一点定直线 形同意不同——对二次曲线切线和切点弦所在直线方程的推广与研究

众所周知,两点能确定一条直线,但在几何中特定情况下,也有一点"确定"的直线.基于此,对二次曲线切线和切点弦所在直线方程进行推广与研究.     

二次型与二次曲线内容的比较讨论

数学被誉为"科学女王"而几何学是"科学女王"的明珠.结合学过的高等代数中二次型内容与高等几何中的二次曲线相关理论,发现二者的研究对象紧密相联.可以说,高等几何中的二次曲线为高等代数二次型的研究及相关问题提供直观背景,高等代数中的二次型正是概括高等几何中的具体对象而产生更抽象更本质的概念,其来源之一是化二次曲线为标准方程.在此,将几何与代数相结合,对二者内容进行比较讨论,会获得事半功倍的效果.     

二次型与二次曲线内容的比较讨论

数学被誉为"科学女王"而几何学是"科学女王"的明珠.结合学过的高等代数中二次型内容与高等几何中的二次曲线相关理论,发现二者的研究对象紧密相联.可以说,高等几何中的二次曲线为高等代数二次型的研究及相关问题提供直观背景,高等代数中的二次型正是概括高等几何中的具体对象而产生更抽象更本质的概念,其来源之一是化二次曲线为标准方程.在此,将几何与代数相结合,对二者内容进行比较讨论,会获得事半功倍的效果.     

二次曲线的主轴、焦点和准线研讨

在探讨射影几何中定义的二次曲线的主轴、焦点和准线时,用射影几何的概念法可以分别得到抛物线、椭圆与双曲线的主轴、焦点和准线.由研讨得知在射影几何中定义的二次曲线的主轴、焦点和准线与解析几何中定义的二次曲线的主轴、焦点和准线是一致的.     

高观点下的二次曲线

二次曲线的中心、直径、渐近线等概念在平面解析几何中已给出过定义，在高等几何中又给出了一种新定义，本给出了两种定义等价性 证明，并举例说明了高观点解决二次曲线问题的优越性。     

数学教学应重视数学学科的严谨性

<正>义务教育课本在几何部分强调了数学证明的必要性,旨在体现数学学科的严谨性.但是,因为知识的结构和学生的认知水平等原因,教材上出现了很多"基本事实",这些"基本事实"帮助学生建立了对于几何的直观感觉,降低了教学的难度,同时也降低了数学的严谨性.所以,我们教师在处理这些内容时,应该谨慎对待,不可忽视数学知识的本质.一、课标与教材背景义务教育数学课程标准(2011版)提出需掌握9条有关于几何的"基本事实":(1)两点     

关于重根和相切的问题

现行中学数学教材中,选编了大量的二次曲线的切线问题。解决此类问题一般是用二次方程的判别式法。因为直线和圆相切的充要条件是它们有唯一的公共点,这一几何事实反映在代数方程上就是有重根,所以用判别式法解决圆的切线问题理由是充足的。但仅有一个公共点的切线定义对抛物线和双曲线不再适用了,那么用判别式法讨论这两类曲线的切线问     

为《几何画板》添加求二次曲线与直线交点的新工具

在<几何画板>中,不能直接画出非圆二次曲线与直线的交点.虽然可用代数与几何的方法解决此问题,但只能就事论事,也较为繁琐.本文介绍一个利用射影几何知识制作的快捷新工具,可方便地解决这一问题.     

二次曲线的"焦弦定理"

本文探究二次曲线的一个几何新特性,并由此给出二次曲线的一个重要性质——"焦弦定理",兹介绍如下:     

一道几何命题的衍变推广

欧氏几何中与圆有关的命题使之衍变推广到更为广泛的空间几何一射影几何,而射影几何是欧氏几何的母几何.本文将利用射影变换将圆射影变换为常态二次曲线,以丰富射影几何的内容.另外,将命题衍变推广到平行四边形、正N边形上成立.     

例谈函数值域的几何意义

文[1]借用几何直观分析了函数y=x 4-x2的值域,并补充了两个相关的例子.本文就[1]中的题目,采用另一种方式--作出二次曲线,进行讨论,能使值域的几何意义更为清晰.     

