ上AB于CAC＝BC）。PA。PB．点P在l上J逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．用数学语言表示：如图1,PA二PBrt点P在AB的垂直平分线上．定理提供了判定两条线段相等的依据,逆定理提供了证明点在直线上的依据．它们在计算、证明、作图中都有重要的作用．一、在计算中的应用移ul如图2,等腰rtABC中,过腰AB的中点D作垂线（A、C在此垂线的两侧）交另一腰AC于E,连结BE．如果AD＋AC＝24cm,BD＋BC二20cm,求…     

怎样用方程思想解圆的计算题

中考题中能用方程来解的几何题，随处可见．方程思想是解几何计算题的常用策略．本文以1998年中考题为例，介绍怎样列方程解圆的计算题．一、用勾股定理列方程OIJI如图1，以边长为4的正方形ABCD的边BC为直径作半圆O，再过A作半圆的切线，与半圆切于F，与DC交于E，求S。ADE．门9船年贵州省中考题）分析…AN＝4，…欲求S。。ar，只须求DE的长．设EC＝EF＝x，则DE＝4－x．AF＝AB，·、AE二4＋x．由勾股定理得（4－x）‘＋42＝（4＋x）’…．x＝l，DE＝3，贝gSthADE＝6．二、用和变弱定股列万移例2如图2，CD是等腰RtAIABC…     

(十七)相似形测试卷(A卷)

一、填空题（每空4分，共48分）：1．若线段a＝6，b＝24，则a与b的比例中项c＝；2．若线段a＝3，b＝12，c干5，则a、b、c的第四比例项d一＿；｝若c：b：c72：3：4，则Q＋O。C—；4．如图l，在凸ABC中，DE／／BC，AD—5，DB—10，AE—4，BC—18，则EC一＿，DE一5．如图2，在西AB（”中，AB—12，BC—10，AC—8，AD是角乎分线，BD一，DC一；6．若两个相似三中C对应进的比是2。3，则它们的周长比是，面积比是；7．在Rt凸ABC中，AC—scm，形C—6cm，CD是斜边AB上的高，则AD一，DB，CD一H、单项选择题（每小题5分，共ZO分…     

勾股定理在几何证明中的应用

勾股定理是几何学习中一个非常重要的定理,它揭示了直角三角形三边之间的数量关系．灵活应用这个定理,可巧妙而又简捷地证明一些与线段平方有关的问题．例1如图1,在thABC中,LC＝op,D是AC边的中点．求证：ABZ＋3BC‘＝4BDZ证明在RtrtABC中,ABZ＝ACZ＋BCZ,AC＝ZCD,．’．ABZ＝4CDZ＋BCZ在RtthBCD中,…CDZ＝BDZ－BCZAB’＝4（BD’－BCz）＋BC’AB2十3BCZ＝4BDZ例2如图2,在西ABC中,土C＝op,A为AC的中点,MD上AB于D．求证：BD‘－ADZ－BCZ证明连结BM．在RtthBMD和RtthAMD中,BDZ＝BMZ－…     

从中考题看直线平行与线段成比例的关系

下面介绍两道中考题的解法，意在说明平行线分线段成比例定理的推论在几何解题中的应用．希望同学们能从它的多种证法中归纳出作辅助平行线的一般规律．例1如图1，在△ABC中，M是AC边的中点，E是AB上一点，并且AE个AB，连结EM并延长交BC的延长线于D.求证：BC＝2CD．（1994年吉林省中考题）分析　∵AE一个AB＝4（AE＋EB），于是，要证BC＝2CD，只须征BD＝3CD，即只须证．故问题转化为证但已知条件既无平行线又无相似三角形，为了得到上述比例式，应作辅助平行线．证法一如图1，过C作CF∥AB交DE于F，则AE／CF＝AM／MC，…     

