旋转变换在解题中的运用

<正>旋转是平面几何三大基本变换之一,它在中考命题和解题中有着广泛的应用.本文利用旋转来解决与等腰三角形有关的求角度、求线段长度、求最值等问题,供读者参考.一、 求角度例1 如图1,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为△ABC内一点,连结AD,DC,BD.若CD=1,AD=2,BD=3,求∠ADC的度数.解析 如图1,将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△AEB,连结ED,则得等腰Rt△AED.     

解探究型题策略

动手操作探索是培养创造思维的重要环节,也是中考命题的方向． 一、操作探究 例1 将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图（1）摆放,点E、A、D、B在同一条直线上,且D是AB的中点,将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转30°得图（2）,DE交AC于M,DF交BC于N,分别过M、N作AB的垂线,垂足为C、H求证AG=DH．     

巧用圆的特性求解综合题

<正>圆,是到定点等于定长的点的轨迹.圆的这一特性,使得圆在求解很多看似与圆毫无关系的综合题中起到了巧妙的作用.一、解决丢解问题例1 如图1(1),在Rt△ABC中,∠C=90°.将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C,旋转角为α,在旋转过程中,点B′可以恰好落在AB的中点处,如图1(2).(1)求∠A的度数;(2)当点C到AA′的距离等于AC的一半时,求α的度数.分析与解 (1)∵△ABC绕点C逆时针旋转得到△A     

基于其他考题 成于变式改编——以“2019年东营市中考数学试题第24题”为例

<正>2019年东营市初中学业水平考试(下文简称"中考")已经落下帷幕,笔者有幸组织并参加了东营市中考数学试题的命制工作,期间对第24题的命制进行了深入的思考,下面对其进行简单梳理,不当之处,敬请指正.1真题呈现(2019年东营市中考数学试题第24题,下文简称"改编题")如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=2,点D、E分别是边BC、AC的中点,连接DE.将△CDE绕点C逆时针方向旋转,记旋转角为α.     

动点问题三例

例1如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D是BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P在射线AB上运动,点Q在AC上运动,且∠PDQ=90°．     

一个平几命题在立几中的应用

1　命题若 AD为 Rt△ ABC的斜边 BC上的高 ,则 1AD2 =1AB2 1AC2 .图 1证明　如图1 ,因 AB⊥ AC,AD⊥ BC,故 AB· AC= AD· BC,于是　 1AD2 =BC2AB2 · AC2 =AB2 AC2AB2 · AC2 =1AB2 1AC2 .2　应用例 1　在 Rt△ ABC中 ,∠A=90°,以CB,CA,AB为轴将△ ABC旋转一周所得几何体的体积分别记为 Va,Vb,Vc,试证明 :1V2a= 1V2b 1V2c.证明　如图 1 ,有Vb=13πAB2·AC,Vc=13πAC2 · AB,Va=13πAD2·BD 13πAD2·DC　 =13πAD2 · BC=13πAD· AB·AC.故　 1V2b 1V2c=1( 13πAB· AC) 2( 1AB2 1…     

几何悖论一例

定理:任意三角形都是等腰三角形.这显然是荒谬的命题!怎么会正确呢?但有人恰能证明如下:已知:△ABC中,AB≠AC.求证:AB=AC.证明:设△ABC中∠A的平分线与边BC的中垂线相交于点O,连结AO、BO、CO.过点O作ON⊥AB,OK⊥AC,N,K是垂足.∵AO平分∠A,∴ON=OK,AN=AK.∵MO垂直平分BC,∴BO=CO.∴Rt△BNO≌Rt△CKO圯BN=CK.∵AB=AN+NB,AC=AK+KC.∴AB=AC.上述证明正确吗?毛病出在哪里?请你为他诊断一下.几何悖论一例@陈振宣     

试卷评阅后之所思

原题已知AB=AC,CD⊥AB于点D,BE上AC于点E,BE与CD相交于点O,(1)求证:AD=AE.(2)连接OA、BC,试判断直线OA、BC的位置关系并说明理由.提供的标准答案:(1)证明:如图1中,在△ACD与△ABE中,∵.∠ADC=∠A EB=90°,∠A=∠A,AC=AB,∴△ACD≌△ABE.∴AD=AE.(2)互相垂直;证明连接OA、BC,如图2,在Rt△ADO与Rt△AEO中,     

