运用数学变换 寻求简捷解题途径

运用数学变换寻求简捷解题途径李成章（新疆石油教育学院８３４０００）大家知道，变换是数学中最基本又最重要的概念，从初等数学到高等数学，变换无所不在．本文通过具体实例谈谈运用数学变换，去寻求简捷解题的途径．例１求函数ｆ（ａ，ｂ）＝（ａ－ｂ）２＋２－ａ２－...     

用诡辩辨明数学道理

数学里有一些学生容易出差错的地方需要特别注意,尽管老师反复强调,学生还是印象不深。对此,设计一些诡辩题,将错误隐含其中,让学生自己去讨论,找出原因,纠正错误,有利于学生明白道理,加深记忆。下面是两道题可用做初一、初二的诡辩题。１如果ａ＝ｂ,那么２＝１。证明:因为ａ＝ｂ,两边都乘以ａ得ａ２＝ａｂ,两边同时减去ｂ２得ａ２-ｂ２＝ａｂ-ｂ２,两边分解因式得（ａ ｂ）·（ａ-ｂ）＝ｂ（ａ-ｂ）,两边同时除以ａ-ｂ得ａ ｂ＝ｂ,又ａ＝ｂ,所以２ｂ＝ｂ,两边同除以ｂ得２＝１。２如果ａ≠ｂ,那么ａ＝ｂ。证明:因为ａ≠ｂ,又ａ２-２ａ…     

上好高中复数复习de“会诊”课

在高中复数复习期间，如何有效地巩固基础知识，避免学生解题出错呢？笔者认为，适时地对“错误解法”进行剖析，“会诊”找出错误根源，制定改错方法，提出防错措施，归纳总结解题经验与教训，是加深学生对概念的认识和理解，提高解题能力的有效措施。以下就此举例予以说明。 例１．已知ａ、ｂ∈Ｒ，不等式－２＋ａ－（ｂ－ａ）ｉ＞－５－ｂ＋（ａ＋２ｂ－６）ｉ成立的条件是＿＿。 错解原不等式化为３＋ａ＋ｂ－（３ｂ－６）ｉ＞０ 则 原不等式成立的条件是：ａ＞－５且ｂ＝２ 剖析：学生虽然知道“虚数不能比较大小”，但还是很难弄清此…     

巧教立方和与立方差公式

（ａ ｂ）（ａ２-ａｂ ｂ２）＝ａ３ ｂ３,（ａ -ｂ）（ａ２ ａｂ ｂ２）＝ａ３-ｂ３,学生对这两个公式 ,感到困难的地方有两处 :一是符号 ,即学生常把立方和公式写成（ａ ｂ）（ａ２ ａｂ ｂ２）＝ａ３ ｂ３,把立方差公式写成（ａ -ｂ）（ａ２-ａｂ ｂ２）＝ａ３ -ｂ３;二是公式中的±ａｂ容易与完全平方公式中的±２ａｂ相混淆。为了使学生突破这两个难点 ,教师可采取下面的办法教学 ,定能收到较好的效果。第一 ,加强公式的推导过程教学。教这两个公式时 ,可以先要求学生计算（ａ ｂ）（ａ２ -ａｂ ｂ２）及（ａ-ｂ）（ａ２ …     

因式分解的应用

恒等变形在数学解题中几乎处处碰到．利用因式分解是进行恒等变形的一种很重要的数学方法。它的应用极为广泛，这里就同学们已学过的知识内容谈几点应用．一、数值计算例１若ａ＝－２，ｂ＝０．２，求代数式［（ａ２＋２ａｂ－８ｂ２）÷（ａ－２ｂ）－（６ａ２＋ａｂ－ｂ２）÷（２ａ＋ｂ）］÷　的值．解原式＝［（ａ＋４ｂ）（ａ－２ｂ）÷（ａ－２ｂ）－（３ａ－ｂ）（２ａ＋ｂ）÷（２ａ十ｂ）］·２ａ＝［（ａ＋４ｂ）－（３ａ－ｂ）］·２ａ－（－２ａ＋５ｂ）·２ａ∵ａ＝－２，ｂ＝０．２，∴原式＝［－２×（－２）＋５×０．２］…     

