圆中两值问题

《平面几何》的圆中两值问题是学生在解答过程中最容易出错或者遗漏的问题 ,为了降低出错率 ,在中考前的总复习 ,师生不妨尝试如下的归纳和总结 1　由于圆是轴对称图形 ,所以它的轴对称性会造成两值问题例 1　在⊙O中 ,弦AB与弦CD平行 ,且⊙O的直径为 1 0cm ,AB =6cm ,CD=4 5cm ,求 :AB与CD两弦之间的距离是多少 ?图 1　　　　　　　　图 2解　设弦AB与CD之间的距离是EF由图 1看到EF=OE OF .由图 2看到EF=OE-OF .其中 ,OE =OB2 -EB2 =2 5- 9=4 ,OF =OD2 -FD2 =5.所以 ,AB与CD两弦之间的距离是 ( 4 5cm或 ( 4 - 5)cm .…     

巧用图形性质求解与圆有关的最值问题

<正>探究圆上的动点或与圆相交动线构成的线段的最值问题新颖别致,形式不拘一格,解决问题的方法灵活多变,造成许多同学产生畏难情绪.本文分类例说如何利用图形性质求解此类问题,以帮助同学解除疑惑.1.利用"直径是圆中最大的弦"求最值例1如图1,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两     

圆中双解面面观

1.点和圆的位置关系不确定例1若点P到⊙O的最长距离是9,最短距离是3,则⊙O的半径为.解:此时点P可能在圆外,也可能在圆内,因此应该是双解,即⊙O的半径为6或3.2.点在弦上的位置不确定例2已知⊙O的两条弦AB和CD在圆内相交于点P,AP=3cm,PB=4cm,CD=8cm.则CP=cm.解:由相交弦定理得PA.     

聚焦圆中角的应用

在圆中,圆心角与圆周角是最常见的角,它们与弦、弧和扇形的面积的联系很密切,是中考命题的重点.下面以2011年的中考题为例,说明圆中角的各种应用.一、求角的大小1.利用圆心角求圆周角例1(2011年乌兰察布卷)如图1,AB为⊙O的直径,CD为弦,AB⊥CD,如果∠BOC=70°     

追溯“殊途”不“同归”的源头

本文以2017年四川广安的一道中考题为例,用不同的方法解答同一道题,并分析试题的科学性和合理性,以加深学生对问题本质的理解.一、原题再现如图1,已知AB是⊙O的直径,弦CD与直径AB相交于点F,点E在⊙O外,作直线AE,且∠EAC=∠D.     

一道值得商榷的中考题

试题 如图1,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点,从点D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且CE=CB．     

求圆的半径或直径

在平面几何中求圆的半径或直径是最基本的题型,解题方法是由圆的有关知识,获得几何图形的位置关系和数量关系,通过勾股定理、圆幂定理、锐角三角函数、相似形的比例式、平行线的比例式等求得。 1.应用垂径定理 解这类题是先由垂径定理得到过圆心的直线垂直于弦或平分弦. 例1 在⊙O中,弦AB的长为8cm,AB弦的弦心距的长为3cm.则⊙O的半径为( ).     

“圆”的综合测试题

一、填空题(本大题含10个小题,每小题3分,共30分)1.见图1,已知⊙O的半径OA=5,弦AB的弦心距O C=3,则AB=.2.见图2,⊙O为△ABC的外接圆,AB为直径,AC=BC,则∠A的度数是.3.见图3,已知⊙O1与⊙O2外切于切点P,⊙O1的半径为3,且O1O2=8,则⊙O2的半径R=.4.一个圆锥的底面半径为2,母线长为4,则圆锥的侧面积是.5.见图4,⊙O的半径O D为5cm,直线l⊥O D,则直线l沿射线O D方向平移cm时与⊙O相切.6.见图5,⊙O的半径为1,PA切⊙O于点A,且PA=2,则tan∠APO的值为.7.见图6,AB是⊙O的直径,AB=4,∠CD B=30°,则弦BC的长为.8.⊙O的直径为50cm,…     

简证一道西部数学奥林匹克题

题目如图1,AB、CD是⊙O中长度不相等的两条弦,AB与CD交于点E,⊙I内切⊙O于点F,且分别与弦AB、CD切于点G、H过点O的直线l分别与AB、CD交于点P、Q,使得EP=EQ,直线EF与直线l交于点胍证明：过点M且与AB平行的直线是⊙O的切线．     

解答圆问题“勾股”很给力

与圆的直径或与圆的切线有关的问题时学习中的一个重点和难点,在中考中屡见不鲜,解答它们,除了灵活利用圆的有关性质或定理外,别忘了利用勾股定理,有时它可助你一臂之力. 例1(2016年宁波市中考题)如图1,已知⊙O的直径AB=10,弦AC=6,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E. (1)求证:DE是⊙O的切线; (2)求DE的长.     

点弦(切)距定理及其应用

关于圆上一点到一弦或到一切线的距离有如下定理。 1.点弦(切)距定理如下图,已知P是⊙O上一点,AB是弦,PC⊥AB,PD⊥过A点的切线,C、D为垂足,若⊙O的直径PF=d,求证:PC=     

聚焦圆中角的应用

在圆中,圆心角与圆周角是最常见的角.它们与弦、弧和扇形面积的联系比较密切,是中考命题的重点.下面以2016年的中考题为例,说明圆中角的各种应用. 一、求角的大小 1.利用圆心角求圆周角 例1(2016年绍兴卷)如图1,BD是⊙O的直径,点A、C在⊙O上,(AB)=(BC),∠AOB=60°,则∠BDC的度数是( ) A.60°.　　B.45°.　　C.35°.　　D.30°. 解析:连接OC,∵(AB)=(BC), ∴∠BDC=1/2 ∠BOC=1/2 ∠AOB=1/2×60°=30°.选D.     

