聚焦复数中的轨迹问题

<正>复数中的轨迹问题是“强基”命题的一类常考题型,备受命题者青睐.这类问题往往是在一定条件下,探求复平面内动点轨迹表示图形的形状或求图形的面积、最值等,解题思维的抽象程度高、综合性强,能很好地考查学生的数学思维能力.本文分类举例说明近几年“强基”复数试题中的轨迹问题及其应用.     

复数法求轨迹方程

用复数法求解析几何中的轨迹方程,思路清晰,过程简洁.例1.等边△ABC的顶点B的坐标为(m,o)(m>a的常数),点A沿椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1移动,若A,B,C三点按逆时针顺序,     

一类轨迹方程的复数求法

复数乘法的几何意义表明，通过乘以一复数，可以灵活地描写平面上的旋转变换和伸缩变换，平面上某些图形的特殊几何关系可以用复数的某些代数形式来刻划，这就使我们能够利用复数来求一些特殊图形的轨迹题，而且有时显得比较简单，现举例如下：例1．已知椭园上有一动点P，以OP为边逆时针方向作正三角形OPQ，（O为原点），求点Q的轨迹方程。解：视xoy为复平面：设P．Q坐标分别为（x0，y0），（x，y）由已知。所以点Q表示的复数由复数相等的定义：又点P在椭圆上将①代入得点Q的轨迹方程为；例已如图点Q在直线L上，点P到L的距离为a（a＞…     

用复数方法探求轨迹举例

用复数方法探求轨迹举例王思聪（贵州省遵义师专５６３００２）复数的乘除法对应着平面向量的伸缩与旋转．在一些特定条件下，用复数方法去探求轨迹问题，能使问题解答变得容易、直观和简捷，下面举二例子以说明．例１已知Ｂ为椭圆ｘ＝３ｃｏｓθ，ｙ＝上一动点，△ＯＡＢ...     

用复数解轨迹问题举例

利用复数解平面轨迹问题,有直接法、代入法、中间变量法等。利用复数计算,有时较采用相应的解析几何方法为简便。 1.直接法如果从动点的运动规律容易直接找出z所适合的方程f(z)=0,则这个方程就是动点P的轨迹方程。一般说来,从f(z)=0可以看出它是怎样的曲线,但有时尚需通过从这方程里去寻     

谈如何用复数解轨迹问题

用平面上的点来表示复数之后,复数的加法和减法运算,正好相当于平面向量的对应运算.复数的乘法运算可灵活地描述平面向量的旋转与伸缩.而探索平面轨迹总是从考察点(向量)的运动状态开始的,所以平面轨迹问题的解题思路常常是能够通过向量的平     

利用复数求轨迹例说

我们知道:复数乘以单位模复数对应复平面内向量的旋转。因此,解析几何中有关线段旋转的轨迹问题,通常可借助复数乘法获得简捷解答。本文对此举几个典型例子,旨在概括可以利用复数乘法来求的几类特殊轨迹问题,供参考。     

试谈求复数轨迹的方法

求复数轨迹问题因较为抽象,且涉及到代数、三角、解析几何和平面几何等多方面知识,综合性及灵活性较强,成了学习的一个难点.下文归纳求复数轨迹的几种常用方法,供参考.     

用复数证明几何题与解轨迹题

复数是解决数学问题的主要工具之一，由于复数具有良好的运算性质与明晰的几何意义，因此一些代数与几何问题利用复数来处理较易得到解决。下面我从几何证明与解轨迹题两个方面来具体探讨复数的应用。     

复数运算求轨迹方程例谈

例1.正△ABC的顶点B坐标为(m,0)(m>a为常数),A点沿椭圆b~2x~2+a~2y=a~2b~2运动,设A、B、C按逆时针排列,求C点轨迹方程。设A,B,C三点分别对应复数x_0+y_0i,m,x+yi,贝BA:(x_0-m)+y_0i,BC:(x-m)+yi。由于BC按逆时针方向旋转π/3即得BA,     

应用复数法求几何轨迹方程

在平面解析几何中有一类较为复杂的轨迹问题常可归结为求某一定曲线C的伴随曲线方程。关于已给曲线C的伴随曲线其定义为:对于已知平面曲线C上的各点M,按某个对应法则使同一平面上的点P和它对应,即M|→P,当点M在曲线C上移动时,点P一般也伴随着M而变动,设P点的轨迹为C~*,则称C~*为曲线C的伴随曲线。并称原曲线C上的动点M为原动点,相应的C~*上动点P称为点M的相伴（动）点。文论述了求伴随曲线方程的一般解题规律,本文进一步给出应用复数简求伴随曲线方程的解法及其常用技巧。     