一道条件不等式的证法综述

引导学生开展“一题多解，一题多证”的训练和探究，必将有助于激发学生学习数学的兴趣和热情，启迪他们的创新思维，培养数学综合能力，进而提高他们的数学素质． 本文以一道脍炙人口的条件不等式赛题为例，从九个方面研究其证明的策略和技巧． 题（前苏联奥尔德荣尼基市第三届数学竞赛题）设 ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，且 ａ＋ｂ＋ｃ＝１，求证；ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥１／３１ 代入法 证１ 注意恒等式 ３（ａ２十ｂ２十ｃ２）＝（ａ＋ｂ＋ｃ）２＋（ａ－ｂ）２十（ｂ ｃ）’＋（ｃ ａ）’将已知ａ＋ｂ＋ｃ二ｌ代人得 ３（ａ’＋ｂ‘＋ｃ’）二１：…     

挖掘ａ＋ｂ＋ｃ＝０的一个不等关系解题

在数学解题中；经常碰到已知条件为ａ＋ｂ＋ｃ＝０，求取值范围、最值等问题，这时若把此条件转化为不等关系ｂ＾２≥４ａｃ（因ｂ＾２－４ａｃ＝［—（ａ十ｃ）］＾２—４ａｃ＝（ａ—ｃ）’≥０）去解题，往往能收到事半功倍之效，下面举例说明．     

从完全平方公式变形引起的联想

“学无止境,教无定法”,数学的教与学也是如此.数学中错综复杂的公式,繁重的计算量,常常使学生无所适从,既花费了大量的时间,又得不到正确答案.如何化繁为简,找到解题的捷径,这就是解题的技巧问题.我在长期教学实践中不断地探索研究,及时地总结经验,认为初中代数中某些公式如能通过变形,加以灵活巧用,将会使一类数学问题的解题思路清晰明朗,解题过程简洁凑效.下面仅以完全平方公式为例,阐明之.(ａ ｂ)2=ａ2 2ａｂ ｂ2,(ａ-ｂ)2=ａ2-2ａｂ ｂ2.这是初中一年级代数课本中两个重要的公式,通常是直接运用于解题.如果将两公式叠加,将得到一个新的…     

解题应重视数学符号暗示的信息

Ｇ·波利亚指出：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠可以接近它的方向去攻击堡垒．”数学符号是数学抽象思维的产物，是数学思维活动的物质载体，暗示着解题思路．因而，重视数学符号暗示信息的捕捉，有助于数学问题的解决，有利于解题能力的提高．现结合实例谈谈自己的实践与体会．１　数字规律暗示的信息数字符号是数学元素符号的常元，它所暗示的规律，常是未知转向已知的催化剂，打开思路的金钥匙．例１　ａ、ｂ、ｃ是三个连续自然数，且ａ２＝１７６８９，ｃ２＝１８２２５，则ｂ２等于（　　）（Ａ）１７９９１，（Ｂ）１８０２２…     

例谈初中数学竞赛题的常用解题策略

数学竞赛题难度大 ,要解答竞赛题 ,学生不但要掌握数学基础知识、基本技能和基本思想方法 ,而且还需掌握一些常用的解题策略 ,这对提高学生解数学题的能力、培养学生良好的数学素养是大有裨益的 .1　特殊值法———用满足题设条件的特殊值代入来求得正确的答案例 1　若ａ ｂ ｃ=0 ,则ａ3 ａ2 ｃ-ａｂｃ ｂ2 ｃ ｂ3的值是 (　　 )(Ａ) - 1　　 (Ｂ) 0　　 (Ｃ) 1　　 (Ｄ) 2(第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二二试试题 )分析　设ａ =0 ,ｂ=0 ,ｃ =0代入ａ3 ａ2 ｃ-ａｂｃ ｂ2 ｃ ｂ3=0 ,故选 (Ｂ) .例 2　若 14 (ｂ-ｃ) 2 =(ａ-ｂ) (ｃ-…     

