高考数学模拟试卷〔二）

三角函数的积化和差公式：ｓｉｎαｃｏｓβ＝１／２［ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（α－β）］；ｃｏｓαｓｉｎβ＝１／２［ｓｉｎ（α＋β）－ｓｉｎ（α－β）］；ｃｏｓαｃｏｓβ＝１／２［ｃｏｓ（α＋β）＋ｃｏｓ（α－β）］；ｓｉｎαｓｉｎβ＝－１／２［ｃｏｓ（α＋β）－ｃｏｓ（α－β）］     

浅谈平面向量的应用

向量知识已经进入中学数学教材 ,由于向量融数、形于一体 ,因而成为中学数学知识的一个交汇点 .向量作为一种工具 ,为解决中学数学问题提供了新的思路 ,进一步拓宽了思维渠道 .下面举例说明平面向量在中学数学中的应用 .一、在三角函数中的应用在传统的三角教材中推导两角差的余弦公式时 ,过程比较复杂 ,而利用向量的数量积证明就简明得多 .例 1　证明公式ｃｏｓ(α-β) =ｃｏｓαｃｏｓβ+ｓｉｎαｓｉｎβ .分析　观察等式右边的结构 ,可以联想到平面向量的数量积 ,这就启发我们构造两个单位向量 ,它们的夹角为α-β,这样ｃｏｓ(α-β)就…     

关于新编高中代数第一册第五章公式的证明和推导

“两角和与差的三角函数”一章的公式较多。关于这些公式的证明和推导,新编课本首先证明了两角和的余弦公式 cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβ。在证明这个公式的过程中,运用了直角坐标系、单位圆,并作出任意角α、β、-β(图1),这样就可得到各角的始边、终边与圆O的交点P_1、P_2、P_3、P_4的坐标:     

两角和差余弦公式的推导及其教学

两角和与差的余弦公式(Cα±β)是推导和、差、倍、半角三角函数公式及积化和差、和差化积等公式的基础,这一内容是整个三角函数教学的重点.这个公式的推导对学生来说是有一定难度的,教学中必须设法引导学生分析、思考、解决问题.在公式推导中,一是要用到把角α的三角函数表示α的终边与单位圆的交点坐标,这一概念看似简单,其实它是三角函数定义的逆用,学生不易发觉.因此在导出公式Cα±β之前要先复习.二是为什么要构造α,β,α β,-β角?课本中-β的引入似乎有点突然.从建构主义观点看,学习应是学生的一种能动建构过程,因此我尝试先引出…     

高考数学模拟试卷（一）

参考公式　三角函数和差化积公式　　ｓｉｎθ＋ｓｉｎψ＝２ｓｉｎ　θ＋ψ／２　ｃｏｓ　θ－ψ／２；　ｓｉｎθ－ｓｉｎψ＝２ｓｉｎ　θ＋ψ／２　ｓｉｎ　θ－ψ／２；　ｃｏｓθ＋ｃｏｓψ＝２ｃｏｓ　θ＋ψ／２　ｃｏｓ　θ－ψ／２；ｃｏｓθ－ｃｏｓψ＝－２ｓｉｎθ＋ψ／２　ｓｉｎ　θ－ψ／２．台体的侧面积公式　Ｓ＝１／２（Ｃ＋Ｃ＇）ｌ，其中Ｃ，Ｃ＇分别表示上、下底面周长，ｌ表示斜高或母线长台体的体积公式　Ｖ台体＝１／３（Ｓ＇＋√ＳＳ＇＋Ｓ）ｈ其中Ｓ＇，Ｓ分别表示上，下底面积，ｈ表示高。     

构造直角三角形解题例说

在处理某些数学问题时,根据题目的结构特征构造出直角三角形,利用直角三角形的性质,常可使问题巧妙获解．本文仅根据解题实践中的积累,粗略地对此进行归纳试探,以做引玉之砖．１　利用锐角三角函数定义构造直角三角形例１　已知α、β、γ均为锐角,β＜γ,ｔｇα＝ｓｉｎβ·ｓｉｎγｃｏｓβ－ｃｏｓγ,求证：ｔｇβ＝ｓｉｎα·ｓｉｎγｃｏｓα＋ｃｏｓγ．图１证明　根据题设构造Ｒｔ△ＡＢＣ,使ＡＣ＝ｃｏｓβ－ｃｏｓγ,ＢＣ＝ｓｉｎβ·ｓｉｎγ,∠Ａ＝α,如图１．∴ＡＢ＝ＡＣ２＋ＢＣ２＝１－ｃｏｓβ·ｃｏｓγ．∵ｃ…     

一道课本习题的引伸

一道课本习题的引伸施开明（江苏响水县中学２２４６００）高中立几课本１１７页有一道习题：如图１，ＡＢ和平面α所成的角是θ１，ＡＣ在平面α内，ＡＣ和ＡＢ的射影ΑΒ成角θ２，设∠ＢＡＣ＝θ．求证：ｃｏｓθ１ｃｏｓθ２＝ｃｏｓθ．（１）笔者在教学中，引导学...     

