Ceva定理的推广

本文得到一般n边形的Ceva定理: 定理1.设A_1A_2…A_n为一个平面内的n边形,O为平面内一点,且O与A_1,A_2,…,A_n中任两点不共线,若A_iO交A_jA_(j+l)(i=1,2,…,n;j≠i,i-I)于B_(ji),则 multiply from i=1 to n[(A_iB_(i.i-k)/B_(i.i-k) A_(i+1))·(A_iB_(i.i+1+k)/B_(i.i+1+k)A_(i+1))]=1, 约定:1.若l∥AB,则认为l与线段AB(或BA)的延长线相交于无穷远点S,且AS=SB,2.若i=mn+p,j=qn+t,m,q∈Z,p,t=1,2,…,n,则B_(ij)=B_(p.t),A_i=A_p。(下同)     

矩阵Hadamard积特征值的界

设A_i(i=1,2,…,m)是非负矩阵,给出了它们的Hadamard积谱半径的新上界,ρ(A_1°A_2°...A_m)≤max1≤i≤n{mΠk=1A_k(i,i)+mΠk=1[ρ(A_k^[P_k])-A_k(i,i)P_k][P_k])-A_k(i,i)P_k]^(1/P_k)},其中,P_k>0且m∑k=1(1/P_k)≥1,这个上界改进了相应结果。     

正多边形中的定值问题

定理1 过正n边形A_0A_1A_2…A_(n-1)的中心O任作一直线1与直线A_iA_(i+1)交于B_(i+1)(i=0,1,2,…,n-1,定义A_n=A_0),则sum from i=1 to m(1/OB_i~2)为定值。 证明 直线1一般情况仅能与正n边形A_0A_1A_2…A_(n-1)的两条边相交,而与其它(n-2)条边的延长线相交,不失一般性,我们没直线1与线段A_0A_1的延长线交于B_1(B_1也可以为无穷远点)。 1~0若n为偶数,则可设n=2m(m∈N)。由于正2m边形是以O为对称中心的中心对称图形,我们只要证明sum from i=1 to m(1/OB_i~2)壶为定值就可以了。     

划分整数集合的相关问题

设集A_1,A_2,…,A_n是集A的非空子集,且满足: (1)A_1∩A_j=(?),(i≠j,i,j=1,2,…,n) (2)A=A_1∪A_2∪…∪A_n。则称(A_1,A_2,…,A_n)为A的一个划分。整数集合的划分在近年数学竞赛中时常出现,其题型通常有两类:一是根据子集应具备的某种特性,讨论划分的存在性;二是根据给定的划分,讨论划分后子集有关特性. 一、求解集合划分问题的基本思路划分一个集合,就是构造这十集合的子集.而这种构造过程经常要综合运用多种数学思想和方法例1 求两个最小的正整数n,使集{1,2,…,3n-1,3n}可以分为n个互不相交的三元组{x,y,z},其中x+y=3z (1990年国家集训队训练题) 解:设所求三元数组为(x_i,y_i,z_i),(i=1,2,…,     

运用数学思想方法解含参不等式

解不等式几乎是每年高考的必考题型、重点常是含参数的不等式,学生们感到很棘手,现举例介绍几种运用数学思想求解的方法.一、分域讨论思想把参数所取值的集合1分成若干个非空子集 A_1,A_2,……A_n(n≥2),使满足(1),A_i∩A_j=(?)(i,i∈N 且i≠j);(2)A_1 ∪A_1∪……A_n=I.分类标准视解题需要     

关于推广的Poincaré公式之证明及应用

在[1]中蒋茂森用分划和事件为互不相容事件之和的办法直观地证明了Poincare’公式:P((?)A_i)=sum from i=1 to n(P(A_i))-sum form (l≤i相似文献   

—个有趣的定值命题及其引伸

众所周知,在直角坐标平面内,若点M((?,?))为有限点集{A_1,A_2,…,A_n}的重心,A_i(i=1,2,…,n)的坐标为(x_i,y_i),则有 (?)=1/n sum from i=1 to n(x_i),(?)=1/n sum from i=1 to n(y_i) (*) 据此,我们可以推得一个有趣的命题: 命题1 以平面有限点集的重心为圆心、定长为半径作圆,则此圆上的任一点到该     

