关于二重递归数列{A_m~n}_(n=1 m=1)~∞的通项公式的两个定理

关于满足条件a_(m+k)=λ_1a_(n+k-1)+λ_2a(n+k-2)+…λ_ka_n的一元线性递归数列{a_n}的通项公式,已经有了很好的结论。本文对二重数列及满足简单条件A_m~n=λ_1A_(m-1)~n+λ_2A_(m-1)~(n-1)的二重线性递归数列的通项公式得到两个有用的定理。     

三角数列求和

设给定了一个数列{u_n}: u_1,u_2,u_3,…,u_n,…求它的前n项的和 S_n=sum from k=1 to n u_k=u_1+u_2+u_3+…+u_k+…+u_n 通常也把它叫做求数列sum from k=1 to n u_k的和,这里u_k表示这个数列的通项。如果数列的通项u_k是三角函数或者反三角函数的表达式,例如     

构造函数求解线性循环数列

如果数列{a_n}满足 a_n=c_1a_(n-1)+c_2a_(n-2)+…+C_ka_(n-k).(n≥k+1)(＊),其中c_k≠0,就称{a_n}是一个k阶线性循环数列。在高中数学课本中的等比数列与等差数列就是线性循环数列,因为公比为q的等比数列的定义式是a_n=qa_(n-1)(n=2,3,…).所以等比数列是一阶线性循环数列.因为等差数列的定义式是     

有理递归数列通项公式的求法

定义对数列{u_n}:u_i=a_i(i=1,2,…,r),存在r元函数f(x_1,…,x_1),使u_(n r)=f(u_n,u_(n 1),…,u_(n r-1))(n∈N),则称数列{u_n}为r阶递归数列,f为数列的定义函数,常数a_i(i=1,2,…,r)为初始值。当f为有理式时,称{u_n}为有理递归数列。本文研究了两类一阶有理递归数列通项公式的求法。     

特征根法求数列通项公式

<正>数列的通项公式是高考重点考查的知识点之一,求数列通项公式的方法也很多,在具体的问题中选择最适当的方法来解决是重中之重。本文主要介绍用特征根法求数列通项公式。若常系数齐次线性递归数列的递归关系为:a_(n+k)=c_1a_(n+k-1_+c_2a_(n+k-2)+…+c_ka_n,则称方程x^k=c_1xk=c_1x^(k-1)+c_2x(k-1)+c_2x^(k-2)+…+c_k为其特征方程,方程的根称为{a_n}的特征根。定理:如果x_1,x_2是递推关系a_n=     

用待定系数法求一类递推数列的通项公式

设数列{u_n}的第一项为u_1,第一项为u_2,并且有递推公式u_(n 1)=q_1u_n q_2u_(n-1)则称数列{u_n}为二阶线性齐次递推数列,并称方程r~2-q_2r-q_2=0为该数列的特征方程.设r_1,r_2为这个特征方程的两个根,那么,当r_1≠r_2时,数列{u_n}的通项公式为u_n=C_lr_1~n C_2r_2~n,其中C_1,C_2由方程组C_1r_1 C_2r_2=u_lC_1r_1~2 C_2r_2~2=u_2来决定.当r_1=r_2=r_0时,则数列{u_n}的通项公式为u_n=(C_1 nC_2)r_0~(n-1),     

1981年高考数学附加题解

今年全国高等学校统一招生数学试题(理工农医类)中的附加题,源出于斐波那契数列,也是教材中一个习题的变形和发展。此题证法很多,下面略举几种。题已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图)。设AC=a,BC=b,作数列 u_1=a-b u_2=a~2-ab+b~2 u_3=a~3-a~2b+ab~2-b~3, ………… u_k=a~k-a~(k-1)b+a~(k-2)b~2-…+(-1)~kb~k;求证:u_n=u_(n-1)+u_(n-2) (n≥3)。证一由平面几何知识得 ab=AC·CB=CD~2=1, a-b=AC-CD=AC-AF=FC=1。由通项公式得     

构造辅助数列求数列通项公式

<正>求数列的通项公式是高考的重点之一,因此掌握数列通项公式的求法至关重要,本文就构造辅助数列求通项公式的几种情况进行论述。1.递推公式形如:a_n=pa_(n-1)+q(p,q为常数,pq(p-1)(q-1)≠0)。处理方法:(1)利用待定系数法变形为a_n+λ=p(a_(n-1)+λ),即构造数列{a_n+λ}为公比为p     

求递推数列通项的常用解法

我们把数列连续若干项之间的等量关系an+k=f(an+k-1,an+k-2,…,an)称为数列的递推关系.由递推关系和k个初始值可以确定一个数列,称数列{an}是递推数列.(如:等差数列满足an+2=2an+1-an是二阶线性递推数列,等比数列满足an+1=qan是一阶线性递推数列)     

用二阶递归数列的转化解题

由a_(n+2)=pa_(n+1)+qa_(n)+r(p,q,r是与n无关的常数,a_(1),a_(2)是已知数)确定的二阶递归数列{a}_(n)的各项容易用递推法求出,但有时把其中的一类等价变形为分式型二阶递归数列(见定理1)就不容易用递推法求出其各项了.如果读者能发现它们之间的联系,就可以解决后面这个困难的问题了.     

