用列表法解决问题

例1.小明玩一种游戏,游戏的方法是:将分别写着1、2、3、4、5的5张数字卡片先放在一个不透明的盒子里摇匀,然后从中抽取两张,再算出两张卡片上数字的积。问:得到的积是奇数或偶数的可能性各是百分之几?我是这样解的。也许有些同学会认为,得到的积是奇数和偶数的可能性都是50%,其实不然。要想知道得到的积是奇数的可能性是百分之几,就要知道在这个游戏中积一共会有多少种可能,其中积是奇数又     

三个游戏规则的公平性判断

例1小明和小亮玩一种游戏：三张相同的卡片上分别标有数字1,2,3,现将标有数字的一面朝下,小明从中任意抽取一张,记下数字后放回洗匀,然后小亮从中任意抽取一张,计算小明和小亮抽得的两个数字之和,如果和为奇数,则小明胜;若和为偶数．则小亮胜．     

符号法则的变通与灵活运用

变通有理数运算的有关符号法则,可以得到与之相关的许多基本规律,例如①如果若干数的和为正数,那么这些数中至少有一个正数。②如果若干个敬的和为负数,那么这些数中至少有一个负数。③如果若干个非零的数的和等于零,那么这些数至少有一个正数,也至少有一个负数。④若干个非零的数相乘(除),如果负数的个数是偶数,那么运算结果必为正数;如果负数的个数是奇数,那么运算结果必为负数。⑤若干个非零的数相乘(除),若运算结果为正数,则负数个数必为偶数个;若运算结果为负数,则负数个数必为奇数个。⑥偶数个数相乘(除),若运算结果为负敏,则至少有一个正数,也至少有一个负数。⑦一个不为零的数的奇次幂必与这个数     

数学黑洞“西西弗斯串”之谜

西西弗斯串 ,就是任取一个数 ,数出这个数中的偶数个数、奇数个数及所有数字的个数 ,用这三个数组成第二个数字串。对第二个数字串重复上述程序 ,为此反复进行 ,最后必得一个数字串是 1 2 3,将数字串 1 2 3重复进行 ,仍得 1 2 3。对这个程序和数的“宇宙”1 2 3就是一个数学黑洞。无论取什么数 ,经过若干次西西弗斯串的所有数字的个数 ,一定会达到小于 1 0。下面就所有数字的个数小于 1 0的数进行研究即可。一个数的偶数个数 ,奇数个数 ,及所有数字的个数不外三种情况。( 1 )偶数个数 ,奇数个数都是奇数 ,则所有数字的个数就是偶数。( 2 )偶…     

根据奇偶性分类枚举

[题目]能否找到两个自然数A和B,使A2=2006 B2。[分析与解]解这道题,可先将A、B按奇偶性进行分类,然后再分别判断。(1)A、B的奇偶性不同。如果A是奇数、B是偶数,那么A2是奇数,B2是偶数,2006 B2的和是偶数,这与A2=2006 B2相矛盾;如果A是偶数,B是奇数,那么A2是偶数,B2是奇数,2006 B2的和是奇数,这与A2=2006 B2相矛盾。(2)A、B同为奇数。如果A、B均为奇数,那么A除以2余1,A2除以4余1,B除以2余1,B2除以4余1,2006 B2除以4     

排列、组合、二项式定理考点与解题指导

在历年高考数学试题中,考查排列、组合、二项式定理均以考查基础知识、基本技能和基本方法为主.涉及排列、组合内容的问题.基本都是用加法原理或乘法原理、排列或组合的概念以及排列数或组合数公式求解的应用题.考查二项式定理的重点则是应用二项展开式的通项公式解决有关问题.这部分的考试题型几乎全是选择题和填空题,解答题的大题很少出现.考查的数学思想方法主要有分类思想、转化思想等.现以历年的高考试题为例,探求这部分内容的题型以及解法.例1:从1,2,…,10这十个数中取出四个数,使它们的和为奇数,共有_____种取法(用数字作答).(’93全国新高考题)分析:从1,2,…,10这十个数中取出四个数,其和为奇数的情形有两类,一类是取3个奇数和1个偶数,另一类是取3个偶数和1个奇数.由于无法将这两类合成去解答,因此应分别考虑.因为取3奇1偶和3偶1奇的种数都是C~3_5C~1_5,故由加法原理共有C~3_5C~1_5 C~3_5C~1_5=100种取法.(2)对于某些有限制条件的排列组合应用题.若看成一类无法解答,则应分成若干类分别讨论.例2:用0,1,2,3,4这五个数字组成没有重复数字的四位数,那么,在这些四位数中,是偶数的总共有( )(A)120个(B)96个(C)60个(D)36个(’88广东高考题)     

