应用几何变换解题

新颁布的《数学课程标准》中加强了几何图形的平移变换、轴对称变换和旋转变换的内容.初中阶段要求通过教与学探索这些几何变换的基本性质和图形之间的变换关系,并能按要求作出平面图形变换后的图形,利用几何变换解几何题,体现了用运动的观点来研究几何问题,它使条件与结论的联系更加明显,使辅助线的添加更自然,同时也使解题更简捷,思路更开阔,以达到出奇制胜、化难为易的目的.下面分别介绍三种常用的几何变换及应用,供参考. 一、平移变换平移变换就是把某个图形上的各点按照同     

利用位似旋转变换证明几何题

位似旋转变换:设O为平面上一定点,k为常数(k>0),θ为有向角,对于任意一点p,射线OP绕O旋转角θ,P映射到P',在OP'射线上存在一点P",有(?)=k(?),把由点P到点P"的变换叫作以O为位似旋转     

考查学生独立获取知识的能力

要变教会学生知识为教会学生学习 .学生独立获取知识的能力就是会学习的一种重要表现 .近年来 ,在部分省市的中考试卷中出现了具有这方面导向作用的试题 ,现举两例 ,仅供参考 .例 1　如图 1,在平面上 ,给定了半径为r的⊙O ,对于任意点P ,在射线OP上取一点P′ ,使得OP·OP′ =r2 ,这种把点P变为点P′的变换叫做反演变换 ,点P与点P′叫做互为反演点 .图 1图 2( 1)如图 2 ,⊙O内外各一点A和B ,它们的反演点分别为A′和B′ .求证 :∠A′ =∠B .( 2 )如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形 ,那么 ,这两个图形叫做互…     

利用压缩变换解决竞赛与自主招生中的椭圆问题

椭圆是到2个定点F1，F2的距离之和等于定值2a（2a〉｜F1F2｜）的点的轨迹，是到定点与定直线（定点不在定直线上）的距离之比等于常数e（0〈e〈1）的点的轨迹，是到2个定点的斜率之积为常数K（K〈0，K≠-1）的点的轨迹。而在压缩变换视角下，椭圆是压扁了的圆，利用这个角度，有时可以快捷地解题并看到问题的本质。定义压缩变换τ：平面x′O′γ′上的所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的n/m倍（m〉0，n〉0，m≠，n），得到平面xOγ。显然在压缩变换τ下，平面x′O′γ′上的圆C′：x′^2＋γ′^2=m^2就压缩为平面xOγ上的椭圆x^2/m^2＋γ^2/n^2=1,于是我们可以利用圆的几何性质和压缩变换的性质来研究椭圆，通常研究3类问题。     

关系映射反演法证明Roth定理

介绍了关系映射反演方法和Fourier变换的基本内容,论述了关系映射反演法,一致性和密度增长论在Roth定理证明中的应用。     

反演、配极与园锥曲线

园锥曲线可以由各种不同的途径得到,利用配极生成是其中的一种。配极又可以有不同的方式。这里介绍的是从一种平面变换——反演来导出配极,进而得到园锥曲线及其一些主要性质.本文主要采用解析法来实现上述目的.     

旋转变换的基本性质和应用

旋转变换是一种几何变换,是合同变换的基本形式之一。旋转变换的定义是:如果在平面上的一个变换,使得某一点o不动(定点),任何其它点x变换成x’,并且(1)ox’=ox;(2)角xox’=θ,(θ为已知角,且从射线oox’的方向和已知角方向相同)这种变换叫做绕中心o,按已知方向旋转θ的旋转变换,点o称为旋转中心,θ称为旋转角。根据其定义有如下性质:性质1:两点间的距离在旋转后保持不变;性质2:角度是旋转中的不变量(即两直线的交角在变换后不变);性质3:一个图形与它在旋转后的图形是合     

竞赛常用知识手册

1.4 几何变换 1.4.1 合同变换 在平面到其自身的映射下,对于任意两点A、B及其像A＇、B＇,总有AB=A＇B＇,这个映射叫做合同变换。     

点与圆锥曲线位置关系的简单运用

解题时,若能很好地利用点与圆锥曲线的位置关系,可使一些问题化繁为简,化难为易,有时还会收到出奇制胜的功效。1.点与圆锥曲线位置关系的性质圆锥曲线将平面分成两部分或三部分,其中含焦点的平面区域称为圆锥曲线的内部,不含焦点的平面区域称为圆锥曲线的外部。令圆锥曲线C的方程为(fx,y)=0,点p0的坐标为(x0,y0)。性质1点p0在曲线C的内部的充要条件是(fx0,y0)<0。性质2点p0在曲线C上的充要条件是(fx0,y0)=0。性质3点p0在曲线C的外部的充要条件是(fx0,y0)>0。以上三个性质的证明都比较容易,在此略。2.解一类直线和圆锥曲线的位置关系问题例…     

平面几何教学中几何变换的探究

<正>根据素质教育的全面性要求,要想正确客观地认识平面几何,必须贯彻平面几何的变换思想,帮助学生更深刻地掌握平面几何知识.一、几何变换定义性质教学相对于立体几何而言,平面几何是二维平面问题,着重研究几何图形在二维平面中的变换问题.常见的平面几何变换包括平移变换、翻折变换和旋转变换,是对集合变换中的映射和变换的具体表现.平面几何变换的定义十分明确.在初中数学中主要考查学生对几何变换的性质掌握和使用能力.初中数学平面几何问题多数属     