用参数表示复数解轨迹题

在解析几何中,几何图形往往使用参数方程表达。在教学实践中,发现用参数表示复数解题,尤其是解一些轨迹题,过程简捷明晰,免去了大量繁琐的运算。下面试举几例     

利用复数求轨迹方程方法谈

通过复平面可把复数与平面解析几何的某些曲线联系起来 ,而且用复数形式表示曲线方程显得更简单更清晰 .本文就求复点轨迹的常用方法例析如下 .一、利用整体思想方法例 1　设ｚ 1ｚ ∈Ｒ ,求ｚ在复平面上对应点的轨迹 .解 :ｚ 1ｚ ∈Ｒ ｚ 1ｚ =ｚ 1ｚ (ｚ-ｚ) ｚ-ｚｚｚ =0 (ｚ -ｚ) (1- 1｜ｚ｜2 ) =0 ｚ =ｚ且ｚ≠ 0或｜ｚ｜ =1 ｚ∈Ｒ且ｚ≠ 0或｜ｚ｜ =1∴ｚ在复平面上对应点的轨迹是除去原点的实轴或以原点为圆心 ,以 1为半径的圆 .说明 :上题视ｚ 1ｚ 为整体 ,利用性质ｚ∈Ｒ ｚ=ｚ通过复数运算 ,化繁为简 ,寻找出复数…     

用复数法解一类轨迹问题

如图:设石二r:(eoss:+isins,)z:二1:(eoss:+i·5 1 no:)在复平面XOY内所对应的向量分别。乙八 几一一户一.~气,是OP:、0P2,把向量OP:按逆时针方向旋转一个角度02(若e:按逆时针方向绕M旋转粤就得到向量补.’~一’一’r’‘”刁,.一’、2’~”一‘’‘二~ 根据复数乘法:向量M尸所对应的复数为a(eos口一isins)i=a(ieoss+sin6)又因为OP=OM十MP,所以向量O尸所对应的复数为:x+夕s=二(eos口+isino)+a(ieos口+5 in口)二a(eos夕+sins)+a(eoso+sin口)i由复数相等的定义得:<0,就把O尸,按顺时针方向旋转一个角}0:1),再把它的模变为原来的::倍,所…     

复数在求轨迹方程中的应用

例1直接利用复数相等的条件求轨迹 Z是圆l川=r上的点,z0=o bi,求复数了(二)一: 音 而所对应的点尸的轨迹方程.解:令j(二)~二 封:,z=r(eos口 isin口), (o(6<2对)则劣 g,~r(eos口 :sin6) a b: 1r(eos口 ‘sin口)ee 一〔(· 子)一“ ·} !(一告)S‘·, “」‘·故二一(· 子)一“ ·,。一(一令)·‘·“ “·当r一‘时x=a ZeosB,,二b(o《6<2兀).所以轨迹是平行于x轴的线段.=b(a一2《二《a 2)当r笋1时,消去参数口,得尸的轨迹方程(x一a),(r 生丫、r/.(,一b)含_丫只)’-1,是为中心在Z。的椭圆. 二、利用复数运算的几何惫义求轨迹 例2.IAB!.2…     

复数与复数方法

复数集,是高中代数中最重要的内容之一,是中学数学中研究的最大数集。它不仅使高中学生对于数的概念及一元n次方程的根的一些性质有一个较完整的初步认识,而且给运用数学知识解决一些具体问题提供了有力的工具,也为以后进一步学习高等数学、力学、电学等打下了一定的基础。     

利用轨迹思想解复数最值问题

利用轨迹思想解复数最值问题湖南湘潭大学子校付会理复数最值问题是近年来高考、会考及各地调研、模拟等试题中不可缺少的典型题型，其解法思路极为灵活，常用方法有图象法、三角法、参数法、性质法、代数法（见文［１］）．本文介绍一种对解决某些复数最值问题颇为有效的...     

用复数法求轨迹方程例析

数学知识有着紧密的内在联系.但在教学过程的某一阶段,又不能“和盘托出”,必须将一个完整的东西割分开来,这是一对矛盾,怎样解决这对矛盾呢?我认为解决矛盾的根本途径在于:当学生掌握了一定知识和技能以后,教师及时地帮助他们沟通所学各部分知识之间的联系.例如,在讲授《解析几何》时,一般来说总是要求学生用解几的概念、定理、公式、法则等解决问题.但由于解几使用的直角坐标平面与复平面有着极其紧密的联系,故复数及其运算的几何意义经常可用于解决解几问题,且在一些特定的条件下更显得简捷.因而在高考复习中,教师应     

利用复数求轨迹方程的两种方法

众所周知，坐标代换法适合于动点P随已知曲线C上的点Q变化而变化的轨迹问题，其步骤是：     

运用复数求轨迹方程的两种方法

贵刊84年第一期《建立曲线轨迹方程的常用方法》一文,是一份较好的系统复习资料,但文中未涉及“复数法”,拙文将补充之. (一)直接代换法圆的复数方程具有形式简单的特点,因此,若遇动点P依赖于已知圆上的动点Q,欲求P的轨迹方程的问题,可将圆的直角坐标方程化为复数方程,再应用向量旋转变换加以解决,它常有化繁为简,化难为易的功