分类例说“角含半角”模型及其相应结论

<正>所谓“角含半角”模型,是指在一个平面图形中,一个角与另一角共顶点,且该角的大小是另一个角大小的一半．“角含半角”模型是初中平面几何中最常见的一种模型之一．通常利用“旋转的观点”看待图形的几何变化,即将这个半角顶点旋转或通过截长补短的方法,使得两个分散的角变换成为一个三角形,这又相当于构造出两个三角形全等或相似．     

例析旋转图形中的两类全等模型

<正>旋转图形是初中阶段几何模型中的常见模型,而在旋转图形中以全等模型的难度最高,综合能力最强．基于此,笔者与旋转图形中的两类全等模型为例,谈谈应该如何分析和解决这一类型问题,希望能给同学们带来启示．类型一:半角模型半角模型是指公共顶点的两个角所含的两个小角的度数是大角度数的一半,这一旋转模型常见的角的度数是60°含30°,90°含45°,120°含60°这些特殊角度．     

正方形中“半角模型”热点试题赏析与思考——从2021无锡中考试题第28题谈起

“半角模型”,就是指一个角包含着它的一半大小的角,且这两个角的顶点重合,把这种模型叫半角模型.当其中一个角为45°,另一个角为90°时,就称为正方形半角模型.近年来正方形半角模型在中考中频频出现.在解题教学中应重视积累基本解题模型,提高识图能力,培养学生创造性思维.     

点击中考旋转推理问题

近年来数学中考题中,与旋转有关的证明和说理问题屡见不鲜.解答这类问题时,除了弄清旋转中心、旋转图形和旋转方式外,还要注意一个图形旋转前与旋转后,只改变了位置,没改变形状、大小及性质. 例1(山东省聊城市中考题)将两块大小相同的含30°角的直角三角板(∠BAC=∠B'A'C=30°)按图1-1方式放置,固定三角板A 'B'C,然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转(旋转角小于90°)至图1-2所示的位置,AB与A'C相交于点E,AC与A’B’相交于点F,AB与A'B'相交于点O.     

挖掘隐含条件 探究一题多解

<正>45°角是常见的特殊角之一.当45°角与直线、三角形、四边形、坐标系等相结合时,往往可以构造K型全等、半角、相似、"12345"等常见几何模型来解决问题.下面笔者以一道题目为例,谈谈隐含45°角问题的解题策略.     

平行线与相交线

角与平行线A组1.下列说法正确的是 (　　 )( A)有公共顶点的两个角是对顶角 .( B)相等的两角是对顶角 .( C)有公共顶点并且相等的角是对顶角 .( D)两条直线相交成的四个角中 ,有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角 .2 .下列说法不正确的是 (　　 )( A)钝角没有余角 ,但一定有补角 .( B)两个角相等且互补 ,则它们都是直角 .( C)锐角的补角比该锐角的余角大 .( D)一个锐角的余角一定比这个锐角大 .(第 3题 )3.如图所示 ,∠ AOC、∠ BOC、∠ D OE都是直角 ,则相等的角有 (　　 )( A) 2对 .　 ( B) 3对 .( C) 4对 .　 ( D) 5对 .4 .…     

解相似三角形问题时构建“共顶点旋转”模型

<正>在解答初中几何问题时,需要同学们快速识别模型,然后利用模型常用的解题思路进行解题．初中阶段解相似三角形时,构建“共顶点旋转”是重点使用的模型．一、模型的介绍如图1,△ABC和△ADE有共同的顶点A,点D在AB上,点E在AC上,将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度后,连接BD,CE,得到△ABD∽△ACE．此类共顶点旋转模型,还可以看作一个三角形绕着一顶点旋转后的缩放,在作辅助线时,只要找到对应点然后连线就可以,如图1中就是B连D,C连E.     

利用旋转解“半角模型”几何题

<正>旋转变换是初中数学中图形变换的一个重要组成部分,而“半角模型”也是几何中常见题型.利用旋转研究“半角模型”,可树立模型观念及空间观念意识,构建几何直观思想,提升推理能力.一、“半角模型”的含义我们习惯把过等腰三角形的顶点引两条线段,使两条线段的夹角为等腰三角形顶角的一半,     

相似三角形中三等角题型一般解答方法及应用

三等角型相似三角形是指以等腰三角形(等腰梯形、直角梯形或等边三角形)为背景,把一个与底角相等的顶点放在底边进行旋转的题型.一般有如图1所示几种,这是相似三角形中最简单又最常见的问题,和我们平时经常看见"A"和"8"字型一样,     

