“多面体欧拉公式的发现”的教学实践及意义

1研究性课题和方案设计 "多面体欧拉公式的发现"是高中<数学>(试验修订本·必修)第二册(下)的研究性课题.其问题的设计可谓是别出心裁:它提示了知识的背景,让学生从欧拉的废纸篓中寻找研究的痕迹,让学生去体验面对一个新问题时,应如何去探索和研究;它创设了问题的情境,给学生一些简单、直观、具体的模型,使学生身临其境,真正成为研究主体;它教给了学生"观察-归纳-猜想-证明"的研究方法.在教学过程中,笔者分三步进行:首先,让学生认真自学,合理猜想并提出问题,每人写一份学习心得和体会;其次,小组合作,将全班55人分成11个小组,每组5人,其中选出1人为组长,同组之间彼此交流观点、讨论并提出小组问题,共同研究并由组长整理成小组论文;再次,师生共探,针对每组得到的结论和提出的问题,采取讨论式教学方法,师生共同研究解决.     

研究性课题：多面体欧拉公式的发现

一、介绍欧拉,引入课题著名数学家欧拉(Euler,1707-1783),瑞士人.在数学家贝努利(Bernoulli)的赏识下开始学习数学,16岁就获硕士学位,后来毕生从事数学研究,是数学历史上最“高产”的数学家之     

多面体欧拉公式的发现(课题研究教学设计)

一、教学内容高中数学第二册(下A)§9.9多面体欧拉公式的发现二、研究课题教育部“十五”规划重点课题《学生学习潜能开发研究》的子课题《自主互动学习,开发数学思维潜能》.三、教学设计思路《多面体欧拉公式的发现》是一个研究性课题,目的在于通过学生主动参与的发现式学习活动,培养学生通过观察发现规律并证明所得猜想的能力.思维是人脑对客观事物的本质和事物内在的规律性关系的概括和间接的反映.潜能指人的潜在能力,是尚未被开发利用的能力、没有实际化、外显化的能力.思维是潜能开发的核心,培养和开发思维潜能主要目的就是发现学生思…     

多面体欧拉公式的应用

对于一个简单多面体 ,若它的顶点数为Ｖ ,面数为Ｆ ,棱数为Ｅ ,则有Ｖ +Ｆ-Ｅ =2 .这是著名的多面体欧拉公式 .教材对多面体欧拉公式 ,采用了“研究性课题”的学习方式 ,旨在体现对数学公式的发现过程 ,培养学生探究数学问题的学习习惯 .本文进一步谈谈多面体欧拉公式的应用 .例 1　一简单多面体的棱数为 3 0 ,面数为1 2 ,则它的各面多边形的内角总和为 (　　 )(Ａ) 540 0°　　　　 (Ｂ) 6480°(Ｃ) 72 0 0° (Ｄ) 792 0°解　由欧拉公式得　　Ｖ =Ｅ-Ｆ+2=3 0 -1 2 +2 =2 0 ,∴它的各面多边形的内角总和为(Ｖ -2 ) × 3 60°=6480°.故选…     

有关多面体欧拉公式的应用

过去我们研究的几何问题主要涉及到长度、距离、面积、体积、全等等度量问题,而多面体欧拉公式与度量无关.欧拉公式V+F-E=2反映了简单多面体的元素(顶点、面和棱)     

有关多面体欧拉公式的应用

过去我们研究的几何问题主要涉及到长度、距离、面积、体积、全等等度量问题,而多面体欧拉公式与度量无关。欧拉公式V F-E=2反映了简单多面体的元素(顶点、面和棱)之间的数量关系,它在研究简单多面体时是很有用的工具。大家都知道正多面体只有5种:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。为什么呢?就     

《多面体欧拉定理的发现》教学设计

一、教材分析1．教学内容《多面体欧拉定理的发现》为人教社高中《数学》第二册第九章的内容，是高中新课程的新增内容。引导学生动手，让学生通过实际操作体会到多面体的面数、顶点及棱数之间的关系，培养学生体会“归纳——猜想——证明”的数学活动过程，提高学生的观察、操作、推理、交流合作的能力。2．教学重点与难点重点：引导学生利用课件及网络资源进行观察、试验，发现规律，充分让学生动手操作、自主探索、合作交流。难点：从观察中发现规律，并能用自己的语言表达。二、教学目标1．认知目标：经历猜测、试验、分析试验结果、检…     

简单多面体的欧拉公式的一个推广

全日制普通高级中学教科书（必修）第二册（下）增加了研究性课题：多面体欧拉定理的发现,给出了简单多面体的顶点数V、面数F和棱数E之间存在规律：V＋F-E=2．它叫做欧拉公式．     

