求函数最值的一般方法和应注意的问题

本文主要是总结一下现行统编教材中涉及到的最值问题的求法,以及在应用这些方法时要注意的问题。一、一元二次函数的最值 1.y=ax~2 bx c(a≠0,x∈R)当x=-b/2a时,y(最值)=(4ac-b~2)/4a 2.y=ax~2 bx c(a≠O,x∈[α,β])(1)-b/2a∈[α,β]时,y_(max)=max{f(-b/2a),f(α),f(β)}     

力学中求极值的常用方法

1.配方法 对于二次函数y=ax~2+bx+c,通过配方可得: y=a(x+(b/2a))~2+((4ac-b~2)/4a)。 由二次函数的极值性可知: 若a<0,则y有极大值,当x=-b/2a时,y_(max)=4ac-b~2/4a;若a>0,则y有极小值,当x=-b/2a时,y_(min)=4ac-b~2/4a。     

解题教学应是“想法”展示的教学

正一、案例分析题目:已知二次函数f(x)=ax~2+bx+c的图像过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,使不等式x≤f(x)≤1/2(1+x~2)对一切x∈R都成立?此题不仅在辅导资料上流传甚广,而且它有一种奇妙的解法也比较流行,那就是:对于不等式x≤f(x)≤1/2(1+x~2),令x=1,得到1≤f(1)≤1,从而知f(1)=1,即a+b+c=1①;然后根据二次函数f(x)=ax~2+bx+c的图像过点(-1,0),知a-b+c=0②,由①、②知b=1/2,a+c=     

函数y=|ax~2+bx+c|的图象和性质的应用

函数y=|ax2 bx c|(a≠0)在区间[p,q]上的最大值,由其图象易知只能在x=p或x=q或x=-b/2a处取得,利用这一性质可以直观明晰地解决有关问题. 例1 已知二次函数f(x)=ax2 bx c,当|x|≤1时,有f(x)≤1.求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7. 分析:只需证|f(-2)|、|f(2)|均不大于7,且当|-b/2a|≤2时,|f(-b/2a)|也不大于7     

二次函数在几何上的应用

本文在没有特别举明的情况下,y=f(x)总表示二次函数y=ax~z bx c(a≠0)。 定理1 方程f(x)=0有根的充要条件是△=b~2-4ac≥0。 定理2 当a>0时,f(x)在x=-b/(2a)时达到最小值(4ac-b~2)/(4a),当a<0时,f(x)在x=-b/(2a)时达到最大值(4ac-b~2)/(4a)。     

二次函数图像的对称性与满足S_m=S_n的等差数列

<正>二次函数y=f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图像(抛物线)关于直线x=-b/2a对称.如果有f(p)=f(q),且p≠q,则f(p+q)=c.简证如下:法1 f(p)=f(q),因为对称轴方程为x=-b/2a=(p+q)2,所以,p+q=-b/a.所以f(p+q)=f(-b/a)=a(-     

方程知识在二次函数中的应用

利用平面直角坐标系可能直观看出二次函数与一元二次方程的紧密联系,一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax~2 bx c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标,而二次函数的图象与x轴有无公共点又由判别式b~2-4ac来决定。因此,在解决有关函数的问题时,常常要用到一元二次方程的有关知识。下面例举方程知识在二次函数中的应用。 例1 二次函数y=ax~2 bx c(a≠0)在x=-1时有最小值-4,它的图象与x轴交点的横坐标分别为x_1、x_2,且x_1~2 x_2~2=10。求此二次函数的解析式。 解:由题意可知,抛物线的顶点坐标为(-1,-4),故设其解析式为y=a(x十1)~2-4(a≠0)。     

二次函数的定积分

本文译自《大学数学》Ⅱ_B(中田羲元·根岸世雄·藤田 宏共著).[B.611]若f(x)是二次函数,则integral from -h to h(f(x)dx)=h/3[f(-h)+4f(0)+f(h)].证 设f(x)=ax~2+bx+c (a≠0)integral from -h to h((ax~2+bx+c)dx)=2integral from 0 to h((ax~2+c)dx)=2[(a/3)x~3+cx]_0~h=h/3[2ah~2+6c]又f(-h)=ah~2-bh+c4f(0)=4cf(h)=ah~2+bh+c以上三式相加得     