用张角公式证等差数列问题

由三角形面积关系推导出的张角公式,在证明三线段倒数成等差数列中有着很广泛的应用．现举数例说明如下,供高中师生教学参考．图１１张角公式如图１,设直线ＡＣＢ外一视点Ｐ对于线段ＡＣ、ＣＢ的张角分别为α、β,且α＋β＜１８０°,则有ｓｉｎ（α＋β）ＰＣ＝ｓｉ...     

三角求值应注意对“角”的挖掘

已知某些条件求三角函数的值或对应角是三角习题中常见题型 .这类习题难度不大 ,但学生在处理此类习题时常出现漏解、增解现象 .究其原因 ,是对题设中隐含着的角的范围挖掘不够所致 .本文结合具体例子谈谈这类习题中应注意挖掘的几个方面 .1.注意轴线角的挖掘轴线角是指角的终边落在坐标轴 (ｘ轴或ｙ轴 )上的角 ,这些角的三角函数值为特殊值或不存在 .解题时应注意挖掘 .例 1　已知ｓｉｎα =2ｓｉｎβ ,ｔｇα =3ｔｇβ,求ｃｏｓα .误解 :∵ｃｏｓα =ｓｉｎαｔｇα=2ｓｉｎβ3ｔｇβ=23 ｃｏｓβ ,∴ｃｏｓβ =32 ｃｏｓα .又ｓｉｎβ …     

解题分析——我对一道三角题的学习

在１３院校编的《中学数学教材教法》Ｐ．１２９有这样一道习题：例１已知ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＝ｐ,①ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＝ｑ．②求ｓｉｎ（α＋β）和ｃｏｓ（α＋β）．１９３５年日本出版的《题解中心———三角法辞典》第７６７题（见文［２］Ｐ．１１２）曾在相同的...     

推导公式C_(α β)的途径新探

现行高中教材《代数上册(必修)》P_(204)《两角和与差的余弦》一课,在学生学过任意的三角函数的基础上,进一步研究用单角的正、余弦函数表示两角和与差的余弦函数.教材采用解析法并借助单位圆导出公式 cos(α β)=cosαcoβ-sinαsinβ(简记为 C_α β)).但在公式推导过程中作出角-β不易被学生接受,而作出角β显得自然且同样可以推证公式,是学生探索的必然途径.因此,笔者认为对学生依此途径探索的引导应列入教学内容,     

正弦比例定理在解竞赛题中的应用

如图 1所示的图形在平面几何中比比皆是 ,十分常见 ,在△ＡＢＰ和△ＡＣＰ中 ,利用三角形面积公式 ,可得下述十分简单而有用的结论 .图 1正弦比例定理　点Ｐ为△ＡＢＣ的边ＢＣ所在直线上异于Ｂ、Ｃ的任意点 ,记∠ＢＡＰ =α ,∠ＣＡＰ= β ,则ｓｉｎαｓｉｎβ =ＢＰＰＣ ·ＣＡＡＢ(※ )证明　由三角形的面积公式 ,有Ｓ△ＡＢＰＳ△ＡＰＣ=ＢＰＰＣ =12 ＡＢ·ＡＰｓｉｎα12 ＡＣ·ＡＰｓｉｎβ于是 ,有ｓｉｎαｓｉｎβ=ＢＰＰＣ· ＣＡＡＢ显然 ,当点Ｐ在线段ＢＣ的延长线 (或反向延长线 )上 ,定理结论 (※ )同样成立 ,当ＡＰ为△ＡＢ…     

一个应用广泛的不等式

设ｘ、ｙ、ｚ是任意实数,Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π,则ｘ２＋ｙ２＋ｚ２≥２ｘｙｃｏｓＣ＋２ｙｚｃｏｓＡ＋２ｚｘｃｏｓＢ．（＊）证　注意到Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π,将不等式（＊）移项、配方、整理,该不等式等价于（ｘ－ｙｃｏｓＣ－ｚｃｏｓＢ）２＋（ｙｓｉｎＣ－ｚｓｉｎＢ）２≥０．上面不等式显然成立,故不等式（＊）成立．不等式（＊）揭示了任意三个实数ｘ、ｙ、ｚ与满足条件Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π的三个角Ａ、Ｂ、Ｃ的余弦值之间的一个重要关系．在解题中灵活地运用这个不等式,可使有些证明难度较大的不等式获得简洁、巧妙的证明．例１　在△ＡＢＣ…     

正余弦定理及应用

新编教材严格按照《新大纲》进行精简、更新。高中“三角函数” ,“两角和与差的三角函数” ,“反三角函数和简单三角方程”合并为“三角函数”一章 ,课时压缩为 36节。减少了许多公式的记忆 ,繁琐的变形 ,偏难的怪题。而“平面向量”一章中保留了正弦定理 ,余弦定理和解斜三角形应用举例。原有一些常规题如求ｓｉｎ2 1 0° ｃｏｓ2 4 0° ｓｉｎ1 0°ｃｏｓ4 0°的值 ,求证ｓｉｎ2 β ｓｉｎ2 (α β) -2ｃｏｓαｓｉｎβｓｉｎ(α β) =ｓｉｎ2 α就较难解决。现根据新教材内容 ,运用正弦定理 ,余弦定理以及诱导公式 ,可以得到正余弦…     

