一道不等式的推广及证明

高中代数有这样一道不等式:题 求证 2~(1/2) 7~(1/7)<3~(1/3) 6~(1/6).对此不等式我们注意到高中代数有这样一道不等式:题 求证2~(1/2) 7~(1/7)<3~(1/3) 6~(1/6).对此不等式我们注意到2 7=3 6,7-6=3-2.所以,我们拟将不等式推广为:题 对任意正实数m,有:(x-m)~(1/(x-m)) (x n)~(1/(x n))<(x-m 1)~(1/(x-m 1)) (x n-1)~(1/(x n-1))(x>m,n>1-m).证明 构造如图Rt△ABC和     

运用二项式定理证明不等式

二项式定理以结构的对称性给人以美的享受,这种美感更体现在它的广泛应用上。运用二项式定理证明一些不等式,结构简明,思路清晰,可达事半功倍之效。 例1 已知数列|a_n|,|b_n|,分别是等差数列和等比数列,且a_1=b_1,a_2=b_2,a_1≠a_2;a_n>0(n∈N~ ),求证:当n≥3时,a_nN时a_n<0,矛盾。故d>0。 n≥3,b_n=b_1q~(n-1)=a_(a_2/a_1)~(n-1) =a_1((a_1) a_1)~(n-1)=a_1(1 d/(a_1))~(n-1) =a_1[1 C_(n-1)~1d/(a_1) C_(n-1)~2 … C_(n-1)~(n-1)(d/(a_1))~(n-1)]     

批阅本届上海市高考数学试题第八题所想到的

今年上海市高等学校统一招生考试理科类数学试题第八题是: “对于一切大于1的自然数n,证明:(1+1/3)(1+1/5)…(1+1/(2n-1))>(2n+1~(1/2))/2。     

一道数学选择题的解法及评析

'95高考第12题:等差数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n与T_n,若S_n/Tn=2n/(3n 1),则(?)a_n/b_n等于(A)1(B)(6~(1/2))/3(C)2/3(D)4/9.应该说这是一道考察基础且具有一定灵活性的好题.就解法看,(i)从熟悉的关系a_n=S_n-S_(n-1)着眼,由题设可转化为S_n=kn·2n.T_n=kn·(3n 1)(k∈R且k≠0)得a_n=2k(2n-1).b_n=2k(3n-1)∴(?)2k(2n-1)/2k(3n-1)=(?)(2n-1)/(3n-1)=2/3.(ii)从灵活利用公     

这两道题值得商榷

一本杂志上刊登过如下一道题目: 题一:设,f(x)=(x~2-4)~(1/2)(x≤-2).(1)求f~(-1)(x);(2)设a_1=1,a_n=f~(-1)(a_(n-1))(n≥2,n∈N),求a_n;(3)求sum from i=1 to n 1/(a_1+a_i+1)的值该题作为函数与数列的综合题在教学中广为流传,通常简解如下解:(1)函数,f(x)=(x~2-4)~(1/2)(定义域为x≤—2,值域为y≥0)的反函数为f~(-1)(x)=-(x~2+4)~(1/2)(定义域为x≥0,值域为y≤-2) (2)∵a_1=1,a_n=f~(-1)(a_(n-1))由迭代法得:a_n=-(a_(n-1)~2+4)~(1/2)=-(a_(n-2)~2+2×4)~(1/2)=…=-(a_1~2+(n-1)4)~(1/2)=-(4n-3)~(1/2)(亦可由a_n~2=a_(n-1)~2+4,n=2,3,…n,累加而得) (3) 注意到 a_n~2-a_(n-1)~2=4,     

两道IMO题的拓广

,作者华强.本文介绍了两个对证明和推广对称不等式有用的命题,把第28届 IMO 的一道预选题“证明;若 a,b,c 为三角形的边长,a b c=2s.那么 a~n/(b c) b~N/(c a) c~n/(a b)≥(2/3)~(u-1)s~(n-1)(n≥1)”推广到一般形式,并给出一个处理对称形不等式较为通用的方法.     

