“极限思维”巧解题

一类以圆的知识为背景,以＂隐形＂动态几何模式呈现,求阴影面积取值范围的问题,要求学生对图形位置关系变化过程有深刻的理解,反映出学生是否具有局部与整体的差异性意识及数学思想和数学思维的深度.这类问题如果能巧用＂极限思维＂,问题就会迎刃而解.例1如图1,正ABC的边长是2,分别以点B,C为圆心,以r为半径作两条弧,设两弧与边BC围成的阴影部分面积为S,     

运用整体思维 巧求阴影面积

<正>在小学高年级数学《求平面组合图形阴影部分面积》解题中,碰到不能按常规的方法解决问题时要突破思维定式。合理运用"整体思维",往往可以化繁为简,化难为易,巧妙地求出阴影部分面积。例1.图1圆的面积是31.4平方分米,那么,阴影部分面积是多少平方分米?分析与解:该题是求三角形的面积,多数学生受思维定式的影响,只想求出这个三角形的底和高(即:圆的半径r),而本题所提供的条件只能求出r2=10,由于小学还没有学习开方的知识,因     

“综合与实践”教学实施的原则与策略

<正>数学的"综合与实践"是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动^([1]).数学"综合与实践"活动的教学,应遵循以"问题"为载体,以"学生"为主体,激发学生自主参与.教学实施中,应以数学"活动"为主要教学形式,不仅要关注结果,更应关注过程.这就需要教师选择、设计恰当的"问题",在问题的驱动下,让学生自主参与到动手实践、深入探究、思维拓展活动中去.一、数学"综合与实践"活动教学实施的原则数学"综合与实践"活动教学是一种数学教学,     

利用和差法求不规则图形的面积

<正>求不规则图形的面积可转化为规则图形面积的和或差.现以中考试题中与扇形有关的不规则图形面积问题为例加以说明.例1 (2018重庆卷)如图1,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,以AB为半径画弧,交对角线BD于点E,则图中阴影部分     

转化是求阴影部分面积的关键

<正>一类求阴影部分(不规则图形)面积的问题,其基本思路是根据图形的特点,把不规则图形的面积转化为规则图形(可套用面积公式的图形)的面积来解决.下面介绍几种常用的转化技巧,以帮助大家走出思维中的"阴影".一、利用对称进行转化例1(赤峰中考题)如图1,反比例函数y=k x(k>0)的图象与以原点(0,0)为圆心     

欲要清楚“怎样解”,先需明白“怎样想”

<正>解题及解题教学,不仅要注重如何获得问题的解,而且应寄希望于对"解"的进一步分析以增强数学能力、优化认知结构、提高思维素质、学会"数学思维",学习数学的重要目标之一在于怎样学会解题.考试,体现出来的往往就是学生能够解题、善于解题.1真题呈现如图二次函数y=ax²-2ax+c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C,它的顶点为P,     

“方程的根与函数的零点”教学设计的改进

<正>"方程的根与函数的零点"是学生利用二分法求方程近似解的方法的基础,蕴含了较为丰富的化归、数形结合的数学思想方法.本文通过对这一内容的前后两种教学设计的比较,说明在教学过程中应创设具备一定思维深度的情境,以激发学生的思维,并让学生有效经历"从惑到识"的过程.一、原先的教学设计1.情境引入问题1观察方程x²-2x+1=0的根;     

以学导思，让数学思维自然生长——以“探索直线平行的条件”(第1课时)为例

<正>在目前的初中数学教学中,"掐头去尾烧中段",忽视知识的生成过程和思维的教学过程,使学生始终处于单一被动的接受性思维模式的弊端普遍存在.教学不应该是直接灌输知识,而应创设思维情境,言此而意彼,让学生感悟、发现,从而得到教师"举一"而学生"反三"的教学效果^([1]).笔者以"探索直线平行的条件"(第一课时)教学设计为例,谈谈如何引导学生基于旧经验生长新知识,以学导思,让数学思维自然生长.一、课堂实录1.创设有效情境,聚焦核心概念问题     

运用“数学实验室”平台培养学生的直观想象能力——以《平移》一节的教学为例

<正>为探索信息时代下全面、高效培养学生"直观想象"能力的教学方式,笔者尝试借助基于数码技术的"数学实验室"平台展开教学.学生动手动脑,以"做"为支架,在教师的引导下,运用图形计算器,通过实际操作发现数学结论、理解数学知识、验证数学结论的思维活动^([1]).笔者以沪科版数学七年级下册"10. 4平移"为例,阐述基于"数学实验室"的学生直观想象能力的培养.     