位似变换及其应用

(本讲适合初中) 设O为平面α上一定点,H为α到自身的一一变换。如果对于α上任意异于点O的点A,在OA所在直线上有点A′,满足OA′:OA′=k≠0,则称H为平面α上的位似变换,记为H(O,k)。其中点O为位似中心,k为位似系数或位似比,A与A′在点O的同侧时,k>0,此时O为外分点,此种变换称为正位似(或顺位似):A与A′在点O的两侧时,k<0,此时O为内分点,此种变换为反位似(或逆位似);在k=±1时是恒等变换和中心对称变换,A点集及其象A′点集称为位似变换下的位似形。     

反演变换求解二维调和方程的Dirichlet外问题

在研究静电场的电位函数、平稳状态下的波动现象和扩散过程时都会遇到调和方程。反演变换又称逆矢径变换,是一种很有效的数学方法。文章首先给出反演变换的定义及性质,然后推导了平面区域上二维调和函数的积分公式,最后利用反演变换将调和方程的Dirichlet外问题化为内问题,得到了二维调和方程圆域外Dirichlet问题的解。     

巧用三点共线的等价条件解题

<正>想要知道三点共线的等价条件有何妙用,那就看看下面的解读吧!由平面向量基本定理与共线向量定理可以推得:平面上三点共线的等价条件,即已知A、B是直线l上任意两点,O是直线l外任意一点。若对于平面上任意一点C满足:OC(向量)=mOA(向量)+nOB(向量)(其中m,n是唯一被确定的,这里的唯一性在解题中一定要引起足够的重视,它是我们建立方程求值的一     

关于“关系映射反演”及其应用

本文作者长期从事中学数学教材教法的教学与研究。一直认真思考和探索现代数学对中学数学教学及研究的指导作用，“关系映射反演”及其应用正是作者试图用现代数学的知识去分析和处理中学数学教材的一个尝试。一、关系映射反演法关系（R）映射（M）反演（I）缩写成RMI。RMI法在现代数学中占有一定的位置。特别是近年来我国数学家徐利治先生将它推向框图化阶段，使RMI的思想方法达到更加优美完善的境地。全国高等师范院校“中学数学教材教法”教材及中学教师继续教育大纲中都有RMI法的介绍。关系映射反演法是分析处理数学问题的一种较…     

反演变换——记一堂《几何画板》活动课

本学期 ,我校开设了《几何画板》选修课 .在一堂课上 ,我在教完平移变换、旋转变换、反射变换后总结道 :“平移变换不要标记元素、旋转变换要先标记一个点、反射变换要先标记一条线……”“那什么变换要先标记一个圆呢 ?”一句不知从哪里冒出来的话立刻引起了全班同学的兴趣 ,也引起了我的思考 .带着这个问题 ,课后我查阅了有关资料 ,在学生充满好奇的目光中 ,开始了新的一课 .1　教学实录我先给出反演变换、反演点的概念 :如图1 ,在平面上 ,给定了半径为 r的⊙ O,对于任意点 P,在射线 OP上取一点 P′,使得 OP·OP′=r2 ,这种把点 P变换…     

几何变换策略及其在几何证题中的应用

在平面上,将图形从一处“搬到”另一处的操作称为几何变换,变换的基本形式有平移、对称、旋转,它们的共同特点是变换前后保持距离不变,保持角度不变,保持面积不变,保持点的共线性不变,保持线的共点性不变,总之经过上述三种变换得出与自身全等的图形。     

双曲运动群的单参数子群及其轨道

本文通过研究双曲平面H~2上运动群的单参数子群及其分类,单参数子群的轨道曲线的几何性质,得到如下主要结果:定理1 双曲平面H~2上运动群G的单参数子群就是H~2上的旋转群,或平移群,或平行位移群;反之亦然.定理2 在双曲平面H~2上,运动群G的单参数子群的每个轨道或是一个点,或是一条常(测地)曲率曲线.其逆亦真.     

轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换

变换是极为重要的数学思维方法,利用几何变换解题在数学竞赛中经常用到,本讲介始几何变换中的基本变换:轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换。 一、轴对称变换 把一个图形F沿着一直线l折过来,如果它能够与另一个图形F′重合,我们就说图形F和F′关于这条直线l对称。 两个图形中的对应点叫做关于这条直线l的对称点,这条直线l叫做对称轴,如右图。 轴对称图形有以下两条性质:     

用几何变换巧解题

几何变换是初中数学的重要思想和方法.本文仅从以下几个方面探索几何变换在解题中的妙用,供同学们参考.一、平移变换把一个图形上的各点按同一方向移动同一距离的变换,称为平移变换.变换目的是把某些相对分散的条件集中起来,以寻找突破口,找到解决问题的途径.     

椭圆的最大内接和最小外切多边形的几个性质

已知椭圆的方程为x~2/a~2 y~2/b~2=1,求它的内接三角形面积的最大值及它的外切平行四边形面积的最小值的问题在有些数学书刊上常引为例题或习题。这里再介绍关于内接于椭圆的最大面积的多边形和外切于椭圆的最小面积的多边形的一些性质和结论。首先,简单地重述一下压缩变换的概念以及压缩变换关于面积的性质。设P(x,y)是平面内一点,若变换f把点P变为平面内一点P'(x',y'),其中