会解一道题 精通一类题

一、选择题：１．下列各式一定成立的是（）．A．a２√＞－aB．x２＋y２√＝｜x＋y｜C．当a＞b时，１a＜１bD．a２＝｜a｜２＝｜a２｜２．如图１，在△ABC中，E、F分别是AC、AB上的点，已知AFFB＝CEEA＝１３，BE与CF相交于O，AO的延长线交BC于D，则BD∶DC＝（）．A．９∶２B．９∶１C．８∶１D．７∶２３．若x＝３√＋２√３√－２√，y＝３√－２√３√＋２√，则２x２－３xy＋５y２等于（）．A．３４０B．３４０－６√C．３４０－６０６√D．３４３＋１４０６√４．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，已知AD＝２，AB…     

比例在几何证题中的应用

学习了《相似形》一章后，我们可以借助比例来证明很多类型的几何题．一、证明两线段相等例1如图1，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，AN交CM于E，BM交CN于F．求证：CE＝CF．证明　由已知易得二、证明两角相等例2　已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC求证：∠B＝∠C．证明　　延长BA、CD交于点E（如图2）．三、证明线段不等例3　在△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，DE交AC于点F．求证：AE＜AF．证明　　过B作BG∥EF交AC延长线于G（如图3），则AG＞AC＝AB．四、证明线段和…     

梯形问题中辅助线的常见添法

一、作梯形腰的平行线例１如图１，已知等腰梯形的两底差等于腰长，求底角度数。分析：只要过D作DE∥AB交BC于E，则有EC＝BC－AD＝CD，又CD＝AB，所以DE＝DC＝EC，即△DEC为等边三角形，∠C＝６０°或１２０°。说明：当题设或结论与梯形两腰或两底差有关时，作腰的平行线，将上下底联系起来，往往能解决问题。二、作梯形对角线的平行线例２如图２，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝１，BC＝４，AC＝３，BD＝４，求S梯形ABCD。分析：我们将上、下两底联系起来看，得边长为３、４、５这一勾股数组，这启发我们平移对角线A…     

证明线段倍半关系的思想方法

证明线段倍半关系的思想方法,常用的有下列六种。一、加培法就是作一线段等于短线段的二倍,证所作线段等于长线段．例l如图地以rtABC的AB＼AC为边作正方形ABDE和ACFC,BC的中点为M．求证：EC。ZAM．思路分析延长AM到N,使MN＝AM,连结BN．于是只领证EC＝AN即可．为此领证rtEth。rtANB．由已知条件得AE＝AB,AC＝AC＝BN,故只须证ZEAG＝ZABN．可知ZEAC和ZABN都是／AsC的补角,于是获证．二、折半法就是作一线段等于长线段的一半,证所作线段等于短线段．例2如图2,A、E、B、D在同一直线上,朋一侧一Ac,M＝m…     

证一道题 弄清一串

命题已知：如图亚,E为AC上一点．求证：（1）若AB＝AD,BC＝DC,贝uBE＝DE;（R）若AB＝AD,BE＝DE,贝uBC＝DC;（皿）若BE二DE,BC＝DC,贝uAB＝AD．证明（1）在凸ABC和西ADC中,AB＝AD,BC＝DC,AC＝AC,凸ABC＿凸ADC．／l二ZZ在rtABE和rtADE中,AB＝AD,士1＝ZZ,AE＝AE,凸ABE＿凸ADE．删一脱．类似地,可证（D）、（皿）成立．掌握了此题的证明思路,《几何》教材第二册中的几道习题就迎刃而解了．例1已知：如图2,AB＝AC,EB＝EC,AE的延长钱交BC于D．求证：BD＝CD．（P46第11题）简析…     