题库(十一)

1.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)求数列{cn}对任意正整数n均有c1/b1+c2/mb2+c3/m2b3+…+cn/mn-1bn=(n+1)·an+1成立,其中m为不等于零的常数,求数列｛cn｝的前n项和Sn.2.已知常数a>0,向量m=(0,a),n=(1,0),经过定点A(0,-a)以m+λn为方向向量的直线与经过定点B(0,a)以n+2λm为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R.     

递推数列通项公式的非递推比与极限的求法

命题:设数列{Xn}由递推关系Xn=X_(n-1)+X_(n-2)(n>2)及初始条件x_1=a,x_2=b给定。令v={{u_n}1u_n=u_(n-1)+u_(n-2),n>2},初始条件是u_1,u_2为任意实数组成的集合。则v按通常数列的加法与数乘,R~2按通常的向量的加法与数乘构成的二线性空间同构。 证明:令Φ(α)={u_n},其中α=(x,y)∈R~2,而u_n=u_(n-1)+u_(n-2),u_1=x,u_2=y。那么Φ是一个同构映射。 事实上,(Ⅰ)任α∈R~2,有且仅有一个{u_n}∈v与之对应。     

双等比数列的性质初探

定义 若数列{a_n}满足关系 a_(2n)/a_(2n-1)=u_1,a_(2n 1)/a_(2n)=u_2,(n=1,2,…)其中u_1,u_2为非零常数.则称数列{a_n}为双等比数列,称u_1为第一公比,u_2为第二公比.当u_1=u_2时,{a_n}称为等比数列. 例如数列: 1,2,2/3,4/3,4/9,8/9,8/27,16/27,…它满足a_(2n)/a_(2n-1)=2,a_(2n 1)/a_(2n)=1/3 所以它是一个双等比数列. 定理1 双等比数列{a_n}的通项公式为     

一阶二次递归数列的部分结论

在数列{an}中,若已知a1,且满足 　　an 1=pa2n qan r, (1) 　　其中p、q、r为常数,p≠0,则数列{an}叫做常系数一阶二次递归数列,(1)式叫做该数列的递归方程.……     

由2015年高考压轴题谈数列与不等式问题处理策略

<正>数列型不等式综合题,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性.下面结合2015年高考试题谈谈处理这类试题的策略.一、函数思想例1(重庆卷)在数列{an}中,a1=3,an+1an+λan+1+μa2n=0(n∈N*).(1)若λ=0,μ=-2,求数列{an}的通项公式;     

一道高考数列求和题的多角度思考

<正>题目(2013年山东高考题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn+an+1/2n=λ(λ为常数),令cn=b2n(n∈N*),求数列{cn}的前n项和Rn.     

递推数列通项问题解法初探

<正>数列{an}中,如果其中几项满足公式an+k=f(an+k-1,an+k-2,…,an),则称此公式为数列{an}的递推公式.通过递推公式给出的数列,一般称之为递推数列.本文介绍求解递推数列通项问题的几种常用方法.     

一类分式递归数列的通项公式

本文给出一类由分式递推公式所确定数列的通项公式的求解方法 .问题 1　已知数列 { an}中 ,a1 =α,an+ 1 =λan+β,α>0 ,λ>0 ,β>0 ,求数列 { an}的一个通项公式 .解　由题设条件知 an>0 (n∈ N*) ,根据递推公式 an+ 1 =λan+β,得 an(an+ 1 -β) -λ=0 .令 bn=an+-β+β2 +4λ2 ,代入上式得 (bn+β-β2 +4λ2 ) (bn+ 1 - β+β2 +4λ2 ) -λ=0 ,即 (β-β2 +4λ) bn+ 1 - (β+β2 +4λ) bn+2 bnbn+ 1 =0 .令γ=β2 +4λ,由 an>0 (n∈ N*) ,-β+β2 +4λ>0知 bn>0 (n∈ N*) ,将上面等式两边同时除以bnbn+ 1 ,得 β-γbn- β+γbn+ 1+2 =…     

例谈同构思想在数学解题中的应用

<正>一、在数列中的应用数列递推技巧的核心本质是同构,对于等差、等比型的数列问题,利用所给递推公式依序同构,是解题思路形成的理论依据．例1在数列{an}中,a1=1,a2=130,an+1-130an+an-1=0(n≥2,n∈N*).(1)若数列{an+1+λan}是等比数列,求实数λ;(2)略．     

“类周期数列”的并项与迭代求和

正数列求和一直是高考的热点内容.通过研究近几年的高考试卷我们可以发现,通项形如"dn=an bn+cn(其中bn为周期数列)"的数列{dn}的求和问题正悄然升温.我们暂且称数列{dn}为"类周期数列".一、并项与迭代求和策略在"类周期数列"{dn}中,设数列{bn}的周期为T(T∈*N),数列{dn}的前n项和为Sn.将数列{dn}从第一项起,依次每连续的T项"捆绑"合并成一项,构造一个新数列{pk}(其中pk=dTk-(T-1)+dTk-(T-2)+…+dTk-1+dTk,k∈*N),并求其通项公式.当数列{dn}的项数n为T的倍数(即n=Tm,m∈*N)时,