关于《因式分解》的对话

学生什么叫做因式分解？它与因数分解有什么联系和区别？教师因式分解是对多项式而言的．把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，或叫做把这个多项式分解因式．例如把ａ～２－ｂ～２变形为（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ），即ａ～２－ｂ～２＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）就是把多项式ａ～２－ｂ～２因式分解；又如把多项式ａ～２＋２ａｂ＋ｂ～２变形为（ａ＋ｂ）～２，即a～２＋２aｂ＋ｂ～２＝（ａ＋ｂ）～２就是把多项式ａ～２＋２aｂ＋ｂ～２因式分解．由此可知，多项式的因式分解的过程是由和到积的过程，结果是几个整式的积…     

发散性思维培养一例

题目 :设ａ、ｂ、ｃ都是整数 ,且ａ ｂ ｃ是偶数 ,则ａ ｂ -ｃ ,ｃ ａ -ｂ ,ｂ ｃ -ａ也都是偶数吗 ?(《希望丛书《数学课外活动辅导》初一分册Ｐ2 )。笔者在教学中发现本题可从多角度思考 ,沿着不同的思维方向展开 ,可以得出多种不同解法 ,有利于培养学生的发散性思维能力。本题是在介绍了奇数与偶数的一引进基本性质基础上给出的 ,学生容易想到用这些基本性质解题(思维的起点 ) ,但究竟怎样解呢 ?怎样充分利用这些性质来达到解题的目的呢 ?笔者启发学生 ,求解问题的过程 ,就是不断地进行分析与综合 ,通过逻辑思维和非逻辑思维的各种方…     

反思教学中的一题多解

解题教学是数学教学的一个重要组成部分 ,特别是一题多解教学深受数学教师的重视 ,经常被用来培养学生的发散性思维 .然而本人从自身的教学实践及参加的教研活动中发现 ,并不是所有的一解多解教学都能起到培养学生的发散性思维的目的 .下面试举几例进行说明 .第一 ,所选择例题及其解法不恰当 ,则达不到培养学生发散性思维的目的 .例 1　已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,那么ａ ｂ≥ 2ａｂ ,当且仅当ａ =ｂ时等式成立 .证法 1 :∵已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,∴ａ ｂ -2ａｂ =(ａ -ｂ) 2 ≥ 0 ,当且仅当ａ =ｂ ,即ａ =ｂ时 ,(ａ-ｂ) 2 =0 .∴原命题成立 .证法 2 :∵…     

一道课本习题的引伸与一道名题的妙证

一道课本习题的引伸与一道名题的妙证张贝斌（甘肃省金昌市一中７３７１００）题设ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,求证：ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ＋ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）≤３＋３９．（１）这是加拿大一家中等数学杂志１９８７年刊出的一道习题．原...     

一道竞赛题的几种解法

题目分解因式：（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ－２ａｂ）＋（ａｂ－１）（ａｂ＋ｌ）．（１９９４年武汉市初二数学竞赛试题）解法１──整体法视ａ＋ｂ、ａｂ各为一个整体，将多项式进行整理，得原式＝（ａ＋ｂ）２－２ａｂ（ａ＋ｂ）＋（ａｂ）２－１＝［（ａ＋ｂ）－ａｂ］２－１＝（ａ＋ｂ－ａｂ＋１）（ａ＋ｂ－ａｂ－１）＝（ａｂ－ａ－ｂ－１）（ａｂ－ａ－ｂ＋１）．解法２──主元法视ａ为主元，将多项式进行整理，得原式＝（ｂ２－２ｂ＋１）ａ２－２ｂ（ｂ—１）ａ＋ｂ２－１＝［（ｂ—１）ａ］２－２ｂ（ｂ—１）ａ十ｂ２－１＝［（ｂ－１…     

用数学知识解决物理问题例谈

在解决较复杂的物理问题时,数学方法是一种行之有效的解题手段。如果在教学过程中注意分析研究一下数学知识解决物理问题的思路方法,不但对学生的解题技巧和能力的培养能起到重要的作用,而且对学生思维能力的发展和智力的开发也会有很大的帮助。下面举例说明中学物理问题解题过程中数学方法的应用：　　一、利用不等式的性质求解　　不等式有这样的性质：当ｘ１＋ｘ２≥２ｘ１ｘ２,则有（１）当ｘ１＋ｘ２＝ａ（ａ为定值）,ｘ１＝ｘ２＝ａ２时有极大值,ｙ极大＝（ａ２）２;（２）当ｘ１ｘ２＝ｂ（ｂ为定值）,ｙ＝ｘ１＋ｘ２,当ｘ１…     