二次曲线切线的几何性质

讨论了二次曲线切线的几何性质，给出了二次曲线切线的几何作图方法，以及二次曲线切线的几何性质的若干应用。     

利用旋转变换化二次曲线的一般方程为标准方程

本文利用坐标变换及矩阵将二次曲线的一般方程化为标准方程,以便二次曲线的作图,了解曲线所具有的几何特征.     

例说可行域的判定方法

线性规划问题中的可行域就是二元一次不等式(组)表示的平面区域,它的判定是解决线性规划问题的基础.下面说说它的判定方法.1.取点定域法教材中介绍了二元一次不等式表示平面区域的一种画法,其要点是"以线定界,取点定域",前半句指需要注意实线与虚线的确定,后半句则说明只需取不在直线上的特殊     

对一般二次曲线中两条重要直线几何性质的探讨

在解析几何中,利用导数来解决诸如曲线的切线、几何极值及研究曲线的形状等问题十分方便.本文将从研究两条直线的几何性质开始,阐明导数在解几中的一些应用.设给定一般二次曲线方程为:F(x,y)=x~2+Bxy+Cy~2+Dc+Ey+F=0. (1·1)若把 y 视为常数,在方程(1·1)两边对x 求导数,得一条直线的方程为:     

二次曲线中若干问题的极限解释

本文分别从解析几何和数学分析的角度对二次曲线中渐近线和切线等问题进行阐述,两门学科虽然从不同方面给出求渐近线和切线的方法,但结论一致.本文旨在让学生体会解析几何如何为数学分析提供几何解释,加强不同学科间知识的联系.     

参数法化简二次曲线方程

在常见的二次曲线方程化简方法中,利用不变量化简,无法画出其图形;利用主直径法化简,所需掌握的高等数学知识较多.这里介绍的参数法化简二次曲线方程,只需利用初等数学知识,易于理解掌握.中心二次曲线方程的化简,实质上就是将二次曲线两条互相垂直的对称轴作为新坐标系的两坐标轴,从而得到标准方程;非中心二次曲线化简,是将它的一条对称轴及与它垂直的另一直线作为新坐标系的坐标轴而达到化简目的.参数法化简二次曲线方程正是根据这一性质,将坐标变换和主直径法有机地结合起来,用初等数学形式表示出来,达到化简二次曲线方程的目的.     

二次曲线的几何特征属性

具有二次曲线几何特性的曲线,所满足的微分方程都属于克莱罗方程类型,而克氏方程的奇解恰好就是相应的二次曲线的解函数.     

二次曲线的主方向方程及其应用

<正> 设二次曲线的方程为 通常的解析几何教材都是借助于二次曲线的特征方程和特征根给出了二次曲线的主方向。在主方向的推导过程中,我们发现二次曲线F(x,y)=0的主方向X:Y满足方程……(1) 我们把方程(1)称为二次曲线F(x,y)=0的主方向方程。 下面,我们利用方程(1)给出转轴变换化简二次曲线方程F(x,y)=0的几何意义的一种非常简洁的证明。     

有关二次曲线弦的对口单招题及其简解策略

综观1995年以来的江苏省普通高校单独招生统一考试的数学试卷,与二次曲线"弦长"和"弦中点"等知识有关的问题,在对口单招题中不仅出现频繁(每年都有一个大题目),而且占分普遍偏高,大部分都是"压轴题".它们在对口单招试卷中扮演着"举足轻重"的角色,其重要性可想而知.学生在处理这类与二次曲线弦有关的问题时,大都是先解出方程组求二次曲线交点坐标后再根据题目要求具体求解,过程比较繁琐,计算量往往偏大,不仅浪费学生大量的时间和精力,还常因头绪繁多出现差错,绝大多数职业高中学生由于求不出方程组的解或求解错误而前功尽弃.面对这一状况,我们教师必须及时引导职业高中学生思考和总结这类与二次曲线弦有关的问题的简解途径,顺利突破这一难关,为解决整个问题铺平道路.