用错位法求某些数列的前n项和

对于{anbn}（其中{an）为等差数列，{bn}为等比数列）形式的数列，求其前n项和通常用错位相减法．这种数列通项可写成anbn=（an＋b）q^n．如果通项形如（an^2＋bn＋c）q^n，（an^3＋bn^2＋cn＋d）q^n，…，甚至形如f（n）q^n，其中f（n）=a0n^m＋a1n^m-1＋…＋am-1n＋am，m∈N^＊，且m、a、b、C、d、ai（i=0，1，2，…，m）均为常数时，它们能否也可用错位相减法呢？     

竞赛题中常用到的ab+a+b式子

数学竞赛时，常出现式子ab＋a＋b这个式子，这个式子，通常是一个表面现象，真正的应用形式是ab＋a＋b＋1，或a6-a-b＋1或ab-a＋b-1或a6＋a-b-1而且大都有条件a、b为整数这个条件，利用ab＋a＋b＋1=（a＋1）（b＋1）可以很容易求得a、b．另两种形式也容易求得．     

数列求和的七种方法

一、拆项转化法先研究通项，抓住特点，确定拆项方法，把数列通过拆项，转化为等差或等比数列，然后求和．例１求和：（１＋１２）＋（２＋１２＋１４）＋（３＋１２＋１４＋１８）＋…＋（n＋１２＋１４＋…＋１２n）．解括号中式子的通项公式是an＝n＋１２＋１４＋…＋１２n＝n＋１２（１－１２n）１－１２＝（n＋１）－１２n，∴所求的和Sn＝犤２＋３＋４＋…＋（n＋１）犦－（１２＋１４＋１８＋…＋１２n）＝n２（n＋３）－１２（１－１２n）１－１２＝n２２＋３n２＋１２n－１．二、裂项相消法这种方法是把每项化积为差，化为两项，…     

巧设含参数分式 妙证分式不等式

分式不等式千姿百态，绚丽多彩，其证明方法也因题而异，异彩纷呈，美不胜收．本文介给一种参数证法：引入参数t，注意到1=a^t/a^t＋b^t＋b^t/a^t＋b^t,1=a^t/a^t＋b^t＋c^t＋b^t/a^t＋b^t＋c^t＋a^t/a^t＋b^t＋c^t等，借助拆项法、均值法，巧证一类分式不等式．     

七个分数和为1

数学课上，肖老师让明明做这样一道题：在１２、１３、１４、１５……１２８、１２９、１３０这些分数中选出七个来，使这七个分数相加之和等于１。有几种不同的选法？明明写出了下面两个算式：（１）１２＋１６＋１８＋１１２＋１２０＋１２４＋１３０＝１（２）１２＋１６＋１９＋１１２＋１１８＋１２０＋１３０＝１敏敏通过认真思考，她发现除了明明写出的两个算式，还有两个不同的算式。小朋友，你能写出这两个不同的算式吗？?数学乐园《七个分数和为１》的答案：①１３＋１５＋１６＋１８＋１１２＋１２０＋１２４＝１②１３＋１５＋…     

用分组法解一类竞赛题

新颖别致的融思考性、趣味性、技巧性于一炉的竞赛题，解题策略很多。分组法是其中的一种。例１１＋２－３－４＋５＋６－７－８＋９＋１０－１１－１２＋…＋１９９７＋１９９８－１９９９－２０００＋２００１＋２００２等于多少？分析与解：除首尾两项之外，其余各项依次每四项分为一组，每组的计算结果都为０：２－３－４＋５＝０，６－７－８＋９＝０，……１９９４－１９９５－１９９６＋１９９７＝０，１９９８－１９９９－２０００＋２００１＝０，整个算式的计算结果等于首、尾两数之和。即原式＝１＋（２－３－４＋５）＋（６－７…     

利用化归法解方程

所谓“化归”，就是说在解决问题时，将待解决问题转化为规范问题或已经解决了的问题，从而使原问题得以解决．下面结合一些简单方程的求解，谈一下对化归法的认识．方程是中学数学中很重要的内容之一，而对方程不论是对根的存在性，还是其解法上，其深刻、完美莫过于对一元二次方程ax２＋bx＋c＝０的探索，为此，可以将其视为规范题或者已解决的问题．例题１解方程（x２＋８x＋７）（x２＋８x＋１５）＋１５＝０（１）解：注意此方程的特征可化为：（x２＋８x＋７）犤（x２＋８x＋７）＋８犦＋１５＝０，即（x２＋８x＋７）２＋８（x２＋８…     

双根式线性函数值域的简便计算

本文介绍无理函数y=K√ax＋b＋L√cx＋d的值域的一些简便计算方法，可供读者参考，其中K、L取非零实数。 1.y=√ax＋b＋√cx＋d的值域 1．1当a、c同号时，用单调性解 例1 求y=√x＋1＋√2x-3的值域．     

一道数学竞赛附加题证法探究

2013年浙江省高中数学竞赛A卷的一道附加题为： 试题设a、b、c∈R^＋，ab＋bc＋ca≥3，证明：a^5＋b^5＋c^5＋a^3（b^2＋c^2）＋b^3（c^2＋a^2）＋c^3（a^2＋b^2）≥9．…………………………（＊）     

