关于“抛物线形状相同”的教学设计

九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第三册指出 ,“一般地 ,抛物线ｙ＝ａ（ｘ -ｈ）２ +ｋ与抛物线ｙ＝ａｘ２ 形状相同 ,位置不同．”因教材未作深入研究 ,学生理解上有一定困难．如果在教学中巧妙地利用课本中所附图象的精确性 ,从第１课时到第３课时采取阶段性递进式归纳方法 ,引导学生用不同的角度 ,对“抛物线形状相同”的结论全面做出形象、直观的验证 ,建立明晰的数学模型 ,可强化学生对抛物线形状与二次函数系数间的关系的具体认识．第一阶段 :（完成第１课时教学后）教学目的 :验证抛物线 ｙ＝ａｘ２ 和 ｙ＝ -ａｘ２的形状…     

初中如何进行二次函数的复习

二次函数图象和性质是初中代数重点的教学内容之一，也是各地中考的必考部分．近年来，它在试卷中占有的比重逐年增加，题目的形式、内容也在不断翻新．为此，在毕业复习时教师必须从大纲规定的教学要求出发，精选典型例题，归纳基本的解题方法，以帮助学生系统地复习知识和提高解题的应变能力．目前，有关二次函数常见的题目有以下三类．一、二次函数图象的形状和平移例1二次函数的图象与抛物线形状相同，求第一个抛物线的顶点坐标．分析；初中代数第四册P75，指出：“函数y的图象与函数的图象形状相同．只是位置不同．”由此可见，决定二…     

一个常用结论的证明

中学数学课本《解析几何》总复习第8题“求抛物线y=x2上到直线2x－y=4距离最小的点的坐标，并求出这个距离。”对此题的解法，很多书上都直接采用了结论：“当直线不与抛物线相交时，抛物线上到已知直线距离最短的点是与已知直线平行的抛物线切线的切点。”对此，不少学生提出疑问。本文加以证明并推广到其它二次曲线。Ⅰ.首先对抛物线进行证明。设抛物线方程为y2=2px(p>0)，直线l:y=kx＋b，直线与抛物线不相交。求证：抛物线上到已知直线l距离最短的点是与l平行的抛物线的切点。证明：设M(x0,y0)是抛物线上任一点的坐标，它到直线l的距离…     

y=2X~2与y=(1/2)X~2的图象形状一样吗?

在讨论二次函数的图象时,常常有人说“抛物线y=2x~2与y=1/2 x~2的形状是不一样的”。其实这样说是有疑问的。 通常所说的两个图形F_1与F_2形状相同是什么意思呢?对于三角形,这是人们所熟知的,所谓两个三角形的形状相同就是指两个三角形相似,即两个三角形的点之间可以建立起一一对应,使得连结对应     

3.5二次函数的图象和性质

第1课时二次函数的概念和性质 1．二次函数的概念 一般地,称y=ax^2＋bx＋c（a≠0,a,b,c为常数）表示的函数为二次函数． 2．二次函数的图象和性质 （1）二次函数的顶点式为y=a（x-h）^2＋k（a≠0）,它的图象是对称轴平行于y轴的抛物线．     

一道解几课本习题的应用

在解几课本中有这样一道习题：“过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和这抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2，求证：y1y2＝一P2．”（《解析几何》第101页第8题）作为书中的一道习题，我们一定非常熟悉甚至留过作业，但进一步挖掘，会得到许多新的东西．首先，假设过抛物线y2＝2Px焦点的直线与抛物线交于P；（x1，y1），P2（x2，y2）两点，则y五一2p，1，y。’一ZPxZ，．”．ylZy22＝4p2XIX22．．、．户“．ylyZ—～户，telHZ“ry．。。。。，”一‘一“4这样，现在我们有了两个结论：＿户“＿…工IH2“二，凶yyZ“一p“·“““4…     

二次函数图像的平移规律

<正>二次函数图像的平移规律:抛物线y=a(x-h)²+k与y=ax2+k与y=ax²形状相同,位置不同,把抛物线y=ax2向上(下)向左(右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)2形状相同,位置不同,把抛物线y=ax2向上(下)向左(右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)²+k。平移的方向、距离要根据h、k的值来决定。下面就二次函数图像平移规律,从两方面谈谈自己的看法。一、二次函数图像的平移规律1.上加下减。抛物线向上平移n个单位,就在c后面+n;向下平移n个单位,就在c后面-n。a,b不变。例:y=-x2+k。平移的方向、距离要根据h、k的值来决定。下面就二次函数图像平移规律,从两方面谈谈自己的看法。一、二次函数图像的平移规律1.上加下减。抛物线向上平移n个单位,就在c后面+n;向下平移n个单位,就在c后面-n。a,b不变。例:y=-x²+3x+4向上平移3     

二次函数图象的基本变换

1．平移 将抛物线y=a（x-h^2）＋k（a≠0）的图象先向右平移m个单位,再向上平移n个单位,则所得抛物线的顶点坐标是（h＋m,k＋n）,且平移前后抛物线的开口大小、形状相同,即a相同．     

论互为反函数图象的对称性

函数y=f(x)，D（有反函数）与其反函数x（y），和在同一坐标系中图象的对称性存在两种对立的认识，一种认为“在同一坐标系xoy中，函数与其反函数，的图象相同，这个图象与函数，的图象关于直线y=x对称”至于“函数y=f*（x），与互为反函数，一般不相同，在同一坐标系里，为何总有相同的图象？”文献[8]则以“相同的函数图象形状一定相同，但位置可以不同，而不同的函数，图象可以相同，这本来就不是矛盾的事情一以蔽之．持这种认识的人很普遍，详见文献[3]～[8]．相反，另一种则认为“在同一坐标系xoy中，函数图象相同（同一曲线，不仅形…     

