妙用基本图形 促进思维生长——以“相似三角形复习课”教学为例

<正>一、学情分析中考复习阶段，学生已学习了三角形、四边形、圆、二次函数的知识，但还需要善于总结一些从解题中得到的基本图形，表现为一种能有效解决某类型问题的技巧，这也是对教材知识的延伸与拓展.本节课以相似三角形为例，运用变式教学开展对相似三角形基本图形的研究，既有教材中相似三角形的基本图形，也有在经验中积累的相似三角形的基本图形.通过复习典型问题提升学生解决综合问题的能力，适合中等及以上学习水平的学生.     

换位思考巧解几何问题

一、全等问题相似化 全等问题相似化指的就是：学了相似三角形知识后，巧妙地用相似三角形知识解决全等问题，这样将会有一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。     

相似三角形的基本类型

对三角形的“相似”，许多同学可谓望而生畏，针对同学们的困惑，笔者认为：只要熟悉相似三角形的基本类型，对其进行分析、归纳和总结，很多题目是“相似”的，现在介绍相似三角形的4种基本类型，供同学们参考。     

相似三角形的基本图形及其运用

相似三角形是初中几何中的核心模块,是中考中的重要考点,也是考查学生分析问题和解决问题的综合能力的重要载体．相似三角形中有一些基本图形,如果能掌握这些基本图形,并把它们从复杂的图形中挖掘出来,构成几何问题中的核心结构,问题的解决也就水到渠成．首先我们来扫描一下相似三角形的基本图形．     

（26）相似三角形的判定与性质

本讲内容在全国各省市的中考命题中，着重考查相似三角形的判定和性质在解决几何问题和实际生产生活中的问题的应用．能熟练运用相似三角形的判定方法和性质解决几何证明问题和有关计算问题仍是复习重点．预测在2004年中考当中将侧重考查相似三角形的性质在解决实际问题中的应用，以及相似三角形的判定定理在几何证明题中的应用，约占2～8分。     

相似形中多解问题探究

在近年的中考中出现了众多的三角形相似的多解问题：这类题目常常是r由于给出的一个三角形顶点的位置不确定,及与另一个三角形顶点对应关系存在不惟一性造成的．解决此类问题除了应联想所掌握相似三角形的一些基本图形（如平行线、相交型、母子相似形）等外,还要注意运用分类讨论思想、数形结合思想作指导．下面摘取数例加以剖析,以飨读者。     

这两个三角形是否能相似？

如果三角形的顶点是动点，那么在研究两个三角形是否能相似时，先要把问题转化为线段之间的关系来研究．以下例1是基本类型，列2、例3是近年来的新发展．     

相似三角形的多解问题探析

在探索三角形相似时,常常遇到两个三角形的对应顶点位置或对应边(角)的位置不确定等问题.解决这类问题,除掌握相似三角形的一些基本图形外,还需要用分类讨论和数形结合方法解题.现举几例供大家参考.     

用分类讨论法解和三角形相关的函数问题

近年来的中考试题中，经常出现函数和三角形相结合的综合题，以考查学生的能力，今就和特殊三角形、相似三角形相关的函数问题的常见类型，着重分析用分类讨论思想给出其解题思路。     

与三角形有关的分类讨论问题

与三角形有关的分类讨论问题，主要有以下四种类型：一是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；二是由于三角形的形状不确定而进行的分类；三是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；四是由于相似（或全等）三角形对应角（或边）不确定而进行的分类．我们在解题中应仔细分析题意，挖掘题目的题设、结论中出现的不同情况，然后采用分类思想加以解决，在解题中才不会出现漏解的情况．下面我们就以上四种类型例析如下．     

慧眼识“相似”

<正>相似三角形中的"基本图形",反应了一对相似三角形的基本"框架结构",如图(1)～图(5).我们若能够将此类基本"框架结构"牢记于心,当遇到较为复杂的数学问题时,就可以从看似纷乱的图形中,找出所隐含的相似三角形,从而顺利地将问题解决.     

相似三角形在生活中的应用

相似三角形是研究图形性质的基础，利用相似三角形的知识解决测量问题，是各地中考的热点．现以2006年中考试题为例，说明相似三角形在生活中的应用．     

解相似形问题的三个小技巧

相似形的主要考点有比例的基本性质、平行线分线段成比例定理及其推论（推论尤为重要）、相似三角形的判定和性质以及位似图形．黄金分割和相似多边形的命题有时也会出现．但相似三角形的判定和性质的应用是常见考点,也是难点．在解决相似三角形问题时,     

证线段成比例的技巧

相似形的主要考点是比例的基本性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的判定和性质的应用．在解决相似三角形问题时,适时利用一些小技巧可以收到事半功倍的效果．     

与三角形有关的问题类型及解法

近几年来，以三角形为依托的三角函数问题已逐渐成为高考的热点．因此，必须掌握它的几种基本类型及解法．下面举例说明．     

构造相似三角形,解决测量问题

数学是教人聪明的学问，学数学最重要的是体会数学中蕴含的思想方法，并有意识地在生活中应用这些方法解决身边的问题．在现实生活中，由于条件和环境的不同，有些测量可以直接实现，有些测量是无法直接实现的，如大树的高度、古塔的高度等．当我们遇到无法直接实现的测量时，就需要用所学的数学知识进行间接测量．构造相似三角形，运用相似三角形对应边成比例的知识可以解决实际生活中的某些测量问题．     

相似三角形中的K型图解读

相似三角形是初中几何中的核心模块,是中考中的重要考点,也是考查学生分析问题和解决问题的综合能力的重要载体。相似三角形中有一些基本图形,如果能掌握这些基本图形,并把它们从复杂的图形中挖掘出来,构成几何问题中的核心结构,问题的解决也就水到渠成。     

直线形问题解法一瞥

解决直线形问题，要方法活，方法新，有独到之处．全等三角形是有关直线形问题中的一个重点，而全等三角形是进一步证明相等线段或相等角的一种重要途径．当通过全等三角形来证明两线段(或两个角)相等时，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线．常见辅助线有：①连结两个已知点；②经过已知     

“灵活代换”巧证共线线段成比例

在证线段成比例的几何题中，有些题目待证的成比例的四条线段在同一条直线上，直接证明这种共线线段成比例，往往很困难，这就需要我们寻找一些等量进行灵活代换，巧妙转化，最终要把四条线段转化成两个三角形的对应边，进而通过证明两个三角形相似使问题得到解决．下面介绍其中几种常见的代换方法．     

几何竞赛题中添加辅助线的几种常见思路分析

数学竞赛中的几何问题涉及的类型比较广泛，但归纳起来，主要是以特殊图形的判定、性质、全等、相似为基本方法，以几何变换为重要手段的问题，其中约占试题分值一半的几何题需添加辅助线才能解决．主要考查的范围是平行线、三角形、四边形、圆以及它们的综合图形．三角形中边的不等关系、角度的计算和内心、外心、重心的有关性质，图形的面积以及等积变换，与圆有关的命题等是考查的重点．