以三角函数为根的方程问题

有关以角的三角函数为一元二次方程的两根的方程问题,题型多样,综合性强,是各地常见的中考综合题．现举例介绍这类问题的解法．一、证明三角函数为某一元二次方程的两个根树IO6年黑龙江省）如图l,AD是①O的直径,一条直线l与OO交于E、F两点,过点A、D分别作直线l的垂线,垂足是B、C,CD交OO于C．（l）求证：AD·BE＝FC·DF;（2）设AB＝。,Bc＝n,CD＝p．求证：哈／FAD、电全州F是方程。’－。＋p＝0的两个实根;（3）若（2）中的方程满足n‘＝4mp,判断直线l与0O的位置关系．分析（）、（3）略．（2）在RtAIDFC和Rt…     

数学奥林匹克问题

本期问题初173如图1,在正方形ABCD中,以图1点A为圆心、AB为半径画弧BD交AC于E,⊙O1与AB、AD相切且与BD内切,⊙O2与CB、CD相切且与BD外切,过点E作⊙O1的切线PE交CD于P.求证:∠APO1=∠CPO2.初174已知ABCD是一个正方形,点M(异于点B、C)在边BC上,线段AM的垂直平分线l分别交AB、CD于点E、F.(1)问:BE与DF谁更长?请说明理由.(2)若AB=1,求|BE-DF|的取值范围(点M取遍线段BC内部的每一个点).高173已知x、y、z∈R+,x+y+z=1.求证:x12-xy12-yz12-z≥2363.高174设S={1,2,…,n}.求最小自然数n,使当任意将S划分成两个子集时,总…     

证明圆中线段相等的思路分析

证明圆中线段相等,是中考试卷中的常见题型。现按所用知识分类介绍其证明思路．一、用等弧对等弦来证例1已知：如图1,AB是O1的直径,C是O1上的点,以AC为直径作O2,交AB于D,过C作O1的切线,交O2于E．求证：CE＝CD．（1997年镇江市中考题）分析。·AC是直径,…CD上AB;·．－AB是直径,’．AC上BC．于是／2＝／B．又上1＝ZB,’．／l＝／2．．－．AE＝AI）．要证“＝CD,～～～～只须证CE＝CD…·AC是直径,…AEC＝ADC．·”·CE＝CD．获证．二、用垂径定理来证例2如图2,AF是OO的直径,以OA为直径的①C与OO的…     

利用全等三角形的性质解题

学习了三角形全等的判定以后，可以利用全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等，对应角相等）解决许多类型的几何问题，如下面几例．一、证明线段相等例1在△凸ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分钱交AC于E，交BC边上的高于D，过D作直线平行于BC交AC于F．求证：AE＝CF．证明如图1，作DM⊥AB交AB于M，作FN⊥EC交BC于N．∵BE是∠B的平分线．二、证明角相等例2如图2，已知AC＝AB，DE＝DB，∠CAD＝∠EDA＝60°．求证：∠AFB＝∠BGC证明∵AC＝AB，DE＝DB，又∠CAD＝∠EDA＝60°，．．bABC和凸BDE都是等边三角…     

一道数学奥林匹克问题的简解

题目在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是边AB上的一点,线段CD的垂直平分线分别交边AC、BC于点M、N.若AD=a,BD=b(a、b是给定的正数),试求CM、CN的长度(用关于a、b的最简式子表示),并确定ab的取值范围[1].图1解:如图1,设CM=DM=x,作DP⊥AM于点P.则DP=a2=AP,MP=a 2b-x-a2=b2-x.由x2=a2     

三角形内角平分线定理在几何题中的应用

1.证明线段成比例 例1 在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥C,∠ABC的平分线交AD于F,交AC于E,求证:DF:FA=AE:EC.(初中《几何》第二册总复习题18题)。 思路:如图1,由本题结论特点,可寻找第三个比:分别在△ABD和△ABC中应用三角形内角平分线定理,得DF/FA=BD/AB和AE/EC=AB/BC.如果BD/AB与AB/BC相等,问题即解决。由直角三角形比例中项定理可得AB~2=BD×BC,即BD/AB=AB/BC.