三割线定理

定理 如图，PA、PC为⊙O的任意割线，AD与BC交于点Q，PQ交⊙O于点E、F，则1/PE＋1/PF=1/PQ.     

“三割线定理”的再研究

2005年9月,侯明辉在《中学数学教学参考》初数新探栏目内,给出新结论:命题1 如图,PAB、PCD 为⊙O的任意割线,AD 与 BC 交于点 Q,PQ 分别交⊙O于点 E、F,     

数学问题与解答

806．如图1，已知PA切⊙O于A，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，求证：HC-HB/BC为定值。     

数学奥林匹克问题

本期问题 初187 如图1，过⊙O外一点P引该圆的两条割线PAB和PCD分别交⊙D于点A、B、C、D，弦AD和BC交于点G，过点G作割线PEF交⊙O于点E、F，交弦BD于点Q．求证：     

数学奥林匹克问题

本期问题图1初167如图1,过⊙O外一点P引⊙O的两条割线PAB、PCD,分别交⊙O于点A、B、C、D,弦AD、BC相交于点Q,割线PEF经过点Q交⊙O于点E、F,过点D作DM∥PF交⊙O于点M.求证:MB平分EF.(吕建恒陕西省兴平市教研室,713100)初168如图2,在等腰Rt△ABC中,D1为直角边AC上任意一点,D1G⊥B     

数学奥林匹克问题

本期问题 初229 如图1,从⊙0外一点P作⊙O的两条切线,A、B为切点,再过P作⊙O的一条割线,交⊙O于点C、D(PC相似文献   

“三割线定理”的再研究

2005年9月,侯明辉在《中学数学教学参考》“初数新探”栏目内,给出新结论： 命题1如图,PAB、PCD为·O的任意割线,AD与BC交于点Q,PQ分别交·O于点E、F,则1/PE＋1/PF=2/PQ.     

天津市’98中考数学第29题的多种证法

题目:已知⊙O的半径为R,过⊙O外一点P作割线PAB不过点O。求证:PA·PB=OP~2-R~2。 本题选自课本练习题,主要考查圆幂定理的部分证明。证法较多,下面给出常见的几种。 证法一:用割线定理证明。 如图1,作割线PCD,且过圆心O。     

一道竞赛题的证法探究

2014年全国高中数学联赛陕西预赛第三题： 如图1,⊙O。与⊙O2相交于P、Q两点,且⊙O2经过圆心O1,A是⊙O1。的优弧PQ上任一点,AP、AQ的延长线与⊙O2分别交于点B、C。求证：O1为△ABC的垂心。     

2005年IMO中国国家集训队选拔考试

第一天 一、设⊙ O的内接凸四边形ABCD的两条对角线AC、BD的交点为P,过P、B两点的⊙O1与过P、A两点的⊙O2相交于两点P、Q,且⊙O1、⊙O2分别与⊙O相交于另一点E、F.求证:直线PQ、CE、DF共点或者互相平行.     

赛题研究

题目如图1,⊙O1、⊙O2在⊙O内滚动且始终保持与⊙O内切,切点分别为P、Q,MN是⊙O1和⊙O2的外公切线．已知⊙O1、⊙O2、⊙O的半径分别为r1、r2、R．求证：MN2/PQ2为定值．     

数学问题与解答 2006年第10期问题解答

686．如图4，P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条割线分别交⊙O于A、B和C、D，AD与BC相交于Q2过A、C作⊙O的切线相交于R,求证：P、Q、R三点共线．     

擂台题(22)及部分据本巧设题的评注

擂题(22) (赵振华提供,刊于1996年第5期) 如图PE、PF和PMN分别是⊙O的切线与割线,EF交MN于点H,⊙O的直径AB垂直于MN。HA、HB分别为⊙O_1、⊙O_2的直径。PE、PF分别交于⊙O_1、⊙O_2于点D、C。证明或否定:A、B、C、D四点共圆。     

数学问题与解答 2009年第8期问题解答

771．如图1，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B，弦CD//AB，割线PCE交⊙O于E，求证：DE平分AB．     

数学竞赛专栏

有奖解题擂台(22)河南师范大学附中赵振华(邮编:453002)如图,PE、PF和PMN分别是⊙O的切线和割线,EF交MN于点H,⊙O的直径AB垂直于MN,⊙O_1、⊙O_2的直径分别为HA、HB。PE、PF分别交⊙O_1、⊙O_2于点D、C。证明或否定:A、B、C、D四点共圆。     

化简待证式 证题思路清

近年来 ,各地的中考试题中出现了一类证明圆中a2 ± b2 =cd型的试题 ,不少学生感到困难 ,苦于无从下手 ,只能望题兴叹 .为了找到证题思路 ,笔者认为采用分析法较好 .即化简待证式 ,明确证明目标 .其步骤是 :首先根据题设并结合图形找出待证式中某一项的等量 ,然后将等量代入待证式中化简 ,最后从化简的等积式中找出证题的突破口 .现举几例说明如下 :例 1　 (2 0 0 0年内蒙古区中考题 )已知 :如图 1,P为⊙ O外一点 ,PQ切⊙ O于 Q,PAB、PCD是⊙ O的割线 ,且∠ PAC =∠ BAD,求证 :PQ2 - PA2 =AC . AD.分析 :由切割线定理 ,知 PQ2 =…     

一道数学奥林匹克试题的拓广

2010年第六届北方数学奥林匹克第二题:如图1,已知PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,过P点的割线与⊙O交于C、D两点,过点C作PA的平行线,分别交弦AB、AD于点E、F,求证:CE=EF.笔者通过探究,发现将该题中的⊙O换成圆锥曲线,其他条件不变,结论仍然成立.     

两圆相切的一个重要性质

本文介绍两个半径不相等的圆当它们内切或外切时的一个重要性质及其应用 .命题 1　设半径分别为 R,r(R>r)的两个圆内切于 T点 ,自大圆上任意一点 P向小圆作切线 (P与 T不重合 ) ,切点为 Q.那么PT=PQ RR- r.命题 2　设半径分别为 R,r(R>r)的两圆外切于点 T,自大圆上任意一点 P向小圆作切线 (P与 T不重合 ) ,切点为 Q.那么PT=PQ RR+r.1　命题 1的证明设半径分别为 R,r的两圆⊙O,⊙O1 内切于点 T,过大圆⊙O上任意一点 P作小圆⊙ O1 的切线 ,其切点为 Q(P≠ T) .连结 PT交⊙ O1 于 A点 ,再连结 O1 A和 OP.在△ O1 AT与△ OP…     

圆幂定理及其应用

在初中《几何》第二册中,介绍了相交弦定理、切割线定理及其推论,其实这些定理可以统一成一个定理.如图1,P是⊙o内一点,Q是⊙O外一点,AB、KH是过P点的弦,MN是过P点的直径,QK是切线,KH⊥MN;QAB是割线,设⊙O的半径为R,由相交弦定     

一个容易忽视的比值

如图，已知PT切⊙O于T，PAB是⊙O的割线，连AT、BT，于是就形成了切割线定理的基本图形．