一道不等式题的微分证法

在不少的数学刊物中刊登了对求证:n~(n 1)>(n 1)~n(3≤n∈N)这道不等式题的证明,而多数采用的是数学归纳法或二项式定理给予证明的。其实用微分中的导数的性质来证明此题也较为简单。思考:要证明n~(n 1)>(n 1)~n成立,变形为n~(1/n)>(n 1)~(1/(n 1)),由此可以看出只要证明函数f(x)=x~(1/x)(x≥3)为减函数,此题就迎刃而解了。证明:设 f(x)=x~(1/x)(x≥3) 则 f′(x)=(x~(1/x))′=(e~(1/xlnx))′ =e~(1/xlnx)·(1-lnx)/x~2。     

一类分式不等式的推广及应用

文[1]将一个无理不等式推广为:定理1 设正整数 n≥3,a_i∈R~ (i=1,2,…,n),实数 k≥(n-1)/n,则有∑(a_1/(a_2 a_3… a_n))~k≥n/(n-1)~k,当且仅当 a_1=a_2=…=a_n 时取等号.(∑表示对 a_1,a_2,…,a_n 的循环和)文[2]给出如下两个定理:定理2 若 a_i>0(i=1,2,…,n),s=,则(其中m≥1,n≥2,n∈N,p≥0,A>a_i~p).(1)     

一道全国竞赛题的多种解法

1988年全国高中数学联赛第一试最后一题:已知a、b为正实数,且1/a 1/b=1,试证对每一个n∈N, (a b)~n-a~n-b~n≥2~(2n)-2~(n 1)(*) 这个不等式从形式上看较难证明,经过研究,笔者发现它有许多证法,择其简单的四种介绍如下: 证一应用二项式定理,得(a b)~n-a~n-b~n=C_n~1a~(n-1)b C_n~2a~(n-2)b~2 … C _n~(n-1)ab~(n-1) (1)根据组合数性质C_n~k=C_n~(n-k),由(1)得(a b)~n-a~n-b~n=C_n~1ab~(n-1) C_n~2a~2b~(n-2) 十… C_n~(n-1)a~(n-1)b (2)(1) (2)后两边除以2得     

一类不等式的妙证

本文介绍一类不等式的证明方法。这种证法简洁,有章可循。下面举例说明: [例1] 证明不等式 1/2·3/4…(2n-1)/2n<1/((2n+1)~(1/2))。证明:令S_n=1/((2n+1)~(1/2))则 S_(n-1)=1/((2n+1)~(1/2)) ∵ S_n/S_(n-1)=((2n-1)~(1/2))/((2n+1)~(1/2))=(2n-1)/((4n~2-1)~(1/2))>(2n-1)/2n。(n≥2) 而S_1=1/(3~(1/2))>1/2。故:1/2·3/4…(2n-1)/(2n)相似文献   

介绍一个不等式

高中代数下册(必修)第12页的练习中有这样一个不等式: x/y y/x≥2(x、y∈R~ )。 在某些资料中有另一个不等式: x/(y z) y/(z x) z/(x y)≥3/2(x、y、z∈R~ )。 一般地,对于n个正数,我们有: 定理:设x_1,x_2,…,x_n均为正数,且x_1 x_2 … x_n=A,则 x_1/A-x_1 x~2/A-x_2 … x_n/A-x_n≥n/n-1(n∈N,且n≥     

2006年高考(江西卷)理科压轴题探源

2006年高考(江西卷)理科数学第22题:巳知数列{a_n}满足:a_1=3/2,且 a_n=(3na_(n-1))/(2a_(n-1) n-1)(n≥2,n∈N~*).(1)求数列{a_n}的通项公式;(2)证明:对一切正整数 n,不等式     

剖析错解 拓展思维

f(x)=(ax-a-x)/2,若a>1,n∈N*且n≥2,试比较f(n)与nf(1)的大小,并证明你的结论.(2006年江苏省高三调研试题)1剖析错误释疑解惑生1解法:f(n)-nf(1)=1/2(an-a-n na-1-na)=1/(2a~n)(a2n-nan 1 nan-1-1).视n为主变元,令F(n)=a2n-nan 1 nan-1-1,则F′(n)=2na2n-1-n(n 1)an n(n-1)an-2,F″(n)=2n(2n-1)a2n-2-n2(n 1)an-1 n(n-1)(n-2)an-3=nan-3[2(2n-1)an 1-n(n 1)a2 (n-1)(n-2)].令g(n)=2(2n-1)an 1-n(n 1)a2 (n-1)(n-2),g′(n)=2(2n-1)(n 1)an-2n(n 1)a=2(n 1)a[(2n-1)an-1-n]>2(n 1)a[(2n-1)-n]>0,g(n)为单调增函数,且g(2)>0,所以F″(n)>0,知…     