趣题两道

同学们，请到数学乐园走一走。借以下两道趣题与大家共享新年的快乐。①１＋２＋３＋４＋……＋２００２＋２００３的和是奇数还是偶数？因任意个偶数相加的和是偶数，奇数个奇数相加的和是奇数，偶数个奇数相加的和是偶数，而２００２÷２＋１＝１００２（奇数的个数）所以１＋２＋３＋４＋……＋２００２＋２００３的和是偶数。②在３３３３……３ ４×３３３３……３ ３的乘积中，有多少个数是２００３个数位２００３个３偶数？解法一：因为４×３＝１２，积中有１个偶数；３４×３３＝１１２２，积中有２个偶数；３３４×３…     

利用奇偶性解题

奇数和偶数是整数知识的两个基本概念.它们有许多有趣的性质：如： 偶数±偶数 奇数±奇数 奇数×偶数 =偶数 偶数×偶数 偶数个奇数和 奇数±偶数 奇数×奇数 =奇数 奇数个奇数和这些性质看起来简单,我们灵活运用这些性质,可以解决许多实际问题.例1 有五个都不超过13的正整数的和是37,它们的积是18480,问这五个数分别是多少?分析：这五个数一定都是18480的因数.因为18480=24×3×5×7×11,所以这五个数一定是1、2、3、5、7、11中一个数或几个数的公倍数.     

构造子集解一类组合计数题

根据元素性质,分类构造子集,解答组合中的某些计数问题,显得思路清晰,运算简便。 1 奇偶分类构造子集 例1 从1,2,…,10这十个数中取出若干个数,其和为奇数的取法有多少种? 解 设全集I={1,2,…,10},子集A={1,3,5,7,9},若从A中取奇数个奇数,且从A中取若干个(可以不取)偶数,则其和必是奇数。     

61与54

“六一”是国际儿童节;“五四”是中国青年节。请你将1——8八个数字,填入直线段的八个方框里:□—□—□—□—□—□—□—□要做到:每两邻两数相乘,共有七个积(有奇数也有偶数),其中奇数的和等于61,偶数的和等于54。想一想,该怎样填?     

滑轮组教学的几点体会

在滑轮和滑轮组的教学中,滑轮组的应用相当重要。我根据滑轮组在生产和生活中的实际应用,对滑轮组的教学有以下几点作法。 一、首先搞清滑轮组的组成有下列两种情况: 1.在实际应用中,滑轮组有奇数个滑轮和偶数个滑轮组成。在奇数个滑轮组成的滑轮组中如定滑轮是奇数个,则动滑轮是偶数个;如定滑轮是偶数个,动滑轮则是奇数个。 2.在偶数个滑轮组成的滑轮组中,不论是定滑轮还是动滑轮,不是奇数个就是偶数个。无论怎样组成,只能根据实际应用,要求选用的滑轮组的滑轮个数应该是最少。 二、关于滑轮组绕过绳子的段数。不论是奇数个滑轮还是偶数个滑轮组成的滑轮组所能绕过绳子的最多段数是:滑轮组的滑轮个数加一,而且承担重物绳子的最多段数也是滑轮组的滑轮个数加一。 三、绳子的具体绕法分下列两种情况: 1.在奇数个滑轮组成的滑轮组中,如果定滑轮的个数少于动滑轮的个数,绳子的一端必须拴在定滑轮的钩上,绕过滑轮组绳子的段数是滑轮组的个数加一,承担重物的绳子的段数也是滑轮的个数加一,绳子上拉,不能改变用力方向(如图一所示)。     

奇数和偶数

大家都知道奇数是不能被2整除的整数,偶数是能被2整除的整数。下面大家就一起做几道练习,体会一下奇数和偶数之间的转换规律。1.任何整数乘以2都得到偶数。现在请你随便选一个奇数和一个偶数,比如5和6,把这两个数分别乘以2,得到10和12,你会发现这两个数都是偶数。你再试一试其它数,看是不是无论奇数还是偶数乘以2之后得到的数都是偶数,想一想这是为什么。看看偶数的定义就明白了,一个整数乘以2肯定是2的倍数了,也就是偶数了。所以我们可以说,任何整数乘以2都得到偶数。同理,任何整数乘以2的倍数也得到偶数。2.两个奇数之和(差)是偶数,两个偶…     

怎样求连续数的个数

一、连续自然数的个数是:尾数-首数+1。例如,自然数1,2,3,……,100的个数是100-1+1=100(个)。又如,自然数10,11,12,……,206的个数是206-10+1=197(个)。二、连续奇数或连续偶数的个数是:(尾数-首数)÷2+1。例如,连续奇数1,3,5,7,9,11,13,11,15的个数是(15-1)÷2+1=8(个);25,27,29,……,99的个数是(99-25)÷2+1=38(个)。又如,连续偶数12,14,16,……,108的个数是(108-12)÷2+1=49(个);100,102,104,……,200的个数(200-100)÷2+1=51(个)。三、差数相同的连续自然数的个数是:(尾数-首数)÷差数+1。例如:差都是3的自然数1,4,7,……,247的个数是(2…     

问题3．12

有卡片n^2张，在每张上任意写上两个不超过n的正整数，一个用红笔写，一个用蓝笔写，但要使得任意两张红字相唰的卡片上的蓝字都不相同，现把每张卡片上的两个数字相乘，求出这些乘积的和．     

整数与偶数,哪一种数多?

