对数的一个性质及其运用

对数里有下面这祥一个性质: “若对数式log_ab=c恒成立,一般地有log_(a~n)~(b~n)=c,这里的n∈R,且n≠0”。 [证明] log_ab=c(?)b=a~c■b~n=(a~n)~c 在n≠0时,两边同取以a~n为底的对数, 则有: log_(a~n)~(b~n)=c,n∈R且n≠0 运用上述性质,可解决一些较为复架的对数问题,现举几例如下。 [例1] 已知log_8(x~2+1)~3-log_2xy+log_(2~(1/2))·(y~2+4)/~(1/2)=3 试确定x,y之值 (85年常州初中数学竞赛题) 分析:初中数学竞赛一般不要求换底公式,上述问题即使用换底公式,也颇费周折,若联想到上述性质,则解法较为简捷。     

利用数学归纳法证明不等式的两种技法之比较

<正>利用数学归纳法证明不等式的关键是数学归纳法的第二步,而解决这一步的方法有放缩法与分析法。下面通过一道高考数学题的解答来说明这两种方法的运用。例题等比数列{a_n}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N_+,点(n,Sn)均在函数y=b^x+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图像上。(1)求r的值;(2)当b=2时,记bn=2(log_2a_n+1)(n∈N+),证明:对任意的n∈N_+,不等式     

一道数学题的另解

题目求满足下列条件的最小正整数n:对于n存在正整数k,使得1851,即m>8.所以,n>56.当n=7m p(m∈N ,p∈N,且1≤p≤6)时,有6m 76p0,即m>p.…     

巧用待定系数法构造求解一类递推公式问题

根据递推公式an+1=pan+f(n),n∈N*,p≠0,p≠1,巧用待定系数法,通过构造等比数列的方法,求出其通项公式,利用这种方法,这类问题可轻松得以解决。     

等比数列求和公式的逆用

一、逆用等比数列前n项和的公式 a a_1q a_1q~2 …a_1q~(n-1)=a_1(1-q~n)/(1-q) (q≠1) 例1 求证2~n>2n 1(n∈N,且n≥3).(高中《代数》下册第125页第6(1)题) 证明:2~n=((1-2)~n/1-2) 1 =(1 2 2~2 … 2~n) 1 >(2 2 2 … 2) 1=2n 1. 读者类似可证相同教材第123页例5. 已知x>-1,且x≠0,n∈N,且n≥2, 求证(1 x)~n>1 nx. 二、逆用无穷递缩等比数列各项和的公式     

活用等比数列求和公式证明不等式

等比数列求和公式Sn=a1(11--qqn)(q≠1),其结构优美、和谐.若用此公式证明不等式可简捷求解.既可培养学生思维的灵活性、创造性,又可缩短思维的回路、优化解题过程.下面举例说明.一、直接公式【例1】证明1 21! 31! 41! … n1!<2(n≥2,n∈N )证明:1 21! 31! 41! … n1!<1 12 212     

sin~nx cos~nx=±1成立的条件

命题1 sin~nx cos~x=1 (n≠2,n∈N)成立的充要条件是sin~nx=1或cos~nx=1. 充分性显然.仅证必要性.n=1时,将     

递推数列通项的求解(续)

情形2:bc e≠0.这时,关于问题3的解{a_n),有如下性质:性质1 对任意 n ∈N~*都有 a_n≠b.性质2 若问题3有解,则解是唯一的实数列.事实上,因为递推关系式⑤可化为a_(n 1)(a_n-b)=ca_n e(n ∈N~*).若 a_n=b,则式⑦可化为 a_(n 1)·0=bc e≠0,对任意实数 a_(n 1),此式都不可能成立,故有性质1.其次,由性质1,式⑦可化为     

(pa qb)~n展开式中系数最大的项的探求

(pa qb)~n(p≠0,q≠0,n∈N)的展开式中,究竟哪一项的系数(包括p、q)最大呢?本文通过三个层次加以探求,并给出解决这类问题的方法和结论。     

函数y=ax^2n＋bx^n＋c的性质新探

虽然在中学课本中我们只学习了有限的几种初等函数,但通过它们的复合、四则运算可以构造出许多新的函数.这里笔者将对形如y=ax~(2n)+bx~n+c(其中a≠0,n∈N)的函数的性质进行初步探讨. 显然F(x)=ax~(2n)+bx~n+c(其中a≠0,n∈N)是一类多项式函数,它的定义域为R,是由y=f(u)=au2+bu+c和u=x~(n∈N)复合而成.利用复合函数的单调性法则,即“同调得增,异调得减”,若能画出其图像草图,则其性质就一目了然.     

发挥向量在立几中的工具性作用

引入空间向量解决立体几何中的四大类问题 ,其独到之处 ,在于用向量代数来处理空间问题 ,淡化了旧教材的由“形”到“形”的推理过程 ,使解题变得程序化 ,降低思维难度 ,容易掌握 ,体现了工具性作用 .一、用向量解决平行问题的方法( 1 )设a、b分别是两条不重合的直线a、b的方向向量 ,则a∥b a∥b a =λb(λ∈R且λ≠0 ) .( 2 )设直线l在平面α外 ,a是l的一个方向向量 ,n是α的一个法向量 ,则l∥α a⊥n a·n =0 .设直线l在平面α外 ,a是l的一个方向向量 ,p、q是α内的两个不共线向量 ,则l∥α a =xp+yq(x ,y∈R ,x·y≠ 0 ) .( 3 )设m…     

恰当分类解题例说

分类的通俗说法是按照一定的标准把研究的对象分成几个部分或几种情况。 恰当分类进行解题,可使解题思路清晰,化繁为简,化整为零,使问题易解,现举二例如下: 例1 已知等比数列{a_n}的首项a_1>0,公比q>-1,且q≠0,设数列{b_n}的通项b_n=a_(n 1) a_(n 2)(n∈N),数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别记为A_n、B_n,试比较A_n、B_n的大小。     