勾股定理热点题型例析

勾股定理及其逆定理在各类考试中高频出现,根据近几年中考中出现的热点题型举几例,以飨读者. 一、折叠问题: 例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C’点,那么△ADC’的面积是____. 解析:在Rt△ABC中,∠C =90°,BC=6cm,AC=8cm,利用勾股定理计算AB =10cm,由折叠知,DC=DC’,△BCD与△ABD面积比为6∶10,而这两个三角形面积和为三角形ABC的面积为1/2×8×6 =24,因此△BCD的面积为9cm2与△ABD面积为15cm2,由折叠可以得到△ADC’为9cm2,所以,△ADC’的面积是15-9 =6cm2     

巧用旋转模型解题

<正>在几何问题中,有一类求解多条线段之间关系的问题,这类问题难度较大,通过旋转,可以把分散的几何条件集中在一起,运用旋转的不变性,再结合特殊三角形三边关系,可以使这类问题迎刃而解.以下笔者结合实例,以不同的旋转模型加以说明.一、等腰半角模型例1 如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠DAE=45°,BD=3,CE=4.求DE的长.解析如图1,将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF,连结EF.由旋转不变     

每期一题

粗在△ABC中,AB>AC,匕A的一个外角的平分线交△ABC的外接圆于点尸,过尸作尸Q土AB,垂足为O。求证:2刁O=AB一AC。 (1989年全国高中数学联合竞赛试题第二试第一题) 证明一如图,作尸R土CA的延长线于R,连结尸B、尸C。‘:乙1=乙2,尸A公共,.’. Rt△尸O月丝Rt△PRA,.’. AO二AR,尸O二尸R。又乙3=匕4,:.Rt△尸QB丝Rt△尸RC,:’ BQ=CR,.’. AB~AF== AC十A刀,.’.刁B一AC=AO+_了月二竺J Q.、 证明二.如图,在QB上取QR=Q月,连结PR、PB和PC。 易知Rt△尸OR 丝Rt△尸OA,.’.尸R==尸只,艺3=乙1。在△尸AC和△Pl\)厅,朴,,…     

旋得恰当 转得巧妙——巧用旋转法解题

<正>旋转变换是几何图形中的重要变换方法,利用旋转法解决有关计算或证明问题,往往能迅速找到解题的突破口,使问题简单化.本文通过几例来体会利用旋转法解题的巧妙.例1已知,如图1,等腰△ABC中,AB=AC,P为△ABC内一点,已知∠APB=∠APC,试说明BP=CP.解析本题看似简单,但细细分析,难以利用全等的条件得到两线段相等,需要我们另辟蹊径.将△ABP绕A点按逆时针旋转,使得AB与AC重合,则△ABP旋转后得到△ACP'.于是,     

证明(二)单元测试卷参考答案

1.4.2.(1)AB=CD.(2)∠AEB=∠CFD.3.12a.4.15°.5.10.6.①②.7.41a.8.①②③.9.D.10.A.11.A.12.D.13.D.14.D.15.证法一:在△BRP和△CPQ中,∵∠B=∠C=60°,BP=CQ,∠BPR=∠CQP=90°,∴△BRP≌△CPQ,∴RP=PQ.同理,PQ=QR.∴△RPQ为等力三角形.证法二:∵AB=BC=AC,∴∠B=∠C=∠A=60°.又BP=CQ=AR,∴△BRP≌△CPQ≌△AQR.∴PR=PQ=RQ.16.(1)连结AD,∵D为BC中点,△ABC为等腰三角形,∴∠DAE=∠DAF,∴△ADE≌△ADF,∴DE=DF.(2)在Rt△BDE和Rt△CDF中∠BED=∠CFD=90°,∵AB=AC,∴∠B=∠C.又ED=DF,∴…     