第30届IMO试题及解答

第一天 (布伦瑞克,1989.7.18) 1.求证:集合{1,2.…,1989}可以分为117个互不相交的子集A_i(i=1,2,…,117),使得 (1)每个A_i含有17个元素; (2)每个A_i中各元素之和相同. 2.锐角三角形ABC中,A角的等分线与三角形的外接圆交于另一点A_1.点B_1,C_1与此类似.直线AA_1与B,C两角的外角等分线相交于A_0.点B_0,C_0与此类似.求证:     

分点为等分参数的椭圆内接n边形的性质

设椭圆的参数方程为 0≤t≤2π。a>b>0。(1)又设A_1A_2…A_n为(1)的内接n边形,其中顶点A_1的坐标为A_i(acost_i,bsint_i),i=1,2,…n,其中t_1任意,t_2=t_1+(2π/n),t_3=t_2+(2π/n),…,t_(n+1)=t_n+(2π/n)(t_(n+1)=t_1+2π)。     

一类函数方程的求解——从一道奥林匹克竞赛题谈起

第28届奥林匹克数学竞赛第二有这样一道题: 求证;不存在这样一个函数试fN_0→N_0,N_0={0,1,2,3,…n,…},使得对于任何n∈N_0,有f(f(n))=n 1798, 证明,假设存在这样的函数f,记n_1=f(i),则A_1={i,n_1,i 1987,n 1987,i 1987×2,n_1 1987×2,…),显然,且n_1∈A_1(i=0,1,2,…,1986)。于是,对每一个固定的i(i∈N_0,i≤1986),存在一个k(k∈N_0,k≤1986,k≠i),使得n_i∈A_k。 若n_i=n_k 1687×m(m∈N_0),则f(u_k 1987×m)=f(n_i)=i 1987,与f(n_i 1987×m)k 1987×(m 1)矛盾。 若上_n_i=k 1987×m(m∈N_0,m≥2),则f(k 1987×m)=f(n_i)=i 1987,与f(k 1987×m)=n_k 1987×m矛盾。 故n_i=k或k 1987,若n_i=k,则n_k=f(k)=f(n_i)=i 1987,即n_k∈A_i;若n_i=k 1987,则i 1987=f(n_i)=f(k 1987)=n_k 1987,即n_k=i,从而n_k∈A,,因此,若n_i∈A_k,则必有n_k∈A_i。     

封闭折线中的一个优美不等式

本文所述的封闭折线,若无特别声明,都是指空间封闭折线(包括平面封闭折线在内)。 定义1 封闭折线A_1A_2A_3…A_nA_1的任意两条相邻的边所成的劣角(小于平角的角),称为这条封闭折线的顶角,顶点为A_i的顶角记作∠A_i(i=1,2,…,n)。 定义2 所有顶角都相等的封闭折线,称为等角闭折线;否则,就称为非等角闭折线。     

一个关于余切和余割的不等式

定理 P是凸n边形A_1A_2…A_n内一点,记∠PA_iA_(i 1)=α_i,i=1,…,n(A_(n-1)≡A_1),则 sum from i=1 to n(ctgα_i)≥sum from i=1 to n(ctgA_i ncsc(2π/n))。 (1) 证明 由正弦定理,得     

四面体的两条性质

定理设△_i、V_i(i=1,2,3,4)表示四面体A_1A_2A_3A_4中,A_i对面旁切球的面积和体积,△_0和 V_0表示内切球面积和体积,则证明:(1)设 A_i 所对面外旁切球半径为 r_i,所对面面积为 S_i,内切球半径为 r_0,四面体体积为 V,则     

难题征解

问题 58.已知a_1=a,d是不为零的常数,当n∈N且n≥2时,{a_n}满足:a_n~2-a_(n-1)=d,求证通项a_n(注:不要用归纳、猜想证明) (新疆张明贤提供) 59.△ABC的∠A=60°,I为内心,ID∥AB、D在AC上,在BC上取P点,满足∠PDC=1/2∠C。求证BP=2PC。 (安徽黄仓福提供) 60.设集合A_i(i=1,2,…,2~n)是集合S=(1,2,…,n)的全集子集。定义S(A_i)表示集合A_i的所有元素之和。若有S(A_i)=m~2,m为某一整数,我们称A_i是“好”子集。试求出集     

