一道调研试题的解法与提炼

2010年5月湖北省武汉市九年级数学调研试卷有这样一道几何试题:如图1,圆O是△ABC的外接圆,AE是圆O的直径,AD是△ABC中BC边上的高,EF上BC,垂足为F.求证:(1)BF=CD;(2)若CD=1,AD=3,BD=6,求圆O的直径.     

一道几何题的证明思路及方法

题目已知:在△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 边上一点.求证:AB~2=AD~2+BD·CD.思路分析1:因为 BD、CD 在同一边上,从而考虑相交弦定理,于是作△ABC 的外接圆进行论证.证法1:作△ABC 的外接圆 O,延长AD 交⊙O于 E,连结 BE(如图1),∵AB=AC,∴∠1=∠E.∴△ABD∽△AEB,∴AB~2=AD·AE=AD·(AD+DE)=AD~2+AD·DE.     

谈一道初中数学竞赛试题

<正> 一九八八年全国初中数学联赛第二试的第二题是: 已知 D△ABC的边AC上一点,AD:DC=2:1,∠C=45°,∠ADB=60° 求证 AB是△BCD的外接圆的切线 这是一道考查平面几何有关知识和论证能力的题目,它涉及到正弦定理和余弦定理。本题结论清楚,有三条解题途径。欲证AB是△BCD外接圆的切线,只须证明AB与过B点的半径垂直,或证∠ABD=45°;或证AB~2=AD·AC。据此,“参考答案和评分标准”给出了三种证法。     

话说45°和21/2

对于一些几何题,我们有时感觉无从下手,一点思路也没有,几何题中的一些"特殊条件"往往是解题的金钥匙.在这个所谓的"特殊条件"中其中有一类是45°和蕴含着的潜在信息,便是有效的解题技巧,现举一例与大家分享.题目:如图,⊙O为△ABC的外接圆,已知CA=CB,∠ACB=90°,点D为半圆上任意一点（D与C在AB两侧）,连结AD、BD、CD,求证AD+BD=2^1/2 CD.     

一道课本复习题的探究

题目(人教版《几何》第二册复习题三Pll3第13题)如图】,A是CD上的一点,△ABC、△ADE都是等边三角形,BD. 分析:易证 证明:因为 所以AB=求证:CE=△ABD兰△ACE(SAS).△ABC为等边三角形,AC,乙召沌C二60“. 因为△ADE为等边三角形, 所以AD二AE,乙E.4D二600, 所以乙BAD二乙CAE=1200, 所以△ABD鉴△ACE, 所以CE二BD. 一、条件不变,引伸结论 变式I:在原题目不变的前提下,可以探求以下结论: (l)求证△ABF哭△ACC; (2)求证AG二AF: (3)连结‘F,求证△A‘F是等边三角形; (4)求证CF// CD. 证明:(l)因为△ABD丝△AcE, 所…     

2003年高考“立体几何解答题”的分析与反思

一试题概述2003年高考数学新课程卷立体几何解答题的呈现,一改以往甲、乙两题任选一题的面孔,只出了一道题;由考生自选解法,显示了公平性与合理性.理科试题:如图1,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°.侧棱AA1=2,D、E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.(Ⅰ)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示);(Ⅱ)求点A1到平面AED的距离.文科试题:已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1中点.如图2.(Ⅰ)证明EF是BD1与CC1的公垂线;(Ⅱ)求点D1…     

特征分析思想在解数学竞赛题中的应用

本文结合例题介绍特征分析思想的应用.1关系式特征数学竞赛题中,常会给出一些关系式,有的时候可恰当地转化关系式的形式,使之与我们学过的某些知识建立起联系,从而找到解题的切入点.例1已知a、b、c为△ABC的三边长,且满足a2=b2 bc.求证:∠A=2∠B.分析:考虑到已知条件给出的关系式的特征a2=b2 bc=b(b c),a.a=b.b b.c.比较这两种特征,我们可以联想到相似三角形中的比例关系,同时可以构造图形来解此题.图1证明:如图1,延长CA到D,使得AD=AB=c,则CB2=CA.CD.所以,CB为△ABD的外接圆过点B的切线.注意到∠ABC=∠ADB=∠ABD,故即∠A=2∠B…     

涉及三角形中线时常用的辅助线

在人教社出版的九年义务教育三年制初级中学《几何》第二册课本的 P115页复习题三中 ,安排有这样一道习题。求证 :如果延长△ ABC的中线 AD至 A′,使 DA′=AD,那么A′C=AB。本题的证明思路较为简单 ,要证 A′C=AB,可证△ ABD≌△ A′CD。而在△ ABD和△ A′CD中 ,AD=A′D(作图 ) ,∠ 1=∠ 2 (对顶角相等 ) ,BD=CD(已知 ) ,故△ ABD≌△ A′CD A′C=AB。在课本的教学用书中 ,此处有一注解说明 :“这是常用的辅助线的作法。在三角形中 ,涉及中线的题目 ,常常用这种辅助线。”例 1.△ ABC中 ,AB=5 ,AC= 3,则 BC边上的…     

数理化题选

如图,在四边形ABCD中△ABD、△BCD、△ABC的面积比是3:4:1.点M、N分别在AC、CD上,满足AM:AC=CN:CD,并且BM、N三点共线.求证:M与N分别是AC与CD的中点.     