巧用角平分线性质证明

角平分线是指把一个角分成两个相等的角的射线.关于角平分线具有如下重要的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.对于一些含角平分线条件的证明问题,巧用这个性质,能简化解题过程,达到事半功倍的效果例1如图,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,且BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC,垂足为E、F,求证:EB=FC.证明:∵AD平分∠BAC,又DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DE=DF.在△BDE和△CDF中,∵∠DEB=90°,∠DFC=90°,DE=DF,BD=CD,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC例2如图,△ABC中,O为∠A、∠B平分线的交点,OD⊥BC于D,OE⊥…     

一道中考题的解法赏析及拓展变式

<正>近年来,在全国各省市中考数学几何试题命题中,线段数量关系以及线段和(差)的最值问题是几何压轴题中最为常见的命题形式.本文对2020年重庆市一道中考几何综合试题的解法进行了探究,并给出两道典型的变式练习,以期与广大同仁共同探讨中考几何综合试题的命题方向.一、试题及解答如图1,在RtABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是BC边上一动点,连结AD,把AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连结CE,DE.F是DE的中点,连结CF.     

对一道中考试题的探究

一、中考试题例1如图1,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB.(1)求证:AD⊥DC;(2)若AD=2,AC=$5,求AB的长.(2006年江苏省南通市课改实验区中考题)解析:(1)如图1,连接CB,由AB为⊙O的直径,知∠ACB=90°.∵CD切⊙O于点C,∴∠ACD=∠B,又AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC,从而有∠ADC=∠ACB=90°,即AD⊥DC.(2)由(1)知Rt△ADC∽Rt△ACB'AADC=AACB,∴AB=AACD2=($25)2=2.5.二、试题探源上述试题源于几何第三册(人教大纲版)93页例2.例2如图2,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为…     

解直角三角形单元练

一、选择题1.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AB=2,BC=1,那么sinB的值是().A.12B.#23C.#33D.#32.已知∠A是锐角,且sinA=#32,那么∠A等于().A.30°B.45°C.60°D.75°3.在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=43,BC=8,则AC等于().A.6B.323C.10D.124.直角三角形的两边长分别是6,8,则第三边的长为(     

作辅助线的几种常用方法

一、延长根据已知条件 ,延长一条或几条线段 ,构成所需图形。例 1.已知 :四边形 ABCD中 ,∠ BAD=60°,∠ B=∠ D=90°,BC=11,CD=2。求 :对角线 AC的长。分析 :在 Rt△ ABC中 ,BC是已知的 ,若求出 AB的值 ,问题即可解决。设法把 AB放到另一个直角三角形中 ,延长 AD交 BC的延长线于点 E。这样 ,在 Rt△ CDE中 ,求出 CE值 ,然后得出BE值 ;在 Rt△ ABE中 ,得出 AB值 ;最后 ,在 Rt△ ABC中 ,求出AC的值。二、连结如连结多边形的对角线、三角形的中位线和梯形的中位线 ,从而可以利用它们的定理来解决问题。例 2 .在△ ABC中…     

含角平分线的竞赛题解析

与角平分线有关的几何问题在各类考试(竞赛和中考)中屡见不鲜,解决这类问题时,若能通过巧添辅助线构造全等三角形常可使问题化难为易.例1如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于D,AC=AB BD,∠C=30°,则∠ABC的度数是(江苏省初中数学竞赛题)()A.45°B.60°C.75°D.90°解:延长AB到E,使AE=AC,连接DE,∵∠1=∠2,AD=AD,∴△AED≌△ACD(SAS).∴∠E=∠C=30°.又AE=AB BE,AC=AB BD,∴BE=BD.从而∠3=∠E.∴∠ABC=2∠E=60°.故选:B.反思:若在AC上截取AF=AB,同学们考虑怎样证明?例2如图,已知在△ABC中,AB>AC,AD为∠A的…     

临界状态生妙思(初三)

例1 如图1.在Rt△ABC中,∠A-90°,⊙O 分别与AB、AC相切于点E、F,圆心O在BC上.若 AB=a,AC=b,则⊙O半径等于( ).