如何使“等号”成立

运用均值不等式求最值是一种常用的求最值方法,但由于其约束条件苛刻,不少同学在使用时,往往顾此失彼,尤其易忽视等号成立的条件.如何使等号成立,是运用均值不等式求最值的关键.下面探讨运用均值不等式求最值时如何使等号成立的几种方法.     

等号成立被忽视 求解最值易出错

<正>最值问题往往涉及的知识点较多、覆盖面很广、综合性极强,是各地高考的考点．利用不等式中的等号成立求最值,是求解此类问题的主要方法,在求解过程中需要对相关对象进行适当地放大、缩小,或不等式之间进行传递、相加、相乘等变形．在这个过程中,有些学生常因忽视等号成立条件在不知不觉中出现错误,并且由于这种错误非常隐蔽,不容易发现．下面举例分析,希望能够引起学生的高度重视．     

重视等号成立的条件

<正> 运用二元或三元均值不等式可以求解某些最值问题或取值范围问题,但学生常常忽视等号成立的条件而导致错误.下面举例说明,以引起大家足够的重视.     

注意，等号成立的条件

我们知道,求解最值问题的方法很多,如利用函数的性质、方程的判别式、平均值不等式、复数模的性质等.值得注意的是,无论使用哪种方法,都必须确保等号成立,才可肯定是最值.然而在实际的解题中,学生对等号能否成立,常常不作深入的研究,并由此产生一些错误.本文试图举出几例,以示提醒. 例1 已知a、b、x、y都是正数,且(a/x)+(b/y)=1,求x+y的最小值. 错解:因为a、b、x、y都是正数,     

“相等”来搭桥 天堑变通途——谈不等式等号成立条件的简单应用

<正>在中学阶段,常常利用一些基本不等式或一些重要不等式进行证明或求最值,其应用相当广泛.而在实际运用过程中,一些同学常常忽视了不等式等号成立的条件,进而造成了一些错误,甚至造成一些题目无法获解.实际上,基本不等式与重要不等式等号成立的条件应用相当广泛,甚至在一些较难题目中,灵活运用"相等"来搭桥,天堑也会变通     

均值不等式在竞赛数学中的应用——均值不等式等号成立的构造

均值不等式是高中数学中的一个重要不等式,它有着广泛的应用,本文主要就它在求函数最值中的应用举例说明．我们知道使各因式之和（或积）为定值是利用平均值不等式求最值的关键点．其次,还要使各因式相等才能实现,即等号成立的条件必须满足,否则将导致错误,这也是使用均值不等式求最值的难点．     

拆项法在“等号不成立”型最值问题中的应用

我们知道,在运用二元均值不等式(a+b)/2≥(ab)～1/2(或a+b≥(ab)～1/2求解最值问题时,常常出现等号不成立的情况,这时必须另外探寻变形的方法.拆项法就是破解这类问题的快速通道,拆项的目的还是使不等式中的等号成立,以便求出最值.大家从以下示例中能够学到一些拆项的方法。     

诠释均值定理 掌握多变配凑技巧

在高考题中,利用均值不等式求函数的最值是最为常见、应用较为广泛的方法之一。但是应用均值不等式求最值要注意:一要正:各项或各因式必须为正数;二可定:必须满足"和为定值"或"积为定值",要凑出"和为定值"或"积为定值"的式子结构,如果找不出"定值"的条件用这个定理,求最值就会出错;三能等:要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值。     

利用不等式求函数最值常见错误剖析

在不等式 f(x)≤M(f(x)≥M)中 ,若等号成立 ,则函数 f(x)有最大 (小 )值 M,等号成立的条件就是函数 f (x)取得最大 (小 )值的条件 .但在实际解题中 ,学生往往忽视等号成立的条件 ,从而得出错误的结论 .下面举例说明 .1　运用有关的定理、性质时忽视了等号成立的条件例 1　求函数 y =x2 4 x2 - 8x 17的最小值 .错解　y=x2 4 (x- 4) 2 1,设 z1 =x 2 i,z2 =(x- 4) i,则y=| z1 | | z2 |≥ | z1 - z2 | =| (x 2 i) -[(x- 4) i]| =| 4 i| =17.分析　运用复数模的性质时 ,忽视了等号成立的条件 .上式中的等号成立的充要条件是 z…     

利用均值不等式求最值致错种种

在应用均值不等式的有关定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正——各项都是正数；二定——积或和是定值；三等——等号能否取得．”若忽略了某个条件，就会出现各种似是而非的错误．     

等号不成立时的处理方法

利用不等式中等号成立条件求最值是解决最值问题的常用方法,学生在利用这种方法求最值时,常常会发现等号不能成立而导致错解.但此时往往束手无策,一筹莫展,那么出现这种情况后,又该如何走出困境呢?本文介绍几种常用的处理方法,供参考.1拆项例1(1989年广东省高考题)求y=2sinx si     

均值不等式等号成立的构造技巧

利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点.运用时必须具备三个必要条件--即一正(各项的值为正)、二定(各项的和或积为定值)、三相等(取等号的条件).但在题设中未给出和(积)为定值的条件下,如何凑出定值使等号成立,却深感困难,为此,本文举例说明构造均值不等式等号成立的常用技巧.     

应用均值不等式求最值的误区

利用均值不等式求最值,是数学中的一种常用方法．但同时也是非常容易出错的一类题目,原因就在于忽略了利用均值不等式求最值的三个条件“正数、定值、等号成立”．从而造成题目的误解甚至是错解．     

用均值不等式求函数最值的技巧

运用均值不等式求函数最值，是中学数学中求函数最值的重要方法之一．大家都知道利用均值不等式求函数最值应满足三个条件：一、各项全正。二、和积定值．三、等号成立．对于不满足这三个条件的函数，可采用下列技巧来转化．     

赛题简解

类似“已知函数f（x）的最值求参数值”这类题都可以转化为恒成立问题,但切记等号可取．     

浅谈均值不等式的正确使用

利用不等式求最值,要注意不等式成立的条件、等号成立的条件以及定值的条件,初学不等式时容易用错,现通过比较来说明均值不等式的正确使用.     

利用最值求解恒成立不等式中的参数范围

不等式与函数的最值问题有着密切的联系,利用不等式取等号,就可得到一个最值问题的解,因此有关不等式恒成立的问题,我们通常应用“函数方程思想”和“分离变量法”转化为最值问题,下面撷取几例加以说明．     

对一道数学问题解法的商榷

可以看出该解法的最终答案是正确的，但解题过程是不正确的．我们知道利用不等式求函数最值必须具备3个条件：正数、定值、等号．而以上解法的错误在于函数变化过程中的定值，     

多变量函数条件最值的求法

含有约束条件的多变量函数的最值问题是初等数学中的一个常见问题,近年来在一些数学竞赛中也越来越多地出现与之相关的题目。处理这类问题的关键在于找到适当的方法,下面借助例题分述几种求条件最值的方法。一不等式法利用某些绝对不等式结合等号成立的条件可以解决某些最值问题,最常用的不等式有柯西不等式和算术——几何均值不等式。     

利用带参数的均值不等式求函数的最值

利用均值不等式求函数的最值,必须注意“一正二定三相等”的条件,尤其在各个正数的和不是定值时或等号不能成立时,我们可以利用带参数的均值不等式求函数的最值。读者不难通过下面几道