一道最值问题的另一种求法

题若α、β、γ∈R．求u=sin(α-β) sin(β-γ) sin(γ-α)的最大值和最小值．文[1]指出：《中学数学教学参考》2005年第4期第56页给出了此题的高数解法,并征求它的初等解法,文[1]给出一种初等解法,读后颇有受益,但感觉意犹未尽,似乎未展示其数学本质,因为隐含条件α-β β-γ γ-α=0在解法中没有起到任何作用,现给出它的另一种初等解法,其指导思想、解题策略完全不同于文[1]的方法：     

一道美国数学月刊征解题的探究

题目设x、y、z∈（0,＋∞）,且x~2＋y~2＋z~2=1,求函数f=x＋y＋z-xyz的值域.这是一道美国数学月刊征解题,一给出,就引起了广泛的关注.文[1]、文[3]、文[5]和文[6]都给出一种三角代换（即球面的参数方程）的解法,求解过程中还运用到导数的知识,运算繁杂难度较大,不易掌握.文[2]用＂抽屉原则＂给出一种解法,看似初等,但对于没参加过竞赛培训的普通中学生而言都不容易想到.文[4]虽给出一种简单的初等解法,但涉及高超的恒等变换技巧和幂平均不等式,也不简单.     

再谈一道全国初中赛题的解法

题目如图1,在△ABC中,已知∠BAC=45°,若AD⊥BC于点D,且BD=3,CD=2,则S△ABC=____．文[1]、文[2]、文[3]给出了这道竞赛题的四种解法,文[1]、文[2]的解法较为复杂,文[3]的解法虽然简便,但当∠BAC=30°,60°,…时无法求解．能否找到更实用且相对简便的解法呢？笔者给出三种解法以飨读者．     

也谈一道美国数学月刊征解题的解法

征解题给出以后,引起广泛关注．文给出了“简解”,但方法不易想到;由于难免出现高次函数,不用包括导数在内的纯初等方法尤为引发兴趣．本文给出包括纯初等解法在内的两种不同解法．     

康托洛维奇不等式初等证明的校正

此即康托洛维奇不等式。 在文[1]中给出了该不等式的简洁的初等证明,尔后文[2]又给出另一证法。     

《数学通报》1863号问题的一种妙解

《数学通报》1863号问题:设x,y∈R+,且x+2y=3,求1/x3+2/y3的最小值. 上述问题刊登出来就引起很多数学爱好者的关注与研究,其中孙建斌老师在文[1]中、薛茂文老师在文[3]中、王增强老师在文[4]都采用了构造"数字式"方法对该问题进行了解答,刘成龙,余小芬两位老师在文[2]中给出基本不等式的解法,拜读了上述老师的解答深受启迪,笔者觉得文[1]、文[3]、文[4]采用的构造"数字式"方法新颖,但似乎难以想到;文[2]给出基本不等式的解法,总觉得没有完全展现均值不等式精髓.     

Minc-Sathre不等式的加强及简便证明

文献[1]中给出了Minc-Sathre不等式 n/n＋1〈n√n!/n＋1√（n＋1）!〈1 （n∈N^＊）① 此不等式可以用高等数学中的Stirling公式证明．文[1]给出了它的两个初等证明．文[2]给出了它的一种加强：     

再谈一个三角问题的解决

文[1]给出了如下一个三角问题:求函数y=sinx cosx sinxcosx(x∈R)的最大值.对此文[1]给出了六种解法,读后受益非浅.作为对文[1]的补充,本人对这个三角问题再给出六种不同的解法,供同行们研讨.     

也谈一个数学问题的简解和进一步研究

《数学通报》2006年第4期刊登的第1609号问题是： 求内切圆半径为1的三角形面积的最小值．文[1]对问题的解答作了很好的改进和推广，文[2]对此问题又给出了一种解法，但笔者认为此方法并不十分简单．实际上，若用一点凸函数的性质，可以得到此类问题的规律性解法．     

不用三角代换行吗?