从一道高考题的错解谈逻辑划分的应用

91年高考数学理科25题:“已知n为自然数,实数α>1,解关于x的不等式log_αx-4log_(α~2)x 12log_(α~3)x … n(-2)~(n-1)·log_(α~n)x>1-(-2)~n/3 log_α(x~2-α)”是一道考查对数、数列、解不等式等多种基本知识的综合题.此题难度并不高,但阅卷发现错误却不少.概括地说,一是基础知识不够扎实,基本技能不够熟练,如不会应用对数换底公式、等比数列求和出错,未考虑对数函数的定义域解不等式失误等等;     

一组含参分式不等式及其应用

命题1:若 x>a>0,,n>1(n∈N),则有x~n/(x-a)≥(n~n·a~(n-1))/(n-1)~(n-1),当且仅当 x=(na)/(n-1)时,等号成立.命题2:若 x>a~(1/m)(a>0),n>m>1(n,m∈N),则有 x~n/(x~m-a)≥1/m·(((n~n·a~(n-m))/(n-m)~(n-m))~(1/m),当且仅当 x=((na)/(n-m))~(1/m)时,等号成立.可以把命题1看作命题2的特例,所以只需证明命题2成立.证明:由题设知,     

由1/n~2<1/(n-1)-1/n偶得

在学习数列与极限中,有些同学常感到求(?)[1/n~2+1/(n+1)~2+…+1/(n+n)~2],证明1+1/2!+1/3!+1/4!+…+1/n!<2之类的问题无从下手。处理这类问题,用不等式1/n~2<1/(n-1)-1/n     

远看方知出处高——一道数列模考题讲评课教学设计

<正>1题目已知数列{a_n}是各项均不为零的等差数列,S_n为其前n项和,且S_(2n-1)=a_n~2(n∈N*).若不等式1/(a_1a_2)+1/(a_2a_3)+…+1/(a_na_(n+1))≤nlog1/8λ对任意n∈N*恒成立,则实数λ的最大值是.本题是2018年南昌市一次高考模拟考试中第16题填空压轴题,在做题和思考中,我发现此     

例析高考数列通项公式的常用求法

例1已知数列{a_n}中，a_1=1，对任意自然数n都有a_n=a_(n-1)+1/(n(n+1))，求a_n．解：由已知得a_n-a_(n-1)=1/(n(n+1))，a_(n-1)-a_(n-2)=1/((n-1)n)，…，a_3-a_2=1/(3×4)，a_2-a_1=1/(2×3)．以上n-1个式子累加，并利用1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)，得a_n-a_1=1/(2×3)+…+1/((n-2)(n-1))+1/((n+1)n)+1/(n(n+1))=1/2-1/(n+1)，∴a_n=3/2-1/(n+1)．点评：求形如a_n-a_(n-1)=f(n)的数列通项，可用累加法．     

对一道高考题的变题探究

2005年江西省普通高校招生考试《数学(文科)》试卷的第22题,是全卷的最后一道题,带有压轴性质.其题目是:“已知数列{a_n}的前n项和 S_n 满足 S_n-S_(n-2)=3×(-1/2)~(n-1)(n≥3),且 S_1=1,S_2=-3/2,求数列{a_n}的通项公式”.考试到条件 S_n-S_(n-2)=a_n a_(n-1),故这道题考题实质上是已知数列递推关系 a_n a_(n-1)=mf(n) k 和起始值 a_1,求数列{a_n}的通项公式的问题.此类题型在多年高考中屡见     

■cos(kπ)/n 的结果在解题中的应用

下面我们将证明multiply from k=1 to n-1 cos kπ/n=0,n 为偶数;(-1)~((n-1)/2)/2~(n-1),n 为奇数.(1)并利用(1)的结果解一类数学问题.为了证明(1),先证明如下一个恒等式multiply from k=0 to n-1[1-cos(α+2kπ/n)]=1-cosna/2~(n-1)(2)由棣美弗公式和二项式定理,知