解计数问题时产生“重复”的原因诊断

同学们在解决有些类型的排列、组合应用题时很容易出现错误解法,其中产生错误的原因之一是重复计算.在解题时,应做到既不重复,又不遗漏;对于错误解法,要能加以分析、纠正.这样对于提高大家解决排列、组合应用题及分析问题、解决问题的能力都有很大的帮助.一、分步过程中易产生重复例1在100件产品中有3件次品,其余为正品,从这些产品中抽出4件,至少有1件次品的抽法有多少种?解法1先在3件次品中抽出1件,抽法有C₃¹种,     

一个课本例题的推广及应用

新教材《数学·第二册 (下B) (实验修订本·必修 )》第 1 0 2页例 5 :题　在 1 0 0件产品中 ,有 98件合格品 ,2件次品。从这 1 0 0件产品中任意抽出 3件。( 1 )一共有多少种不同的抽法 ?( 2 )抽出的 3件中恰好有 1件是次品的抽法有多少种 ?( 3 )抽出的 3件中至少有 1件是次品的抽法有多少种 ?本文从课本对上述例题的两种解法出发 ,归纳总结出一个组合数公式 ,并给出其一个应用。课本对第 ( 3 )小题给出的两种解法如下 :解法 1　从 1 0 0件产品中抽出的 3件至少有 1件是次品 ,包括有一件是次品和有两件是次品这两种情况 ,其中 1件是次品的抽…     

几个易错的概率题

在新教材概率部分的教学过程中 ,发现有几个常见题较易出错 .举例如下 :例 1　某种产品 1 0 0件 ,其中有次品 5件 ,现从中任意抽取 6件 ,求恰有一个次品的概率 .错解　由题意知 ,这种产品的次品率为 5 %,且每次抽取相互独立 ,由独立和重复试验概率公式 ,得 :6件产品中恰有 1件次品的概率为 :Ｐ(1 )6 =Ｃ1651 0 0 (1 - 51 0 0 ) 5=0 .2 32 1 .剖析与正解　在上题的解法中有两个错误 .第一 ,1 0 0件产品 ,其中有 5件次品与次品率为 5%是两个不同概念 .第二 ,该试验不是独立重复试验 ,从1 0 0件产品中任抽 6件 ,可当作抽了 6次 ,每次抽 1个 ,但…     

高考中排列组合题的常见错误剖析

排列组合是高考考试大纲的一个基本要求和重要考点,是考查学生分析能力和解决问题能力的好题材,是学生的一个易错点.每年高考大多考一道选择题或填空题,2005年高考全国卷也不例外.本文对学生解答高考试题时的错误进行剖析,并充分暴露学生错误的思维过程,使学生认识到出错的原因,在比较中对正确的思维过程留下更深刻的印象,从而有效地提高解题准确率,培养学生的分析问题和解决问题的能力,这也是教师在进行排列组合教学与复习时必需关注的问题.1违背原理例1(1993年全国卷)50件产品中有4件次品,从中任意抽出5件,其中至少有3件次品的抽法有种.正…     

产品抽检问题

在100件产品中,有98件合格品,2件次品,从这100件产品中任意抽出3件,抽出的3件至少有1件是次品的抽法有多少种?     

排列、组合应用题错解辨析

排列、组合是高中数学教学难点。尤其是排列、组合应用题,有时明明知道其结果是错误的,但解题过程却似乎无懈可击,找不到错因。本文根据自己的教学实践,就排列、组合应用经常出现的错解问题予以辨析。例1 100件产品有3件次品,97件正品,从中抽取3件,至少抽出一件次品的抽法是多少?     

领悟一道课本例题 解决一类概率问题

人教2003年版高中数学第三册(选修Ⅱ)p·11有这样一道例题:有一批数量很大的产品,其次品率是15%.对这批产品进行抽查,每次抽出1件,如果抽出次品,则抽查     

为何“重复”和“遗漏”

<正>在解答排列组合问题的过程中,极易出现"重复"遗漏"的错误.下面举例说明.例1有5件不同奖品发给4位先进工作者,每人至少一件,有多少种不同的发放方法?     

领悟一道课本例题 解决一类概率问题

人教2003年版高中数学第三册(选修Ⅱ)第11页有这样一道例题:有一批数量很大的产品,其次品率是15%.对这批产品进行抽查,每次抽出1件,如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品,但抽查次数最多不超过10次.求抽查次数ξ的期望(结果保留三个有效数字).     

领悟一道课本例题 解决一类概率问题

人教2003年版高中数学第三册(选修Ⅱ)p·11有这样一道例题:有一批数量很大的产品,其次品率是15%.对这批产品进行抽查,每次抽出1件,如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品,但抽查次数最多不超过10次.求抽查次数ξ的期望(结果保留三个有效数字).     

例谈排列组合问题中的思想方法

中学数学中的排列组合是一类思考方式较为独特的问题 ,它对分析能力要求较高 ,解法也非常灵活 ,是高考的难点之一 .因此 ,恰当地选择思想方法 ,对于解决排列组合问题至关重要 .下面结合几个例子谈谈排列组合中常用的十种思想方法 .一、分类思想就是把一个复杂的问题 ,通过正确划分 ,转化为苦干个小问题予以各个击破 ,这是人们解决问题中最常用的策略思想 .【例 1】　在 5 0件产品中有 4件是次品 ,从中任意抽出 5件 ,至少有三件是次品的抽法共有　　　　种 .解析 :分两类 ,有 4件次品抽法C4 4·C14 6 ;有三件次品的抽法C3 4·C24 6 ,所以共…     

概率作业批改札记

在批改概率作业时,发现不少学生常犯一些同样类型的错误,分析其原因,发现主要是有关概念模糊不清,现取几例分析如下。 例1 100件产品有10件次品,从中任取两件(取后不放回),求第二次才取得次品的概率。 错解 令A=“第一次取得正品”,B=“第二次取得次品”,C=“第二次才取得次品”,P(C)=P(B|A)=10/99.     