用几何图形推导自然数平方的求和公式

高二代数教材中,用数学归纳法证明:1~2+2~2+…+n~2=(n(n+1)(2n+1))/6的方法虽然简单,但结论来得突然,缺乏直觉,本文结合自己的教学,用几何图形法证明之。在平面上取互相垂直的射线OA、OB,并选定一个单位长度.在横轴OA上,从O开始截出线段OA_1、A_1A_2、A_2A_3,…,A_(n-1)A分别为1,2,3,…,n个单位长度;在纵轴OB上先截线段OB_1为1个单位长度,再截出n-1个线段B_1B_2、B_2B_3,…,B_(n-1)B,     

等差等比数列的推广

1.一个几何例子的启示设AA_1B_1B是梯形,其中AB=a,A_1B_1=a_1.连结二对角线中点的线段记为A_2B_2,则AA_2B_2B也是一个梯形。在这个梯形中,记连结二对角线中点的线段为A_3B_3,则AA_3B_3B也是一个梯形。如此下去,我们来求A_(n+1)B_(n+1)的长度。     

第十八届(1984年)全苏中学数学奥林匹克试题及部分解答

八年级 1.(1)如果存在n个整数,其积为n且其和为零,那么数n能被4整除。 (2)如果自然数n能被4整除,试证必存在n个整数它们的乘积为n,而和为零。 2.证明:对任意的非负数a和b,下述不等式成立 1/2(a+b)~2+1/4(a+b)≥ab~(1/2)+ba~(1/2)。 3.平面上有二个等边三角形A_1A_2A_3和B_1B_2B_3,A_1→A_2→A_3与B_1→B_2→B_3为顺时针方向。     

n个正整数的和与积相等条件下的有趣结论

本文讨论了n个正整数的和与积相等的一个必要条件,并证明了两个与素数、合数有关的结论. 结论1:若n(n≥2)个正整数a1,a2,…,an满足条件n∑i=1ai=n∏i=1ai,则ai≤n(i=1,2,…,n). 证明:(1)当n=2时,a1·a2-(a1+a2)=(a1-1)·(a2-1)-1≥0,当且仅当a1=a2=2时等号成立,故a1·a2=(a1+a2)时a1≤2,a2≤2,符合结论1. (2)当n≥3时,设a1≤a2≤…≤an.令a1=a2=…=an-2=1,an-1=2,an=n,则n∑i=1ai=n∏i=1ai=2n.此时ai≤n(i=1,2,…,n). 又设存在n(n≥2)个正整数b1,b2,…,bn满足条件1≤b1≤b2≤…≤bn-1≤bn,bn＞n,且n∑i=1bi=n∏i=1bi.不妨令bi=1+ti(i=1,2,…,n-1,ti∈N),bn=n+tn(n∈N+).     

一道极值问题的讨论

一、问题: 本文讨论下列问题: (Ⅰ):设P是凸n边形A_1A_2…A_n上(内部或边界上)任一点,x_i是P到A_iA_(i 1)的距离(i=1,2,…,n,A_(n 1)=A_1),求f(p)=x_1 x_2 … x_n的最大值和最小值,并问何时达到最大值和最小值? 二、特例: 先讨论n=3的特殊情形,此时问题(Ⅰ)转化为 (Ⅱ):在△A_1A_2A_3上找一点P,使它到三边距离和为最大、最小。     

正多边形对角线长定理及证明

定理经过正n边形(n>3)每一顶点的对角线长L_i=2Rsin i·180°/n,i=1,2,3,…,n-1(包括连结相邻顶点的线段)。证明:正n边形A_1A_2A_3…A_n如图1所示,设半径为R,L_1=A_1A_2=2R sin180°/n; △A_1A_2A_3中,由正弦定理得A_1A_3/sinA_2