问题驱动内涵 探究拓展思维——一道一次函数应用题的探究与思考

<正>数学活动是以问题的方式呈现的,而问题驱动是数学教学活动的特征,所以,数学活动应以问题驱动为主线贯穿于整个课堂教学;数学活动的意义在于拓展学生的思维、培养学生创新能力,所以,数学活动应以"方法形成"贯穿于整个问题的研究过程.以下以一道函数应用题的探究与思考来进行说明.一、课堂教学的明线——问题驱动1.教学导入——给出问题巧妙恰当地提出问题,创设良好的思维情境,能够迅速集中学生注意力,激发学生的     

一法多用 融汇贯通

怎样使学生通过解题活动领悟数学思想,活用数学方法,训练数学思维呢?我认为一法多用是途径之一,下面谈谈我的肤浅做法。▲用假设法解求积问题例1.如图,在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10与12。已知梯形的上底长是下底长的2/3,那么余下阴影部分的面积是多少?(96小数奥赛题)     

对一个面积“借用公式”的探究

例如图1：已知扇形OAB,点C在OA上,以O为圆心、OC为半径,画弧交OB于D,若弧AB的长为8π,弧CD的长为6π,AC=4,求阴影部分的面积.析解因为阴影部分的形状与梯形类似,可以借用梯形的面积公式来求阴影部分的面积.即S_（阴影）=（弧AB＋弧CD）/2×AC=（8π＋6π）/2×4=28π.这是文中出现的一道例题,＂图形类似,公式借用＂,这种解法令人拍案惊奇.文没有对这种解法的合理性作进一步的解释,这引起了我的疑惑：这种解法可靠吗？     

复合函数零点繁 流程图法援手施

<正>求解复合函数零点问题不仅涉及到函数的各种性质,蕴含着丰富的数学思想与方法,同时还由于其具有"内"、"外"两层函数的特殊性,增加了解复合函数的零点个数问题时所需的思维难度,因此也更方便考察学生数学思维的灵活性与创造性.本文主要探究兼具分段函数与复合函数两重身份的函数零点个数问题.例1已知函数     

对一道课本习题的补注

<正>苏科版《数学》九年级(上册)"圆锥的侧面积和全面积"中,设计了一个"数学活动"——制作冰淇淋纸筒(如图1、2).教材要求制作一个母线长为12cm,底面圆的半径为4cm的圆锥形冰淇淋纸筒.通过计算很容易得到,展开后的扇形的弧长为8πcm,圆心角为120°,面积为48πcm².对于本题来说,设计方案应该多种多样.最近笔者有幸观摩了几节同课异构的研讨     

类比推理 一脉相通——一道课本全等习题的拓展研究

<正>美国数学家哈尔莫斯指出:"定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的任何一个都不是数学的心脏,只有问题才是数学的心脏".数学的思维是解决问题的心智活动,可以引导学生不断深入思考,再创造,从深层次,多角度思考问题.本文从课本上的一道"全等"习题出发,借助类比推理,让学生的思维在"全等"与"相似"之间跳跃,这样极大地丰富了想象力与创造力,帮助学生建立、完善和拓展知识结构,实现知识的再认、再现、再建,培育创新思维^([1]).     

问题情境助力能力诊断 解法探究聚焦素养提升——以平面向量两个定理复习为例

<正>《中国高考评价体系》确定"关键能力是高考考查的重要内容"[1].在高三复习中,借助问题开展高质量的探究式教学,是诊断学生基本解题能力,拓展学生思维水平,提升学生数学素养的有效途径.本文通过对两类向量经典问题的解法探究,引燃学生思维火花,体悟问题本质,助力学生知识体系的构建与完善,提升数学关键能力.一、问题情境的提出     

巧用“覆盖法”求阴影部分面积

有关阴影部分面积问题,可以用“覆盖法”求解,这里举例加以说明.例1如图1,在边长为4的正方形ABCD中,以B和D为圆心,4为半径作两条弧,求图中阴影部分的面积.分析本题中的阴影部分可以看作是由两个全等的扇形即扇形ABC和扇形ADC去覆盖正方形ABCD而形成的重叠部分的图形.为了表述的     

数学课堂在培养思维过程中“立德树人”——以“平方根(1)”的教学为例

<正>作为一线数学教师,在日常教学中落实"立德树人"的关键是学科育人.数学是思维的科学、思维的体操,数学教育的核心价值在于通过发展人的思维来提升人、解放人、完善人,增强学生追求真、善、美的意识和能力.本文以苏科版八(上)"平方根(1)"的教学为例,谈谈数学课堂在培养思维过程中"立德树人"的几点尝试,与同行们探讨.一、创设合适的问题情境,培养学生的爱国情怀思维起于问题,起于有问题的情境,发展思维首先要有合适的问题与问题情境,     

关注教材 立足课堂 激活思维——以“平方根”概念教学为例

<正>一、案例背景义务教育数学课程标准指出:教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程.有效的数学教学应激发学生兴趣,调动学生积极性,引发学生数学思考,鼓励学生创造性思维.若教师能在教学中,让学生成为课堂的核心,以教材为基础,以问题为驱动,重视学生数学学习习惯的养成,就可以促进学生数学思维的发展.下面以"平方根"教学过程为例,谈谈如何促进学生思维的发展.     

立足5E教学模式 发展数学核心素养——以“双曲线及其标准方程”的教学为例

<正>数学学科的核心素养是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现,是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的^([1]).因此,学生数学核心素养的发展与课堂教学息息相关,是教师改进教学的动力和源泉.本文以"双曲线及其标准方程"的教学为例,尝试应用"5E"教学模式指导教学设计,以期为教师培养学生数学核心素养提供理论依据和实践借鉴.一、基本理论5E教学模式是2002年美国建立21世纪