《概率统计》在高考中的应用体现

概率统计原来是高等数学中的知识,现在高中数学中也有很重要的位置,每年的高考都重点考查.本文就几个不同的题型及解法进行剖析和探究. 一、超几何分布问题 超几何分布是统计学上一种离散概率分布.它描述了由有限个物件中抽出n个物件,成功抽出指定种类的物件的次数(不归还).在产品质量的不放回抽检中,若N件产品中有M件次品,抽检n件时所得次品数X=k,则P(X=k)=CkM·CN-M/CnN,Cba,为古典概型的组合形式,a为下限,b为上限.此时我们称随机变量X服从超几何分布.一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件(X=k)发生的概率为P(x=k)=CkMC(n-k)(N-M)/NnN(k=0,1,2,…,m)(m≤M,m≤n,M≤N).     

概率与统计中值得注意的几对概念

一、“频率”与“概率”例1下列两个命题中错误的是( ) (1)抛掷100次硬币,出现正面向上的频率为0．4,则该次试验中,硬币正面向上的次数为40次．(2)若一批产品的次品率为0．1,则从该产品中随机抽取100件,一定会有10件次品．     

对一道课本例题的解析及拓展

人教版数学第三册(选修Ⅱ)概率与统计部分有这样一道例题: 有一批数量很大的产品,其次品率是15%.对这批产品进行抽查,每次抽出一件,如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品,但抽查次数最多不超过10次.求抽查次数的期望(结果保留三个有效数字). 本题主要考查相互独立试验,计算随机变量取值的概率是正确解题的关键.为了便于说明,下面把解法书写如下:     

插板法的联想

对于相同元素的分组分配问题,解法较多.若按常规的分类分步法求解,一是比较麻烦,二是往往容易出现重复或遗漏的错误;而用“插板法”求解,则简单易懂,操作方便.先看例1 某运输公司有7个车队,每个车队的车多于4辆.现从这7个车队中抽出10辆车组成运输队,且每个车队至少抽1辆,那么不同的抽法有___种.     

领悟一道课本例题 解决一类概率问题

人教2003年版高中数学第三册（选修Ⅱ）P11有这样一道例题：有一批数量很大的产品,其次品率是15％．对这批产品进行抽查,每次抽出1件,如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品,但抽查次数最多不超过10次．求抽查次数ξ的期望（结果保留三个有效数字）．[第一段]     

古典概型的概率计算

计算古典概型中任意一随机事件 A发生的概率 ,关键是要找出该试验的基本事件总数和导致事件 A发生的基本事件数 ,在不同情况下基本事件数的计算可能涉及排列、组合数的计算和使用分类计数、分步计数原理 .1　对产品进行抽样检查 ,是检验产品的质量的一种手段 ,利用古典概型可解决相应的问题抽样分为放回抽样和不放回抽样两种情况 ,针对不同的情况 ,计算基本事件的方法有所不同 .例 1　在 2 0件产品中有 4件次品 ,从中任取 3件 ,计算 (1) 3件都是次品的概率为多少 ?(2 ) 1件是次品、2件是合格品的概率为多少 ?(3 )最多 1件次品的概率为多少 …     

谈谈小概率事件原理的应用

小概率事件原理是概率论中的一个基本而有实用意义的原理.为便于对原理的掌握,我们先来看一个例子.例1　某厂每天的产品分3批包装,规定每批产品的次品率都低于0.01才能出厂.若产品符合出厂要求,问从3批产品中各任抽1件,抽到的3件中有0,1,2,3件次品的概率各是多少?若某日用上述方法抽查到了次品,问该日产品能否出厂?解　把从3批产品中各抽1件看作3次独立试验,于是可把问题归结为贝努利概型.若产品符合要求,则次品率小于0.01,令p=0.01,q=1-p=0.99.抽3件产品恰有0件次品的概率为P3(0)=C03(0.01)0(0.99)3-0=(0.99)3=0.970299抽3件产品恰有1件次…     

排列组合问题中的重复计算剖析

在解答排列组合问题时 ,易犯的错误是遗漏与重复 .遗漏多半比较明显 ,而重复较为隐蔽 .本文对一些隐蔽的重复计算错误举例剖析 .研究失误的原因 ,寻求补正和预防的方法 .例 1　某天有六节不同的课 ,若第一节排数学 ,或第六节排体育 ,问共有多少种不同的排法 ?错解　数学排第一节的排法有Ａ55种 ,体育排第六节的排法也有Ａ55种 ,根据加法原理 ,第一节排数学或第六节排体育的排法共有Ａ55+Ａ55=2Ａ55=2 40 (种 ) .剖析　在数学排第一节的排法中 ,存在着体育排第六节的排法 ,在体育排第六节的排法中 ,也存在着数学排第一节的排法 ,它们是数学排…