多面体欧拉公式与"足球烯"

欧拉公式Ｖ +Ｆ -Ｅ =2 ,反映了简单多面体的元素 (顶点数Ｖ、面数Ｆ和棱数Ｅ)之间的数量关系 ,它在研究简单多面体时是很有用的工具。大家都知道利用欧拉公式可以证明正多面体只有五种 :正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。现来看欧拉公式在研究化学分子结构中的应用。1 996年的诺贝尔化学奖授予对发现Ｃ6 0 有重大贡献的三位科学家。如图所示 ,Ｃ6 0 是由 60个Ｃ原子构Ｃ6 0 的结构成的分子 ,它的结构为简单多面体形状。这个多面体有 60个顶点 ,以每一个顶点为一端点都有三条棱 ,面的形状只有五边形和六边形 ,你能计…     

“欧拉——笛卡儿公式”的发现与证明

本课的教学按照“类化——实验——归纳——推理”的途径设计而来。即由平面上的凸多边形的普遍特性类比到空间的凸多面体的普遍特性,自然引入。通过三个实验逐步归纳得出一般结论,最后给出证明一般结论的一个思路。 凸多边形有两个普遍特性 ①边的数目等于角的数目 ②凸n边形的内角和等于(n-2)π 既然平面上的凸多边形具有这样的特性,那么空间凸多面体是否也有类似的结果?     

多面体欧拉公式的历史和方法论——纪念欧拉诞生300周年

多面体欧拉公式的历史源远流长,最早猜测到多面体欧拉公式的是笛卡儿,但他没有证明.后来,欧拉又重新发现了这个公式,并第一次证明这个公式,所以把这个公式称为多面体欧拉公式.后来又有许多数学家重新证明或简化证明.现在,一般的数学书上用的都是德国数学施陶特的证明.笛卡儿和欧拉发现这个公式,用的是归纳法和类比法.数学哲学家拉卡托斯用这个公式来论证他的数学发现的逻辑.     

“多面体欧拉定理的应用”研究性学习设计

背景材料2001年10月7日,中国国家男子足球队在五里河体育场以1:0战胜阿曼队,提前两轮出线晋级世界杯决赛阶段,实现了国人40年的梦想,一时间,足球成了最热门的话题之一,更是广大     

欧拉公式的可视化论证及教学导议

介绍了欧拉公式的两种可视化论证方法,并提出了相关的教学建议.     

在分层中递进在类比中探究--"多面体欧拉公式的发现"的教学实录与体会

1　创设问题情景师:(教师手捧足球)同学们都喜欢踢足球,大家是否知道,足球是由多少块正六边形的皮构成的吗?(学生七嘴八舌,议论纷纷,却无定论)师:通过本节的研究,大家就可以找到答案了.体会1　数学新课程标准指出,有意义的数学学习必须建立在学生的主观愿望和知识经验基础上,创设真实的问题情景,可以诱发学生进行探索.2　知识回顾多面体的概念以及构成多面体的基本元素:顶点、棱、面.3　引入新知介绍简单多面体的概念.(多媒体演示:简单多面体拓扑变形为“球”)4　探究发现欧拉公式(1)首先出示课本第5 6页图9—82的简单多面体,让学生根据图形…     

用类比法发现多面体的面角和与欧拉定理—兼谈欧拉定理的证明及应用

多边形是平面内的直线形,多面体是空间中的“平面体”,它们可能有一些性质相类似.多边形(凸多边形)有内角和定理,多面体(凸多面体)是否会有类似的性质呢? 一、多边形内角和的回顾 1.n边形有n个内角,每个内角都小于π.     

凸多面体欧拉定理的证明

文章给出凸多面体欧拉定理的四种证法。     

复指数函数的定义及欧拉公式的教学探讨

在《复变函数和积分变换》课程中,教材直接给出复指数函数的定义式,进而引入欧拉公式,没有介绍复指数函数定义的来源.文章从实数域指数函数的性质出发,讨论构造复指数函数应满足的条件,从而给出复指数函数的定义表达式.同时,讨论欧拉公式的可视化图像,以便于学生理解和掌握.     

奇妙的欧拉公式

欧拉（1707.4—1783.9）,瑞士数学家及自然科学家,18世纪数学界最杰出人物之一,为数学界做出了重大贡献．在许多数学分支中,以他的名字命名的常数、公式和定理数不胜数．本文所说的欧拉公式是指e^iw＋1=0．之所以说它奇妙,是因为它的组成元素非常特殊,其中的1是正整数的基本单位,0是唯一的中性数,i是虚数的基本单位,