对两个猜想的解答

猜想1若a，b，x，y∈R^＋，λ∈R^＋，则 a^λ＋1/x^λ＋b^λ＋1/y^λ≥（a＋b）^λ＋1/（x＋y）^λ＋1     

《洛阳伽蓝记》的五种判断句式

探讨了《洛阳伽蓝记》中除“是”字判断句以外的五种判断句式：１主语＋（者）＋谓语＋也；２主语＋副词等谓语修饰成分＋谓语＋也；３主语＋（者）＋谓语；４主语＋副词等谓语修饰语＋谓语；５主语＋为＋谓语，并与《孟子》、唐张《游仙窟》中的同类形式作比较，对《洛》继承旧有形式的情况和旧有形式的历史发展概况有一定了解，发现１、２式逐步衰落，３、４式反而呈略上升趋势，这说明旧有的形式并非一味地衰落，有时还存在局部的发展     

因式分解在解题中的应用

一、求值 例1 已知x^3＋x^2＋x＋1=0，那么1＋x＋x^2＋…＋x^1995=＿＿.     

例析解题的转化策略

转化是把未知解的问题转化到已有知识范围内可解的问题的一种重要思想方法，比如数形转化、特殊与一般转化、等与不等转化等，其内容丰富多彩，应用灵活，现举例说明。 一、转化已知 例１设实数ｓ，ｔ满足１９ｓ２＋９９ｓ＋１＝０和 ｔ２＋９９ｔ＋１９＝ ０，并且ｓｔ≠１，求的值。 分析：将已知方程 ｔ２＋９９ｔ＋１９＝ ０变形为 １９＋ ９９＋ １＝０后，易知ｓ，是方程１９ｘ２＋９９ｘ＋１＝０的两个根。所以，从而可得 二、转化未知 例２已知ａ＋ｂ＝４，ａｂ＝２，求ａ３＋ｂ３的值。 分析：将未知式ａ３＋ｂ３变形成用ａ＋ｂ， …     

阅读 观察 猜想 归纳

近年来，在中考试卷中经常出现一种“阅读理解———猜想归纳”型的试题．这类题目主要考查学生对数学材料的理解、接受及加工处理能力，运用数学知识分析和解决实际问题的能力．本文选取近年来的典型试题加以分析．例1（湖北省黄冈市，２０００年）已知：１＋３＝４＝２２，１＋３＋５＝９＝３２，１＋３＋５＋７＝１６＝４２，１＋３＋５＋７＋９＝２５＝５２，……根据前面各式的规律，可猜测：１＋３＋５＋７＋……＋（２n＋１）＝（其中n为自然数）．解１＋３＋５＋７＋…＋（２n＋１）＝（n＋１）２．例2（山东省济南市，２０００年）…     

关于一个代数不等式的再探究

文[1]提出了如下有趣的代数不等式： 问题1已知a、b、c∈R^＋，abc=1，求证a^-1＋b^-1＋c^-1＋a＋b＋c^-3≥4。………………（1）     

中考对短语动词的考查

短语动词是由“动词＋名词＋介词”、“动词＋介词”、“动词＋副词”、“动词＋形容词＋介词”和“动词＋副词＋介词”构成的。纵观各省市近几年的中考英语试卷，笔者从中发现，考查短语动词的试题占了一定的比例。本文拟结合2008年的部分试题，将中考英语对短语动词的考查作一归纳和分析，希望能对同学们的学习有所帮助。     

一道竞赛题的证法再探

2008年全国高中数学联赛江西预赛第14题：设x、y、z为非负实数，满足xy＋yz＋zx=1，证明：1/x＋y＋1/y＋z＋1/z＋x≥5/2……（1）     

一个不等式的又一证法及其推广

已知x、y、z为正实数，求证：x/（2x＋y＋z）＋y/（x＋2y＋z）＋z/（x＋y＋2z）≤3/4． 这是1996年《中等数学》第2期数学奥林匹克初赛40题，文[1]用构造函数法证明此不等式，文[2]分别用排序不等式、构造向量的方法又给出了三种不同证明方法，但它们的证明思路独特、方法技巧性较强．本文将通过换元法使用均值不等式给出证明，过程自然、简捷，容易操作、推广．     

尊重学生思维过程，因为他们时刻在创造

试题已知a、b∈R，且关于X的方程x4＋ax3＋2x^2＋bx＋1=0有一个实根，求a^2＋b^2的最小值．     

有理数运算的若干技巧

在有理数运算中，除了正确、熟练地运用运算法则进行计算外，如果能仔细分析题目特点，应用一些技巧，则可以简化运算过程，提高解题速度．下面介绍有理数运算的一些技巧．一、正数和负数分开相加例1　计算：（＋5）＋（－6）＋（＋3）＋（＋9）＋（－4）＋（－7）．解　原式＝［（＋5）＋（＋3）＋（＋9）〕＋［（－6）＋（－4）＋（－7）］＝（＋17）＋（－17）＝0．二、相反效结合格加例2　计算：（－18．65）＋（－615）＋（＋18．15）＋（＋6．15）．解　原式＝〔（－18．65）＋（＋18.15）］＋［（－6．15）＋（＋6．15）］＝（－0．5…