三角形旋转后的一个性质及其应用与思考

<正>近来笔者在研究有关旋转类中考题时,发现把一个三角形绕着其某个顶点旋转后存在一个非常重要的性质,现分享给大家,以求抛砖引玉.1性质把一个三角形绕着它某个顶点任意旋转,旋转前后对应点所在直线的交点在该三角形的外接圆上.把△ABC绕点A旋转到△ADE处,其中点B、C分别落在点D、E处,设直线BD与直     

等腰直角三角形旋转问题的分类探析

<正>等腰直角三角形在旋转变换下的探究性问题,是近几年中考数学命题的热点,其探究过程常与三角形的全等和相似、勾股定理、正方形的性质以及函数方程等知识有关,是一类对能力要求较高的问题.现以中考试题为例,具体归纳为以下几种类型进行分析.一、90°角绕直角顶点旋转例1(2015年汕尾)在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点.若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转,得     

“横平竖直”谈方法 思维优化见奇效

<正>这里的"横平竖直",是指利用水平和垂直的线段对图形进行分割,再结合坐标特点,化斜为方,达到解决问题的目的.本文结合具体问题谈谈如何利用"横平竖直"的方法达到思维的优化.问题1如图1,正方形相邻顶点坐标为:点A(-2,0)和点B(0,3),求点C、D坐标.解析本题在高中数学中,通过旋转或复数等方法来解决,比较简洁.但在初中阶     

正三角形中的一种漂亮关系

(问题)从正三角形内的一点P到三个顶点A、B、C的距离分别为a、b、c,求这个正三角形的边长.图1解决这个问题并不简单,需要一点巧思!把△APC、△BPA、△CPB分别绕顶点A、B、C顺时针旋转60°,分别落到了△AEB,△BDC,△CFA的位置(如图1).于是马上可以看出,六边形AEBDCF的面积就等于     

一组共顶点的正方形问题

我们给定两个全等的正方形ABCD、AEFG,它们共顶点A(如图1),两个正方形可以绕顶点A旋转,以下各问题都以此为前提展开.     

构造“K形全等”解题

<正>所谓"K形全等"是指,在图1中,点A、B、C在同一直线上,若BD=BE,∠DAB=∠DBE=∠BCE=90°,则△ABD≌△CEB(证明略).在正方形、等腰直角三角形中,遇到两条垂直的等长线段时,通过向过直角顶点的直线作垂线段,构造K形全等,可以有效沟通线段或角之间的联系,促进问题的解决.下面举例说明K形全等在点的坐标确定、图形面积求     

解析“动三角形”问题

三角形的旋转、折叠、移动、对称问题成了近年来各地中考试题中的一道亮丽风景.这类题形式多样,需要采用数形结合的方法,并通过观察、操作、猜想、推理、计算等一系列数学探索活动才能获得解决.一、转1.平面上的旋转例1(济南市)如图1,在直角坐标系中,△ABC各顶点坐标分别为A(0,3√),B(-1,0),C(1,0),若△DEF各顶点坐标分别为D(3√,0),E(0,1),F(0,-1),则下列判断正确的是().xy(A)△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转90°得到(B)△DEF由△ABC绕O点逆时针旋转90°得到(C)△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转60°得到(D)△DEF由△ABC绕O点顺…     

一道中考题结论的拓展

<正>中考题是命题者智慧的结晶.教师在平常的教学中,若能创造性地利用中考题,是化解"题海战术"的重要方法.本文将2019年广西贵港一道中考题的结论作如下拓展,与同行们作一交流.一、原题呈现已知:△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C,记旋转角为α,当90°<α<180°时,作A′D⊥AC,垂足为D,A′D与B′C交于点E,(1)如图1,当∠CA′D=15°时,     

图形未确定 分类须谨慎

<正>本文对近年来江西省中考试卷中的几何填空压轴题进行归纳分析,以期发现某些共性,供读者参考.例1(2012年)如图1,正方形ABCD与正△AEF的顶点A重合,将△AEF绕顶点A旋转,在旋转过程中,当BE=DF时,∠BAE的大小可以是____.解分两种情况讨论:(1)当正三角形△AEF在正方形ABCD的内部时,如图1.因为正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,所以AB=AD,AE=AF.     

“折纸活动”中的三角形、四边形

<正>平面几何中的“直线形”问题（主要是三角形、四边形问题）是中考的必考内容,常以图形的性质及平移、旋转、轴对称三类基本运动为载体,综合运用三角函数、相似三角形、全等三角形、勾股定理等知识,研究图形间的数量关系和位置关系等,往往涉及“手拉手模型”“一线三等角”“半角模型”等.     

平面几何(之8)——平行线

8．平面内的角和空间内的角看上面的图,这是我们很熟悉的一个长方体,它有八个顶点：A、B、C、D、E、F、G、H．在每个顶点处都有三条共顶点的线段,共12条线