由一道错题引出的一节探究性学习课

题目(一道函数不等式的综合题):是否存在实数a,b,c,使二次函数f(x)=ax~2+bx+c满足f(-1)=0,且对一切实数x∈R,都有     

二次函数的一个特性及其应用

二次函数 f(x)=ax~2+bx+c.(a≠0,x∈R)(1)是初等数学里最常见的函数,它的应用很广。本文将介绍二次函数的一个特性及其应用。 (一)二次函数的一个特性我们知道,二次函数 f(x)=ax~2+bx+c.(a≠0,x∈R)在任何一个闭区间[ξ,η]上连续,且在开区间(ξ,η)上可导(ξ∈R,η∈R,)。因此,微分中值定     

二次函数的研究

内容概述二次函数的解析式由条件确定二次函数的解析式需要三个独立的条件,一般有如下三种特定形式:1.一般式y=ax2+bx+c(a≠0)2.顶点式y=a(x-m)2+h(a≠0)3.分解式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)二次函数的最值对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)若自变量x为任意实数,其最值情况为:当a>0,x=-b/2a,fmin=4ac-b2/4a;当a<0,x=-b/2a,fmax=4ac-b2/4a.若自变量x在范围x1≤x≤x2上取值时,其最值情况为:对a>0,有如下结论:     

2011中考之二次函数

中考知识梳理1.二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0)的图象与性质其图象是抛物线,对称轴是直线x=-b/(2a),顶点坐标是(-b/(2a),(4ac)-(b~2)/(4a)).(1)当a>0时,抛物线的开口向上,当x<-b/(2a)时,函数值y随x的增大而减小;当x>-b/(2a)时,函数值y随x的增大而增     

数学写作——展现自我的舞台

这是一堂关于函数表达式的习题课,教学对象是高一学生.问题:已知f(2x+1)=x2-2x,求f(x)与f(2x-1)的解析式.学生解法:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(2x+1)=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c=x2-2x.易得4a=1,4a+2b=-2,a+b+c=0,解得a=14,b=-32,c=54,所以f(x)=14x2-32x+54,f(2x-1)=x2-4x+3.师:为什么可以"设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)"?生1:因为可以推测f(x)一定是二次函数.如果f(x)不是二次函数,则f(2x+1)的解析式也不会是二     

零值定理应用之管见

本文就零值定理在在二次函数中的应用,谈一点我们的看法。零值定理:设f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数且在区间两端点的数值f(a)、f(b)异号,那么一定有一点C(a相似文献   

判别式在解题中的应用

一无二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)根的判别式Δ=b~2-4ac常用于解方程、判别根的性质以及求解有关直线与二次曲线的位置关系等问题。除此之外,如能创造必要的条件,还可用判别式解其他某些题目,下面举例加以说明。 (一) 根据二次函数f(x)=ax~2 bx c(a≠0)的图象,容易得到:当a>0,Δ=b~2-4ac≤0时,则f(x)≥0;若a<0,Δ=b~2-4ac≤0时,则f(x)≤0。     

源于二次函数两个重要性质的联想

二次函数f(x)=ax~2 bx C(a、b、C∈R,a≠0)有两个重要性质: (1)f(x)的图象有唯一的对称轴x=-(b/2a),且在对称轴左、右两侧对应的区间(-∞,-(b/2a)]与[-(b/2a) ∞)上,f(x)具有相反的单调性;     

二次函数“两点式”的应用

对于二次函数问题,"两点式"的运用,往往会达到意想不到的效果.下面列举几例,说明其应用.例1已知函数f(x)=ax~2 bx c (a>0),方程f(x)=x的两根是x_1、x_2且x_2-x_1>1/a.又若0相似文献   

一元三次函数单调性的一种初等求法与应用

任何一个一元三次函数f(x)=a_3x~3 a_2x~2 a_1x a_0经过平移交换后一定可以转化为f(x)=ax~3 bx c的形式.本文先用初等数学的方法给出这种类型函数的单调区间,然后举竞赛题作为例子说明其应用. 定理函数 y=ax~3 bx c(a≠0)的单调性如下: 1.若a>0,b>0,则在(-∞, ∞)上单调递增. 2.若a<0,b<0,则在(-∞, ∞)     

浅谈判别式的应用

实系数一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)或实系数一元二次多项式f(x)=ax~2 bx c(a≠0)的判别式:Δ=b~2-4ac在解题中有着非常广泛的应用,现就数学教学实践中遇到的问题,举例说明。     

二次函数知识清单

1.二次函数的一般式y=ax~2 bx c(c≠0)中有三个参数a,b,c.解题的关键在于:通过三个独立条件"确定"这三个参数.例1.已知f(x)=ax~2 bx,满足1≤f(-1)≤2且2≤f (1)≤4,求f(-2)的取值范围.分析:本题中,所给条件并不足以确定参数a,b的值,但应该注意到:所要求的结论不是f(-2)的确定值,