文[1]通过8个例题说明三角代换在解决某些代数问题中的应用,笔者读后,深受启发．同时,笔者又给出另外解法．为了便于比较,文[1]中例题的顺序也不改变．     

三直线斜率等差性质的初等证明

<正>近年来，在高中圆锥曲线问题中，与极点、极线、线段交比、调和、完全四边形等高等几何背景相关的论述屡见不鲜，如文[1]从高等几何角度给出了三直线斜率具有等差性质的本质及推广．但这些论述都未给出初等证明，不利于中学生对相关知识的理解．笔者尝试从初等角度给出相关证明，以期能够更好地服务于高中课堂．     

也谈直角走廊问题的巧解

问题：一条直角走廊宽为a（a〉0）,若一根铁棒EF能水平通过此直角走廊,求此铁棒的最大长度． 文[1]用三角方法给出了解,文[2]在方法上有所创新,用解析法给出了一种巧解,但是两种解法都过于繁琐,不尽人意．事实上,本题通过三角方法是可以进行简解的,只不过文[1]对其处理不当,造成了复杂的求解．     

几个不等式猜想的证明与统一

宋庆先生在文[1]给出了4个不等式猜想,杨志明先生在文[2]证明了文[1]的猜想1和猜想3,又提出了4个猜想．本文拟给出文[1]猜想3和文[2]的4个猜想的三角证明,并进行适当的统一推广．     

一类不等式恒成立问题的再探究

文[1]给出了含参数的不等式｜a-f（x）｜〉g（x）在给定区间上恒成立问题的一般解法，原文作者倾向于从否命题的角度进行处理．笔者作正面解答的尝试，得到了如下争议解法（以文[1]例2为例）．     

高次方程韦达定理在解题中的应用

<正>一、提出问题题目已知■,求a+b+c和abc的值．这是2020年蒙古国数学奥林匹克竞赛的一道试题,文[1]和文[2]共给出了试题的三种解法,但这些解法都比较繁琐．笔者研究发现,若借助高次方程的韦达定理解决此题,则过程更直接、更简单,学生更容易理解和掌握．     

例谈不同背景下的同类二次约束条件的最值问题

关于二次约束条件下的一类最值问题文[1]、文[2]均给出不同条件下的求解方法,本文主要探讨近年在不同试卷中出现的该二次约束条件最值的题源,并给出比较完整的解法策略.     

一道美国数学月刊征解题的再探与推广

正题目设x,y,z∈(0,+∞),且x2+y2+z2=1,求函数f=x+y+z-xyz的值域.文[1]、文[2]、文[3]站在不同的角度对这道题展开了研究,给出了多种不同解法,本文笔者再给出一种解法,并在此解法的基础上展开推广.     

一类直线存在性问题的探究

文[1]、[2]分别对下列问题： 是否存在直线l,使得l上任意一点P（x,y）,点Q（4x＋2y,x＋3y）也在l上？ 给出了错解辨析和不同的解法． 文[3]也对类似的问题出现的错解作了剖析．本文拟对上述这类直线存在性问题的一般性作一番探究．为此给出     

一例值域问题的再探究

文[1]用数形结合处理了武汉市高中调考题中的一例值域问题,题目如下:求函数y=x (x~2 x 1)~(1/2)的值域.标准答案给出的一种解法容易出错,文[1]所用方法甚是巧妙,但文[1]的解法不符常规,     

一道无理方程题的纯代数解法赏析

《中学数学杂志》（初中）2008年第2期p．39。刊登的“托勒密定理在代数中的应用”一文（下称文[1]）,介绍了平面几何著名的托勒密定理在解决有关代数问题中六个方面的巧妙运用,阅后受益匪浅,颇有启发．但文[1]中例4的解法,作者认为“像这样的方程,我们几乎无法想象在初中范围内能用纯代数的变形解决”．果真如此吗？笔者不敢苟同,这是否言过其实,厚此薄彼,夸大、抑或“神化”了定理的相对作用（这有悖于实事求是的科学态度．）？读者自会评判,此不赘言．下面将给出文[1]中例4的几种纯代数变形解法,供读者参考．