一道习题引发学生的发散思维

充分利用教材，发挥教材中习题的作用，挖掘习题的潜能，是数学教学的一个主要环节．我在上抛物线的习题课时，以课本习题八的第8题“过抛物线y~2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交，两个交点的纵坐标为y_1、y_2，求证y_1y_2=-p~2．”为导火线，点燃学生发散思维的火花．在教学方法上进行了优化组合，取得了良好的教学效果．下面是我的教学程式：一、命题的证明采用讨论式教法，一题多证培养求异思维．我让学生认真审题，互相讨论．互相启发，互相交流，争论答辩，集思广益，得到四种不同的证法：证法1设焦点弦两端点分别为证法2设过焦点…     

一道课本习题的推广及其应用

人教版教材高二数学（上）第119页有这样一道习题：过抛物线y^2=2px（P〉0）的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2=-p^2．这个命题可推广如下：已知抛物线y^2=2px（p〉0）及点E（a，0）（a〉0），过点E的直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点。求证：y1y2=-2ap．     

探究抛物线的平移、对称与旋转

二次函数Y=ax 2 ＋bx＋c（a≠0）的图象是一条抛物线．抛物线与Y=ax2的形状相同,只是位置不同．把抛物线Y=ax2向左（或向右）平移h个单位,再向上（或向下）平移k个单位就可得抛物线Y=a（x＋h）2＋k的图象．“h值正负,左、右移,K值正负,上、下移;”简记为：左加右减,上加下减．解题时,应根据具体情况、具体分析,根据需要选用恰当解析式的可使思路清晰、运算简便、事半功倍．     

一叶知秋话移形

在函数部分的学习中，有时会遇到涉及移形和图象的其他变换问题，如“把抛物线y=2x^2 3向左平移3个单位得一新的抛物线，试求这个新抛物线的解析式”、“已知直线l：y=2x 1关于x轴的对称图形为直线l’，试求l’的解析式”等．这样的问题本来不难解决，如关于图形的平移已有特别适用的口诀：“左、上(移)加；右、下(移)减”，但对部分学生来讲，由于他们的抽象思维能力还不完善，     

与抛物线的切线有关的一个性质

《中学数学月刊））2006年第11期《抛物线的几个性质》（下称[1]）一首先给出了问题“已知抛物线C：y=x^2，过Q（0，2）的任一直线与抛物线C交于M，Ⅳ两点，过点M和Ⅳ的切线的交点为R，求点R的轨迹方程”的解答．笔注意到该解答（求点R的坐标）中有“设过点Q（0，2）的直线方程为y=kx＋2（k∈R）,……[第一段]     

“二次函数”易错题选析

[例1]把抛物线y=x2向平移个单位再向平移个单位后得到抛物线y=x2-4x 7.[错解]右,4,上,7.[剖析]解答此题要先把一般式y=x2-4x 7,化成顶点式:y=(x-2)2 3,再根据抛物线的变换性质,判断平移的方向和距离.一般情况下,抛物线y=ax2与y=a(x-h)2 k形状相同,抛物线y=ax2向上(下)平移k个单位,再向左(右)平移h个单位,可以得到抛物线y=a(x-h)2 k.此题错解的原因是不熟悉抛物线的变换性质,没有把一般式y=x2-4x 7化成顶点式y=(x-2)2 3.[正解]右,2,上,3.[例2]已知二次函数y=ax2 bx c的图象如图所示,下列结论中:①abc>0,②b=2a,③a b c<0,④a-b c>0,正确的个…     

抛物线在平面直角坐标系中的变换

在不改变抛物线y=ax^2＋bx＋c形状的情况下,可将抛物线的位置作平移和对称变换．了解并掌握抛物线的这些位置变换,对加深和理解二次函数的性质是大有好处的．     

与抛物线定值问题相关的一组性质及应用

[例题] 过抛物线y=2px（p〉0）焦点的一条直线和此抛物线相交．两个交点的纵坐标为y1、y2，则y1y2=-P^2．     

例谈课本习题的处理方法与反思

题目：（人教版教科书高二（上）第119页，第7题） 过抛物线y^2=2px点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2，求证y1y2=-P^2。     

"抛物线的焦点弦性质"教学中的新发现

众所周知,设直线l与抛物线y2=2px(p>0)相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,若l经过抛物线的焦点F,则y1·y2=-p2,反之也成立.那么,若y1·y2=p2,直线l也经过某一定点吗?著名的数学教育权威弗赖登塔尔认为,数学教学方法的核心是学生的“再创造”.在具体实施过程中必须努力激发学生“再创造”的动机,必须以学生的“数学现实”为基础,必须重视合情推理的作用.基于这一教学理念,在2004年安徽省六安市高中数学研讨课的一节公开课“抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦性质”的教学中,通过师生互动,发现了一个新的结论.为说明问题,先将本节课的主要教学环节简介…     

抛物线的一个性质

命题.平行于抛物线y=ax~2(a(?)0)的弦的切线上切点的横坐标,等于弦中点的横坐标. 因此,抛物线y=a(?)平行弦中点的横坐标都相同,对抛物线y=ax~2+bx+c及ay~2+by+c=x有类似结论.