巧用放缩法解题

放缩法是中学数学的常用解题技巧之一,特别适用于思维难度大,构造性强的题目,能全面而综合地考察学生的潜能和后续学习能力.本文归纳了运用放缩法解题的几种常见情况.1.和三角形有关的放缩法在和三角形有关的问题中,要用到三角形三个角的度数为正,且和为一个定值,再结合放缩法解题.例1已知锐角三角形的三个内角度数为A,B,C,并且满足A＆gt;B＆gt;C,用α表示AB,B-C以及90°-A中的最小者,     

巧用“目标三角形法”构造全等——例谈构造全等三角形的一般策略

<正>全等三角形是解决初中数学中图形问题的重要的基础知识和工具.通过构造全等三角形,整合问题中隐含的解题信息,是常见的解题策略.本文以一道典型的求角度问题为例,从边入手,使解题需要的全等三角形自然生成.一、问题及解题困惑题目如图1,在△ABC中,AB=AC,∠CAB为钝角,延长AB到点D,延长CA到点E,连结DE,恰有AD=BC=CE=DE,求∠BAC的度数.解题困惑 (1)在弄清问题的已知条件后,多数学生发现要求角的度数,     

放缩法在解题中的应用

<正>在初中数学竞赛中,经常需要运用放缩法来求解一类问题.所谓放缩法,就是将代数式的某些部分适当地放大或缩小,从而得到相应的不等式,以达到解题的目的.在使用放缩法解题时,要注意放和缩的"度".本文举例说明放缩法在解题中的具体     

选准目标三角形 构造全等自然成——以一道求角度问题为例谈构造全等三角形的一般策略

<正>全等三角形是几何图形问题的重要基础知识和工具.构造全等三角形,聚焦整合问题中隐含的关键解题信息,是常见的重要解题策略.辅助线的添加是构造全等三角形的难点.本文从一道典型例题出发,说明怎样自然地选取目标三角形来添加辅助线.一、问题及解题困惑1、问题如图1,在△ABC中,AB=AC,∠CAB为钝角,延长AB到D,延长边CA到E,连结DE,恰有AD=BC=CE=DE,求∠BAC的度数.2、解题困惑(1)在刚弄清问题的已     

教学三角形内角和的六种方法

在进行“三角形内角和”这部分内容的教学时,为了讲清“三角形内角和是180°”的道理,我采用了多种方法加以证明,归纳起来有以下六种方法.1.度量法.课前让每个学生剪出不同大小、不同形状的几个三角形.教学时,指导每个学生实际度量各种三角形的三个内角度数,然后算出每个三角形三个内角的度数的和是多少度,使学生从这些感性认识中明白:不论是什么形状的三角形,均有“三角之和等于180°”这一特征.     

一道极值赛题的推广

笔者为2005年全国初中数学联赛提供了一道几何极值题,即下面的例1.例1已知锐角△ABC的三个内角满足A>B>C.用α表示A-B、B-C以及90°-A中的最小者.则α的最大值是.从下面的解法中可以看到,虽然题目以几何形式出现,并用到了“三角形内角和定理”,但更实质性的运算是不等式的放缩(     

追本溯源 化繁为简——例析放缩法解题的思路及策略

<正>放缩法是进行不等变换的有效工具,应用放缩法解题有较强的技巧性.本文结合实例分析放缩法的应用价值,探索应用放缩法的一般步骤和策略.一、放缩法概述不等式是高中数学中各知识间联系的纽带.使用不等式的性质时,应注意区别各类不等式的特点以及如何正确对不等式进行转换.用放缩法解题,体现了"同向的不等关系具有可传递性"这一朴素的原理,即如果a>b,b>c那么a>c.它有着重要的思维价值,运用的关键是由a和c构造合适的b,进而建     