下课了,有位教师在办公室谈起上课时学生问他的问题———“整数与偶数,哪一种数多?”这位教师毫不犹豫地说:“当然是整数比偶数多了。”而且他还说:“偶数的个数等于整数个数的一半!”什么道理呢?这位教师继续解释道:“那是因为奇数与偶数合起来就是整数,而奇数与偶数是相间排列的,所以奇数与偶数一样多,大家都是整数的一半。整数包括偶数,偶数是整数的一部分,全量大于部分,整数比偶数多这不是显而易见,再明白不过的事吗?”你认为这样回答有道理吗?这真是不成问题的问题!可是,往往就在这种最不成问题的问题上出了问题。我们要比较两个班级…     

无限思想与数学发展

一位教师在教学“自然数按能否被2整除分为偶数和奇数”时,让学生按从小到大的顺序列举偶数与奇数,并板书,然后引导学生探究偶数和奇数的特点.这时,有一位学生提出了自己的看法:自然数的个数是偶数个数的2倍.他的理解是:因为自然数是按一个偶数一个奇数,又一个偶数又一个奇数这样的顺序排列的,偶数与奇数的个数一样多,所以说自然数的个数既是偶数个数的2倍,也是奇数个数的2倍.该教师立刻表扬了这个学生,说“:你的眼力真厉害,看问题很全面,自然数的个数确实是偶数个数的2倍.”看到这里,我们不禁要问,自然数集是无限集,怎么可以说自然数的个数是偶数个数的2倍?如果该教师具备集合论的知识,就不会犯下这样的科学性的错误了.而且,这样的错误在中小学数学教学中并不是少数.我们认为,为了搞好数学教学,光在教学设计上下工夫是不够的,教师一定应当具有广泛的数学知识背景,不仅要明了中小学数学知识的背景、地位与作用,还应该对数学所蕴涵的文化价值、思想方法、人文观点等有自己的体会.因此,我们将推出一系列结合中小学数学知识的数学史话文章,只求老师们能从中学到一点对自己今后教学有用的知识,以提高数学教学的科学性.     

和为偶数的奇素数对的个数

和为偶数N的奇数对可分为三种情况,第一种是奇合数对(这里把1看做奇合数);第二种是1个是奇合数、1个是奇素数的奇数对;第三种是奇素数对.小于N的奇合数的大约个数可以根据奇合数所含的因数情况来求出,和为N的奇合数对的大约个数也可以根据奇合数对所含的因数情况来求出,小于N的奇合数除两两组成和为N的奇合数对外,其余只能与小于N的奇素数组成和为N的奇数对.求出前两种和为N的奇数对的大约个数,就能求出和为N的奇素数对的大约个数.     

欲穷千里目 更上一层楼

把1,2,3这三个数,任意地安排在一个等边三角形的三个顶点上,然后把相邻的两个数相乘,得出三个数,再把这三个数相加.请看图1:这里a,b,c代表1,2,3的某种排列,相邻的两数相乘,我们得到三个数ab、bc、ca,然后把它们相加,得到     

初中数学竞赛题中的数字问题

数字问题是数学竞赛中常见的一类问题,解决的办法有:分析数字的特征,如对奇数、偶数的分析,分解质因数的连乘积,求几个数的最大公约数、最小公倍数等;有些问题则需要用布列方程,然后求出方程的整数解。下面以近年来的初中数学竞赛题为例,探讨这类问题的解法。     

二项式系数中奇数的个数

二项式系数C_n~0,C_n~1,C_n~2,…,C_n~n中奇数的个数是一个十分有趣的问题。它等价于求出二项展开式(1 x)~n中奇数项的问题。对n=0,1,2,3,4,…时的特殊情况,计算后可以得出这样一个结论:二项式系数中奇数的个数是2的一个方幂。自然要问它是2的几次方?或者对具体的n怎样来求出这个数?本文将证明: 定理 (1 x)~n中奇系数项的个数是2~k其中k是把n写成二进制的非零数字的个数。我们首先证明几个引理,然后利用它们来证明定理。引理1 在n=2~m-1时,C_n~(?)全是奇数。