探究抛物线中特定三角形的存在性

以抛物线为载体、满足某种条件的几何图形是否存在的问题,是中考的热点和难点.解决这类问题的关键是,弄清函数与几何图形之间的联系,在解题过程中将函数问题几何化,几何问题数量化,数形统一,同时要学会将大题分解为小题,各个击破.本文选取＂抛物线中特定三角形的存在性＂为例,说明这类问题的解题策略.一、抛物线中等腰三角形的存在性例1（湖南湘西州中考题）如图1,已知抛物线y=-14x2＋bx＋4与x轴相交于A、     

中考试题中“坐标几何问题”的解法

20 0 2年各省市中考试题 ,有相当一部分题目将直角坐标系与几何问题结合为一体 ,因为这类题目巧妙地将几何图形置于直角坐标系中 ,通过函数图象作为纽带 ,将数与形有机结合 ,因此 ,多为压轴题 ,借以考查学生综合运用知识解题的能力 .要想正确地解答这类题目 ,应注意以下几个问题 :( 1)注意平面直角坐标系中两坐标轴具有垂直关系 ;( 2 )注意将点的坐标与线段长度互相转化 ;( 3)注意二次函数与二次方程间的内在联系 ,即抛物线与 x轴的交点的横坐标是对应的二次方程的根 ;( 4)注意熟练掌握几个距离公式 :1平面上的点 P( x,y)到 x轴的距离是 | …     

初中函数与几何综合问题的解题思路探析

函数与几何结合形成的问题,往往形式灵活、立意新颖,能更好地考查学生灵活运用数学知识的能力以及数学思想方法掌握的情况,因而成为近几年各地中考的热门题型.这类问题又可分为几何图形中的元素间的函数关系问题和函数图象中的几何图形问题两类,下面分别探讨这两类问题的解题思维策略.     

中考函数与几何“压轴题”的解法

中考函数与几何“压轴题”,一直是近年来中考命题的热点.这类试题知识跨度大,应用的数学方法多,结构新颖灵活,综合性强,难度大,要求同学们具有很强的分析推理能力.纵观近几年各地中考试卷中的函数与几何压轴题,从知识结构来看可分为两大类型,即“几何含函数型”和“函数含几何型”.本文给出关于这两种类型题的解题思路和方法,供同学们参考.一、几何含函数型这类题目是以几何图形为载体,求几何图形中某些几何量之间的函数关系式.其解题方法是:利用几何图形的有关性质,列出几何元素之间的等量关系,并将这种关系转化成函数关系,最后利用函数的…     

理性思考 殊途同归 落实素养

<正>以抛物线为背景的三角形面积最值问题成为近年中考热点.这类试题考查学生对函数与几何知识的掌握情况，对具体问题的分析、处理能力，为学生学习高中内容奠定良好基础.本文以2022年广东中考24题为例，从不同角度去探究问题的解法，以培养学生的理性思维，提升学生的数学素养.一、试题呈现如图1,抛物线y=x2+bx+c(b,c为常数)的顶点为C,     

关注反比例函数存在性问题

反比例函数存在性问题在近几年中考中屡见不鲜.这类问题以反比例函数图象为背景,要求我们判断是否存在符合要求的点或实数.解题思路是先假设存在符合要求的点或实数,然后进行计算或推理,肯定或否定. 例1(2015年广东省中考题)如图,反比例函数y=k/x(k≠0,x＞0)的图象与直线y=3x相交于点C,过直线上点A(1,3)作AB⊥x轴于点B,交反比例函数图象于点D,且AB=3BD. (1)求k的值;(2)求点C的坐标;(3)在y轴上是否存在一点M,使点M到C、D两点距离之和(d=MC+MD)最小?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.     

函数的零点存在与分布问题

<正>普通高中课程标准实验教科书(必修1)中在研究"函数与方程"时首先提出"函数的零点"这一概念.在书中不仅给出了定义,还给出了一个存在性定理.围绕这些解决一些基本初等函数零点的问题,仍是近几年高考的一个热点.本文结合各地高考题对函数零点试题常见类型分析如下:一、函数零点的分布这类问题用零点存在性定理判断零点所在的区间或通过函数图象及函数的性质进行判断.例1设函数f(x)=4sin(2x+1)-x,则     

解题的心向——化归

正化归思想是中学数学最基本的思想方法,是解题思想的灵魂,是解题的"心向".如何恰当地化归,乃是探索解题途径的中心环节.怎样恰当地化归问题呢?下面本文具体举例阐述.1.转换表达,化未知为已知将未知的问题向其等价的表达形式上转化,这是解题的基本方向.例1已知函数f(x)=x+1x+a2,g(x)=x3-a3+2a+1,若存在x1、x2∈[1a,a](a1)使得|f(x1)-g(x2)|≤     

如何解决几何与坐标平面综合问题

把几何图形放到平面直角坐标系中,将函数概念与几何知识巧妙结合,这类几何与坐标平面综合题的显著特点是数形结合,用代数方法研究几何问题,因此不少的中考试题     

几何性质 优化解法

所谓解析几何,就是用代数方法来研究几何问题.引入解析法,大大地延拓了我们研究几何图形性质的空间,但另一方面也造成思维上的负面定势,即忽视了解析几何的本源——几何图形的性质.倘若在解题进程中,能注意到图形自身(或隐性)的几何性质,并加以利用,可以大大缩减运算量,从而优化解题过程,提高解题能力.一、利用图形的对称性【例1】已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,设P是椭圆上的任一点,则点F2关于∠F1PF2的外角平分线的对称点M轨迹是().A.圆B.抛物线C.双曲线D.椭圆简解:如图1,∵|PF1|+|PF2|=2a,由角平分线的对称性可…     