“三角形内角和”教学设计与意图

教学目标： 1．通过测量、剪拼等方法,探索和发现三角形内角的度数和等于180度。 2．已知三角形的两个角的度数,会求出第三个角的度数。     

边长及角度数均为有理数的三角形问题

我们所常见的三角形 ,三个角度数都是有理数时 ,往往含有无理数的边长 ,而三边长都是有理数时 ,它的三个角的度数又往往不都是有理数 .有没有三个角的度数及三边长均是有理数的三角形呢 ?显然 ,边长为有理数的正三角形就是这样的三角形 .我们要问 ,除了正三角形外 ,还有没有其它三角形也满足这个条件呢 ?本文要证明 ,三个角的度数及三边长均为有理数的三角形只能是正三角形 .先证明下面三个引理 .引理 1　若 cosθ为有理数 ,而 m为整数 ,则 cos mθ也是有理数。证明　只对 m为正整数证明即可 .cos mθ+ isin mθ=( cosθ+ isinθ) m =∑mk=0…     

巧用“目标三角形法”构造全等——例谈构造全等三角形的一般策略

全等三角形是解决初中数学中图形问题的重要的基础知识和工具.通过构造全等三角形,整合问题中隐含的解题信息,是常见的解题策略.本文以一道典型的求角度问题为例,从边入手,使解题需要的全等三角形自然生成.一、问题及解题困惑题目如图1,在△ABC中,AB=AC,∠CAB为钝角,延长AB到点D,延长CA到点E,连结DE,恰有AD=BC=CE=DE,求∠BAC的度数.     

以回避求严谨——三角形内角和教法小议

在进行“三角形内角和”这部分内容的教学时,一些教师为了讲清“三角形的内角和是180°”的道理,采用了各种不同的证明方法,归结起来,大致有以下五种。 1、度量法通过具体度量三角形的三个内角的度数,发现对于若干种不同形状的三角形,均有:同一个三角形的三内角度数之和等于180°。于是教师下结论说:“由此证明,三角形三个内角的和是180°。”     

设未知数求三角形的角

在《三角形》一章中，经常会遇到计算三角形角的度数问题．解这类问题的依据通常是三角形内角和定理、外角定理及特殊三角形的有关性质．但是有些题目较灵活，直接用几何方法去求角的度数比较困难甚至无法求解，如用设未知数列方程（或方程组、不等式）来解，则能化难为易．现举例说明如下．例1某三角形两个外角和等于第三个内角的三倍，求第三个内角的度数．解设该三角形三个内角分别为a、尸、y，其中y为第三个内角．依题意得y＝90o，即第三个内角是90o．例2等腰三角形ABC中，D为底边BC上一点，AC二CD，DA—DB，求LBAC的度数．解如…     

三角形法分析动态平衡问题

<正>1.相似三角形法:正确作出力的三角形(矢量三角形)后,如果能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形(几何三角形)相似,则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系,从而达到求未知量的目的。使用范围:往往涉及三个力,其中一个力为恒力,另两个力的大小和方向均发生变化,则此时用相似三角形分析。相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法,解题的关键是作出正确的受力分析,寻找力的矢量三     

用发现法教“三角形内角和”

教学六年制九册53面“三角形内角和”时,我运用发现法分四步组织课堂教学,收到了较好的教学效果。1.尝试作图一一激疑。上课开始,教师出示五组角的度数:①∠1=40°、∠2=90°、∠3=50°;②∠1=70°、∠2=80°、∠3=100°;③∠1=15°,∠2=30°、∠3=40°;④∠=45°、∠2=75°、∠3=60°;⑤∠1=20°、∠2=15°、∠3=145°。要求学生根据这五组角的度数,分别作出一个三角形。学生根据前几节课学习的三角形知识,分别利用第一、四、五组角中三个角的度数,很快作出了一个三角形,但无论如何也不能根据第二、三组角的度数作成另外两个三角形。于是,纷纷举手提问。2.启发谈话一一引思。教师抓住学生的疑点进行启发性谈话:同样给定三个角,根据第一、四、五组三个角的度数,同学们很容易作出一个三角形。现在,我们来口算一下作成的这些三角形的三内角和是多少度。待学生口答是180°后,教师接着说:其余两组角的度数和都不是180°,这是不是说,要作成一个三角形,给出的三个角的和必须是180°呢?学生在教师的启发下,思维十分活跃,并初步形成了三角形内角和等于180°的概念。     