一道中考试题的解法探究

2011年江苏省苏州市中考数学试题中的第26题题目简单,但设计别具匠心,思路开阔,解法灵活,方法颇多,给学生以广阔的自主探究空间.题目:如图1,已知AB是⊙O的弦,∠B=30°,C是弦AB上的任意一点(不与点A,B重合),连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD.当∠D=20°时,求∠BOD的度数.探究1:如图1,因为∠BOD=∠OCB+∠B,∠OCB=∠A+∠D,所以∠BOD=∠A+∠D+∠B,即∠BOD=∠A     

对一道中考试题的探究

一、中考试题例1如图1,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB.(1)求证:AD⊥DC;(2)若AD=2,AC=$5,求AB的长.(2006年江苏省南通市课改实验区中考题)解析:(1)如图1,连接CB,由AB为⊙O的直径,知∠ACB=90°.∵CD切⊙O于点C,∴∠ACD=∠B,又AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC,从而有∠ADC=∠ACB=90°,即AD⊥DC.(2)由(1)知Rt△ADC∽Rt△ACB'AADC=AACB,∴AB=AACD2=($25)2=2.5.二、试题探源上述试题源于几何第三册(人教大纲版)93页例2.例2如图2,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为…     

莫为“浮云”遮望眼 “洞幽察微”究本质——一道中考错题的探究

近日,在评讲一道有关圆的试题时,课堂上出现了一些波折,现将师生共同探究的过程呈现如下： 1.试题呈现如图1,AB是⊙O的弦,D为OA半径的中点,过D作CD上OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且CE=CB.（1）求证：BC是⊙O的切线;（2）连接AF,BF,求∠4BF的度数;（3）如果CD=15,BE=10,sinA=5/13,求⊙O的半径.     

只知其一 不知其二——圆的中考二解问题错例分析

全面的考虑问题是正确地解决问题的关键所在.而有些同学在解圆的有关题目时,因考虑不周而出现漏解的现象.现以考题为例加以分析,以飨读者例1(2005年黄冈)已知点P是半径为2的⊙O外的一点,PA是⊙O的切线,切点为A,且PA=2,在⊙O内作出长为22的弦AB,连接PB,则PB的长为.错解如图1,连结OA、OB.图1图2因为OA2+OB2=22+22=8,AB2=(22)2=8,所以OA2+OB2=AB2.所以△AOB为以∠AOB为直角的直角三角形.因为PA⊥OA,所以PA∥OB.又因为PA=OB=2,所以四边形AOBP为正方形.所以PB=OA=2.分析上面的解答只考虑了点P和圆心O在弦AB的异侧的情况…     

一道中考试题的解法探究

<正>题目(2013南京)如图1,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦,过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连结AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D.连结AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.(1)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=9,BC=6,求PC的长.     

垂径定理的拓展与移植

如图 1,AB是⊙ O的弦 ,CD是过 AB中点P的⊙ O直径 ,则 CD垂直平分 AB,这是我们大家都非常熟悉的垂径定理 .点 P将弦 AB,直径 CD分成了四条线段 AP,PB,CP,PD,连OA,OB,容易计算有 :AP2 +PB2 +CP2 +PD2 =4R2 ( R为⊙ O的半径 )成立 ,很自然的就提出了这样一个问题 :该结论对圆内任意垂直两弦都成立吗 ?经探索 ,回答是肯定的 ,并可将其移植到椭圆中 .定理 :设⊙ O的半径为 R,两互相垂直的直线 l1 ,l2 的交点为 P,它们分别与⊙ O相交于A、B、C、D,令 P内 (外 )分弦 AB,CD所得的四条线段长为 d1 、d2 、d3 、d4.则 d21 +d22…     

几何探究题

中考几何命题改变传统格局,努力降低论证难度,注重在图形的运动(变换)中考查探究能力,已成为近年来中考命题的新特点.我们把这类试题称作几何探究题.现举典型试题说明其解法.一、探求图形在平移变换中的规律例1如图1,已知AB是⊙O的直径,AB垂直于弦CD,垂足为M,弦AE与CD交于F,则有结论AD2=AE·AF成立(不要求证明).(1)若将弦CD向下平移至与⊙O相切于B点时,如图2,则AE·AF(查题何.的直E成与AF是否等于AG2?如果不相等,请探求AE·AF等于哪两条线段的积?并给出证明.(2)当CD继续向下平移至与⊙O相离时,如图3,在(1)中探求的结论是否…     

以相似三角形为基点 探圆中等积式的证明

多年来 ,圆中等积式的证明问题 ,一直是各省市中考几何压轴题中的一种常见题型 .本文试以相似三角形作为问题化归的基点 ,通过三种代换 ,进而向基点转化的方法 ,对圆中等积式的常见类型的证法进行探讨 .1　基本型 :a·b=c·d或 ab =cd1.1　直接证相似例 1　已知 :如图 1,⊙O1 与⊙O2 内切于P点 ,过P点作直线交⊙O1 于A点 ,交⊙O2 于B点 ,C为⊙O1 上一点 ,过B点作⊙O2 的切线交直线AC于Q点 .求证 :AC·AQ =AP·AB .(2 0 0 4年武汉市中考题 )分析　要证AC ·AQ =AP ·AB △ACP∽△ABQ .连结PC ,过点P作两圆的外公切线MN ,则…