2007年高考数学模拟试卷(文理共用)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M=｛(x,y)｜y=k(x-1) 1,x,y∈R｝,集合N=｛(x,y)｜x2 y2-2y=0,x,y∈R｝,那么M∩N中()A.不可能有两个元素B.至多有一个元素C.不可能只有一个元素D.必含无数个元素(文)设集合M=｛x｜x=4m 2,m∈Z｝N=｛y=4n 3,n∈Z｝｜若x0∈M,y0∈N,则x0y0与集合M,N的关系是()A.x0y0∈N B.x0y0#M C.x0y0∈M D.无法确定2.若复数z=(a2-2a) (a2-a-2)i的纯虚数,则()A.a≠2或a≠1B.a≠2且a≠1C.a=0D.a=0或a=2(文)f(11 -xx)=11- xx22,则f(x)的…     

数列问题的几何解法

由等差数列{an}的通项公式an=a1 (n-1)d可得an=nd (a1-d)(n∈N),显然,当d≠0时,an是关于自然数n的一次函数.它的几何意义是以d为斜率,在y轴上的截距为a1-d的一条直线上的点集.点的坐标为(n,an),其中n∈N.     

也谈函数的零点问题及解法

<正>文[1]指出函数零点问题的类型及解决方法,并给有简洁、到位的点评;从问题的具体特征出发,选择恰当的解题策略,使问题解决能更简便、准确.1水尽疑无路笔者根据题型一的解法求解题1(2011年山东卷理16题):已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1),当2相似文献   

一个命题的修正及推广

《数学方法与解题方法论》第 130页有这样一个命题 :形如 aa…aan个bb…bbn个(a≠ 0 ,a,b∈ { 0 ,1,2 ,3,… ,8,9} ,n∈ N* )能够表示成两个连续自然数的乘积的充要条件是 a=1,b=2 .笔者经过仔细的证明 ,发现此命题是错误的 ,应修正为 :形如 aa… aan个bb… bbn个的自然数 (a≠ 0 ,a,b∈ { 0 ,1,2 ,3,… ,8,9} ,n∈N* )能够表示成两个连续自然数的乘积的充要条件是 a=1,b= 2或 a=4 ,b=2或 a=9,b=0 .证明　 (必要性 ) :aa…aan个bb…bbn个(n∈N* )=(1+10 1 +10 2 +… +10 n-1 )× 10 na+(1+10 1 +10 2 +… +10 n-1 ) b=(1+10 1 +10 2 +… +…     

三个比较大小的趣题赏析

问题　试比较以下三对数的大小 :(1) 2 0 0 3 2 0 0 4与 2 0 0 42 0 0 3 ;(2 )log2 0 0 3 2 0 0 4与log2 0 0 42 0 0 5 ;(3 ) 1+ 12 0 0 32 0 0 3 与 1+ 12 0 0 42 0 0 4.赏析 (1)　第一对数的大小比较 ,可以转化为比较nn+1与 (n + 1) n(n∈N ,n≥ 3 )的大小 ,实际上 ,有结论nn+1>(n+ 1) n,其中n∈N ,n≥ 3 .证明有以下方法供参考 .证法 1　凡是与自然数有关的命题 ,都可以考虑用数学归纳法证明 ,该结论也一样 .(i)当n=3时 ,3 4 =81>43 =64成立 ;(ii)假设n =k ,k≥ 3时 ,kk+1>(k + 1) k成立 ,则当n =k+ 1时 ,有(k+ 1) k+2(k + 2 ) k+1=(k +…     

1998年高考压轴题的“源”“解”“变”

(文)(25) 已知数列{b_n}是等差数列,b_1=1,b_1 b_2 … b_(10)=100.(1)求数列{b_n}的通项b_n(Ⅱ)设数列{a_n}的通项a_n=1g(1 (1/b_n),记S_n是数列{a_n}的前n项和.试比较S_n与(1/2)lgb_(n 1)的大小,并证明你的结论。 (理)(25) 已知数列{b_n}是等差数列,b_1=1,b_1 b_2 … b_(10)=145.(Ⅰ)求数列{b_n}的通项b_n;(Ⅱ)设数列{a_n}的通项a_n=log_n(1 (1/b_n),(其中a>0,a≠1),记S_N是数列{a_n}的前n项和,试比较S_n与1/2log_nb_(n 1)的大小,并证明你的结论, 探源 此二题源于1985年高考上海试题:对于大于1的自然数n,证明     

拆项在数列中的应用

形如an=f(n)×qn(其中f(n)是关于n的多项式)的数列可用错位相减法求和,但f(n)的次数较高时用错位相减法比较麻烦.下面就来探讨拆项在相关数列问题中的应用. 一、拆项在数列求和中的应用 1.可行性分析 如果能找到一个数列{bn},使得an =bn+1-bn,那么数列{an}的前n项和Sn=a1 +a2+…+an=(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn+1-b1)一般地,当an=bn+k-bn或an=bn-bn+k(其中n∈N+,k∈N+,且k为常数)时,都可快速求和.     

基础·典型·变式

对数恒等式a~(log_aN)=N(a>0,a≠1,N>0)是对数运算中的一个重要公式,学生在学习和运用这个公式时往往只会形式上套用,而没有掌握公式的要领和实质。对(-2)~(log)(-2)~5也错误地认为等于5,题目稍加变化,如49~(log_73)3,(3~(1/2))~(log_34),就不知从何下手,对2~(log_2(3 1)),log_25·log_54,更感到茫然无所措。要想解决好这些问题,教学实践告诉我们,应当抓住打好基础,选好典型,运用