解三角形的解题思路

三角形有三条边三个角共六个元素,知道其中三个可以求另外三个.本文对正弦定理和余弦定理的适用范围进行了重新审视,以所知三个元素的边的个数正确选择使用正、余弦定理灵活解三角形,进一步理清解三角形的解题思路.     

操作活动要为学生预留“生长”通道

<正>案例一:教学"三角形内角和"师:三角形的三个内角之和,叫做三角形的内角和。请猜一猜,你手中三角形的三个内角之和是多少度?生1:180度。生2:360度。生3:180度。师:所有的猜想都要有事实依据。那么,用什么方法来研究这个直角三角形的内角和究竟是多少度呢?生4:量,拼。生5:可以量出三角形每个内角的度数再相加。师:在量这个直角三角形的时候,需要量几个角的度数?生6:两个角,因为直角三角形有一个角的度数我们已经知道是90度,不需要再量。师:大家已经知道了研究的技巧和方法,在操作时请注意以下三点:1.将每次测量的结果写在相应的角上;2.读数要准确;3.测量要仔细。(生独立测量)     

巧构三角形 妙证不等式

不等式的证明方法多且灵活,构造法是其中较重要的一种方法,构造法解题具有较大的灵活性和创造性.本文仅就如何构造三角形来证明不等式作一些探讨. 1.从不等式的结构特征出发,构造三角形例1 已知x、y、z均为正数.求证: 分析:注意到三个被开方式均为二元二次     

深度学习理念下的习题课教学——以“利用导数证明函数不等式”教学为例

<正>本文以“利用导数证明不等式”教学为例,通过精选例题、精心安排施教方案,探讨数学习题课教学中引领学生深度学习的相关策略.一、放缩处理,简化证题过程所谓放缩,就是通过对等式或不等式采取添项、减项等措施,使不等式保持不等号同向变化的处理方法,其解题核心就是针对证题目标对不等式进行适度的放缩推理.对于一些函数不等式,如果直接处理会比较繁琐或难以达成目的,而采用放缩法,能够弱化题目难度,转变解题方向,从而达到快速有效解题之目的.     

合理选择方法 优化解题思维——例谈三角形面积公式的灵活应用

<正>在高中数学中,三角形面积公式有多种形式,常用的公式主要有:公式1已知三角形的底边长为a,高为h,则有三角形面积S=ah/2.公式2已知三角形两边a、b及夹角C,则有三角形面积公式为S=1/2absin C.笔者结合高中数学教学中的常见例题,分析如何合理选择三角形的面积公式,减少解题中的运算.例1如图1,公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地,其中tanα=-2.在该     

几何题求解策略例谈

数学能力的提高离不开数学解题 ,数学解题能力的提高取决于解题质量而不是取决于解题数量 ,平时学习中多注意解题方向和解题策略的研究 ,是提高解题能力的有效途径 .本文就平面几何中的三角形学习浅谈几何题求解策略 .1　分散条件集中化分散条件集中化是指将不在一个三角形中的条件向一个三角形去转化 ,利用三角形的性质加以解决 ,特别是特殊三解形 ;或将不在两个全等三角形、相似三角形、圆中的条件转化到两个全等或相似的三角形中 ,然后建立相应的关系式 .图 1例 1　已知 ,如图1,△ＡＢＣ中 ,ＡＤ是ＢＣ边上的中线 ,ＡＢ=ＡＤ =1,ＡＣ=5 .…