对偶数a＋b,a—b的构造与应用

数的性质是从运算中表现出来的．由于对立或者统一的缘故，使一些成对的数在某种运算中相遇后，表现出许多奇异的性质来，我们把具有这样性质的数对称为对偶数．比如：ａ＋ｂ与ａ－ｂ就是一对典型的对偶数．本文试图对构造对偶数（式）解题作肤浅的探讨．先看下面的例子：例１　求证（ａ＋ｂ）２≤２（ａ２＋ｂ２）．证明　（ａ＋ｂ）２≤（ａ＋ｂ）２＋（ａ－ｂ）２＝２（ａ２＋ｂ２）．这里构造了（ａ－ｂ）２，思路顺畅，方法简单．例２　求（ｘ＋２）２ｎ＋１展开式中ｘ的整数次幂项系数之和．解　构造对偶数（２－ｘ）２ｎ＋１，由二项…     

关于一道三元分式不等式链

一类三元分式不等式证明的数学问题 ,屡见于数学竞赛和多种数学杂志征解题中 ,绚丽多姿 .其证明方法虽有多种 ,但颇具难度 .传统证法往往因题而异 ,孤立施证 ,因而难以看出诸不等式之间的内在联系 ,“只见树木 ,不见森林” .本文提出一道三元分式不等式链 :定理　设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,并记Ｐ=ａ2ｂ ｃ ｂ2ｃ ａ ｃ2ａ ｂ,Ｍ=ｂ2ｂ ｃ ｃ2ｃ ａ ａ2ａ ｂ,Ｎ=ｃ2ｂ ｃ ａ2ｃ ａ ｂ2ａ ｂ,Ｌ=ａｂｂ ｃ ｂｃｃ ａ ｃａａ ｂ,Ｒ =ｃａｂ ｃ ａｂｃ ａ ｂｃａ ｂ,Ｑ =ｂｃｂ ｃ ｃａｃ ａ ａｂａ ｂ,则Ｐ≥Ｍ =Ｎ ≥ 12 ∑ａ≥ＬＲ1…     

重视解题过程中的方法性训练

奥加涅相在《中小学数学教学法》一书中强调指出 :“中学教学首要也是最主要的职责是强调解题过程中的方法性训练 .”那么数学教学中特别是解题教学中 ,如何有意识地对学生进行系统地数学思想方法的训练呢 ?笔者试以一题为例谈谈解题过程中的方法性训练 .题目　已知实数ａ、ｂ、ｃ满足ａ >0 ,ｂ >ａ ｃ,求证 :方程ａｘ2 ｂｘ ｃ =0有两个相异实数根 .1　重视转化思想 ,训练化归方法转化思想贯穿于整个数学教学中 ,它要求对某一数学问题加以转化 ,化陌生为熟悉、化复杂为简单、化抽象为具体 ,实现转化的基本手段就是化归问题的结论是要证…     

数学解题的方法与策略

在数学教学中 ,通过富有启发性的问题进行教学 ,或是通过解决各种类型的问题进行教学 ,对培养和提高学生的能力与素质是大有裨益的 .而及时总结解题经验 ,掌握一些常用的解题方法 ,对学生可起到启迪与引导的作用 .下面举例说明数学解题的常用方法与策略 ,与同行交流 .1　基本量方法例 1　若正数ａ、ｂ满足ａｂ =ａ ｂ 3,求ａｂ的取值范围 .( 1999年高考题 )分析　视ａｂ为基本量 ,寻求ａｂ所满足的数量关系 .由ａ ｂ≥ 2ａｂ ,得　ａｂ≥ 3 2ａｂ ,即(ａｂ) 2 - 2ａｂ - 2≥ 0 ,解得ａｂ≥ 3,故ａｂ≥ 9.2　类比法例 2　已知关于ｘ的实…