如何求解二次函数中的面积最值问题

<正>从近几年的各地中考试卷来看,求面积的最值问题在压轴题中比较常见,而且通常与二次函数相结合,使解题具有一定难度.本文以一道中考题为例,介绍几种不同的解题方法,供同学们在解决这类问题时参考.题目(重庆市江津区)如图1,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点.(1)求该抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点,在     

抛物线与特殊四边形相结合压轴题分析

抛物线与几何图形相结合是近年来中考压轴题的一种重要题型,在2007年中考全国各地试题中,二次函数与几何问题相结合的综合题不断增多.这类试题,涉及二次函数、方程、三角函数和几何中的直线、三角形、四边形、相似三角形、圆等有关知识.这类试题有较强的综合性和灵活性,能有效考查学生掌握学科知识的情况,能有效反映学生运用已学知识进行分析问题和解决问题的能力.下面以2007年中考题中的抛物线与特殊四边形相结合的压轴题为例加以说明.1抛物线与平行四边形例1(浙江省绍兴市2007)如图1,在平面直角坐标系中,O为原点,点A、C的坐标分别为(2,0…     

例析存在性问题的解法

<正> 存在性问题是近年来中考命题的热点,解答这类问题的基本方法一般是先假定“存在”,然后按照题设条件去推理,若合乎“情理”,则“存在”成立;若不合乎“情理”,则“存在”不成立.下面举例说明. 例1 如图1,已知抛物线y=-x2+(m+2)x+3m+1与x     

一类“任意性”或“存在性”问题的求解策略

涉及"任意性"或"存在性"的函数问题在近年高考中频频出现.如何处理这类问题一直让不少考生感到头疼.本文从几道例题出发,阐述这类问题的解法,供借鉴.1一元"任意"性问题例1(2012年高考天津卷·理20)已知函数f(x)=x ln(x+a)的最小值为0,其中a>0.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)若对任意的x∈[0,+∞5),有f(x)≤kx2成立,求实数k的最小值;(Ⅲ)略.解(Ⅰ)a=1(过程略).     

抛物线综合题例说

抛物线综合题是一类代数与几何知识相交叉的题型,一般来说难度较大.现谈谈解答这类习题所涉及的知识与解答技巧.例1已知:抛物线y=x2+kx+1与x轴的正方向相交于A、B两点,顶点为C,△ABC是等腰直角三角形.求k的值.例2已知对称轴平行于y轴,开口向上的抛物线经过M(3~(1/2)-2,0)N(3~(1/2)+2,0)和P(0,k)三点,且|OP|2=|OM|·|ON|.(1)求此抛物线;(2)设Q(x,y)为抛物线上一点,且∠MQN为锐角,试确定x的取值范围.     

特殊四边形存在性问题的求解通法及思考

<正>函数背景下特殊四边形存在性问题是历年中考热点之一.学生在解决此类问题时,由于考虑不周全,往往会遗漏一些情形,而利用平面几何的平移来求解也有一定的难度.因此,找到突破口,掌握一套行之有效的方法是很有必要的.笔者总结了"对点法"、"假定法",可以将这类图形复杂、动点较多的问题变为简单的代数问题.一、问题及诊断1. 问题及解答如图1,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C. 若D是x轴上的动点,     

抛物线中平行四边形形状的判定

抛物线与平行四边形的融合,是近年来中考命题的新亮点,一方面考查学生平行四边形的判定,另一方面考查学生抛物线的知识.这类题目通常和动点问题相联系,综合考查学生分类讨论的数学思想.一、一动点在一定线段上运动例1(2009年江西)如图1,抛物线y=-x~2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;(2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,     

数形结合的几种基本途径

数与形是初等数学中研究的主要对象 ,数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考 ,使抽象思维和形象思维结合 ,通过“以形助数”或“以数解形” ,使复杂问题简单化 ,抽象问题具体化 ,从而起到优化解题途径的目的 .数形结合包含两方面内容 :从几何角度看代数问题 ,或从代数角度看几何问题 .数形结合在解题过程中应用十分广泛 ,本文介绍数形结合的几种基本途径 .(1)代数式 (x-a) 2 +(x -b) 2 表示点 (x ,y)到点 (a ,b)的距离 .例 1　求函数 f(x) =x2 +15 -x2 - 6x +13的最大值 .解　f(x) =(x - 0 ) 2 +(0 - 15 ) 2 -(x- 3) 2 +(0 …     

利用几何图形 寻求解题思路

在初等数学教学中,利用几何图形的直观或几何方法来解代数、三角问题,这是一种重要的数学思想方法.代数、三角问题结合几何方法求解,往往可使求解过程简单、方便.将“数”与“形”两者有机地结合起来,利用几何图形,寻求解题思路,不仅可以提高学生分析问题、解决问题的能力,而且可以开阔解题思路、启迪思维,还可以沟通代数、三角、几何的基础知识.下面举例说明:1求代数式的值例1已知正实数x,y,z满足x y=5,y2 z2-yz=9,x2 zx z2=16.     

也谈中考中二次函数有关的题型

中考中二次函数存在性综合题,除了灵活考查相关的基础知识之外,特别注重考查分析转化能力、数形结合思想运用能力以及探究能力,将函数问题、几何问题转化为方程(组)问题,往往是解题的关键,请看下例.例1(2011临沂市)如图1,已知抛物线经过A(-2,0),B(-3,3)