例谈三角解题的切入点

三角变换的方法与技巧很多 ,归纳起来有十多种 ,但面对具体问题时 ,不少同学就不知选择哪一种 .为此本文介绍如何寻找切入口 ,以便快速解题 .一、从角切入三角变换离不开角 ,仔细分析条件与结论之间、等式的左边和右边之间的角的差异 ,这时解题可从消除角的差异切入 .例 1　 ( 2 0 0 2年全国高考题 )已知ｓｉｎ2 2α+ｓｉｎ 2αｃｏｓα-ｃｏｓ 2α =1 ,α∈ 0 ,π2 .求ｓｉｎα、ｔａｎα的值 .分析　本题待求角是α ,故可先用倍角公式 ,接下来用因式分解法 ,就可求出ｓｉｎα=12 ,再求ｔａｎα即可 .解　由倍角公式 ,得4ｓｉｎ2 αｃｏｓ2…     

三角恒等变换的策略

三角公式很多 ,变幻莫测 ,在解题中如何把握好变换的方向 ,有目的地进行三角恒等变换是学好三角的关键 .本文介绍三角恒等变换的一些策略 .策略 1　变换角三角变换中经常要化复角为单角 ,化未知角为已知角 .因此 ,看准角与角的关系 ,十分重要 .哪些角消失了 ,哪些角变化了 ,结论中是哪个角 ,条件中有没有这些角 ,在审题中必须认真观察和分析 .例 1　化简ｓｉｎ( 2α-β)ｓｉｎα -2ｃｏｓ(α-β) .分析　条件中有 3个角 ,2α-β ,α ,α -β .这三个角有关系吗 ?能否减少角的个数 ?这都是必须思考的问题 .原式可变形为ｓｉｎ[α+ (α -β) ]…     

联想、猜想与证明培养学生思维的广阔性

在数学教学中 ,启发引导学生、深入观察大胆猜想和联想 ,不仅可以培养学生灵活应用数学知识 ,开拓解题思路 ,提高解题能力 ,而且可以培养和发展学生的思维能力 ,还有利于促进和发展学生发明创造能力的形成。1　巧用倍角公式ｓｉｎ2α=2ｓｉｍαｃｏｓα例 1 :求　ｃｏｓ2π7ｃｏｓ4π7ｃｏｓ6π7的值解 :ｃｏｓ2π7ｃｏｓ4π7ｃｏｓ6π7=2ｓｉｎ2π7ｃｏｓ2π7ｃｏｓ4π7ｃｏｓ6π72ｓｉｎ2π7ｓｉｎ4π7ｃｏｓ4π7ｃｏｓ6π72ｓｉｎ2π7=ｓｉｎ8π7ｃｏｓ6π72 2 ｓｉｎ2π7=ｓｉｎ(π+π7)ｃｏｓ(π- π7)2 2 ｓｉｎ2π7=(-ｓｉｎ π7) (-…     

巧用直线与圆的位置关系解题

直线与圆的位置关系有三种情形,若用圆心到直线的距离ｄ和半径ｒ间的大小关系来判断,则有ｄ＜ｒ直线与圆相交;ｄ＝ｒ直线与圆相切;ｄ＞ｒ直线与圆相离．解题中我们如果能够抓住题目的结构特征,通过化归,创设直线与圆的位置关系的解题意境,常常能为某些数学问题的解决开辟一条新的途径．下面通过实例加以阐述．１　求值例１　已知α、β∈０,π２且ｃｏｓα＋ｃｏｓβ－ｃｏｓ（α＋β）＝３２,求α、β．解　ｃｏｓα＋ｃｏｓβ－ｃｏｓ（α＋β）＝３２展开整理,得ｓｉｎαｓｉｎβ＋（１－ｃｏｓα）ｃｏｓβ＋ｃｏｓα－…     

三角形内外角平分线定理的推广与应用

三角形内外角平分线定理的推广与应用江苏省姜堰市兴太中学花俊川定理１如图１,若Ｄ点是△ＡＢＣ的边ＢＣ的内分点,∠ＢＡＤ＝α,∠ＣＡＤ＝β,则ＢＤＣＤ＝ＡＢ·ｓｉｎαＡＣ·ｓｉｎβ．略证：ＢＤＣＤ＝Ｓ△ＡＢＤＳ△ＡＣＤ＝１２ＡＢ·ＡＤ·ｓｉｎα１２ＡＣ·...     

α可以推广到任意角──对《猜想和证明》一文的补充

α可以推广到任意角──对《猜想和证明》一文的补充湖北易明松看了贵刊１０期董汉章、张蒙鑫二同志所著《ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎａ）＝π－α的猜想和证明》后，觉得α推广到任意角。现论述中ｋ为整数）下面证明此公式；（作者单位：武汉市第三职业高中）α可以推广到任意...