对一道中考试题的探究

一、中考试题例1如图1,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB.(1)求证:AD⊥DC;(2)若AD=2,AC=$5,求AB的长.(2006年江苏省南通市课改实验区中考题)解析:(1)如图1,连接CB,由AB为⊙O的直径,知∠ACB=90°.∵CD切⊙O于点C,∴∠ACD=∠B,又AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC,从而有∠ADC=∠ACB=90°,即AD⊥DC.(2)由(1)知Rt△ADC∽Rt△ACB'AADC=AACB,∴AB=AACD2=($25)2=2.5.二、试题探源上述试题源于几何第三册(人教大纲版)93页例2.例2如图2,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为…     

一道IMO试题的溯源及拓广

在第34届IMO中,由英国提供的一道试题为:命题1.设D是锐角△ABC内部的一个点,使得∠ADB=∠ACB+90°,并有AC·BD=AD·BC.(a)计算比值 AB·CD/AC·BD;(b)求证△ACD的外接圆和△BCD的外接圆在C点的切线互相垂直.就命题1而言,首先让我们来追溯一下可能的构思路线.我们知道,初中《几何》课本第二册P.39的第16题为:     

立足教材 指向素养 守正创新

<正>1试题呈现(滨州中考第22题)如图1,点E是△ABC的内心,AE的延长线与边BC相交于点F,与AABC的外接圆相交于点D。(1)求证:S_△ABF:S^△ACF=AB:AC;(2)求证:AB:AC=BF:CF;(3)求证:AF²=AB·AC-BF·CF;(4)猜想:线段DF,DE,DA三者之间存在的等量关系。(直接写出,不需证明)2解法探究     

数学问题与解答——2008年第6期问题解答

736．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，且DB=AB，△ABD的外接圆直径BG与△ABD的高DE交于F，H是△BCD的内心，求证：S△BHF=S△EBG．     

1999年中国数学奥林匹克

第一天 (1999年1月11日上午8:00～12:30) 一、在锐角△ABC中,∠C>∠B,点D是边BC上一点,使得∠ADB是钝角,H是△ABD的垂心,点F在△ABC内部且在△ABD的外接圆周上,求证点F是△ABC垂心的充分必要条件是:HD平行于CF且H在△ABC的外接圆周上。     

例谈平面几何证题的新模式——兼谈若干竞赛题的简证

本文把证明与作图联系起来,把几何推理与代数演算联系起来,使几何解题的逻辑性更强,使初算几何的解题方法进入“代数方法”的层次,从而证题有了以不变应万变的模式.例1 (1989年全国高中数学联赛试题)已知在△ABC中,AB>AC,∠A 的一个外角的平分线交△ABC 的外接圆于点 E,过 E 作 EF⊥AB,垂足为 F.求证:2AF=AB-AC.     

一道试题引发的思考与探究

<正>一、试题及解答(2019春德化县八年级期末试题)如图1,一次函数y=kx+b图象与反比例函数■图象交于A、B两点,分别过点A、B作AC⊥x轴于C,作BC⊥y轴于D,过点C、D作直线CD,求证:CD∥AB.     

借题发挥——谈一道课本习题的变式

题如图1,△ABD、△ACE都是等边三角形.求证:CD=BE.(华东师大版八年级(下)《数学》第94页习题)分析只须证明△ACD≌△AEB,即可得CD=BE.证明△ABD和△ACE都是等边三角形,     

全国卷理科(18)题(江苏卷(19)题)别解

试题　如图1,在直三棱柱ABC- A1 B1 C1 中 ,底面是等腰直角三角形 ,∠ ACB =90°,侧棱 AA1 =2 ,D,E分别是 CC1与 A1 B的中点 ,点 E在平面 ABD上的射影是△ ABD的重心 G.( )求 A1 B与平面 ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示 ) ;( )求点 A1 到平面 AED的距离 .证法 1　如图 2 ,作 EF⊥ AB.由已知 ,BG即 BE在平面 ABD上的射影 ,∠ EBG就是 A1 B与平面 ABD所成的角 ,以下关键是求 EG.易知 EF=12 AA1 =1且四边形EFCD为矩形 ,可将其从原图中分离出来 (见图 3) .图 2　　　　　图 3以下利用方程思想与射影定理求解…     

学习三角形的行列式面积公式的体会

现行高中代数课本第二册行列式一章中有一道习题如下: 已知三角形三个顶点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)。C(x_3,y_3),则三角形的面积 S=1/2(?)的绝对值。(P186第14题) 从该题的证明过程(这里从略)中可知:当A、B、C按逆时针方向排列时,取正号;当A、B、C按顺针方向排列时;取负号。由此题可立即推出;平面上三点(x_1,y_1),(x_2,y_2)(x_3,y_3)共线的充要条件是(?)=0。(P189第27题) 应用这两个公式来解有关三角形面积与三点共线的平面几何问题,可以使解题思路清晰,解答过程简捷。现举例说明如下: 例1 在四边形ABCD内,三角形ABD、BCD。ABC的面积之比是3:4:1,M、N分别在AC、CD上,满足AM:AC=CN:CD,且B、M、N三点共线,试证M、N分别为AC、CD之中点。(83年全国数学竞赛试题二,第三题)。     

一道数学总赛的简证

题目 (2008年全国高中数学联赛江西省预赛)AD是直角三角形ABC斜BC上高(AB相似文献