数列综合题热点透析

数列与数列相结合的综合题这类综合题主要考查等差数列和等比数列的定义、通项公式、前n项和公式以及性质等内容.例1已知Sn是数列｛an｝的前n项的和,a1=1,Sn 1=4an 2,n=1,2,3,4,…(1)设bn=an 1-2an(n=1,2,3,4,…),求证:数列｛bn｝为等比数列.(2)设cn=2ann(n=1,2,3,4,…),求证:数列｛cn｝为等差数列.(3)求数列｛an｝的通项公式及其前n项的和.解析(1)∵Sn 1=4an 2,∴Sn 2=4an 1 2.上述两式对应相减,得an 2=4an 1-4an,即an 2-2an 1=2(an 1-2an).∴bn 1=2bn,且b1=3.∴数列｛bn｝为等比数列.(2)由an 2=4an 1-4an,得2ann 22=42ann 21-24na n2.…     

关于数列的模拟题

一、选择题(每小题5分,共50分)1.已知数列｛an｝是公比为q的等比数列,若bn=an 2an 2,n!N*,则数列｛bn｝是A.公比为q的等比数列B.公比为q2的等比数列C.公差为q的等差数列D.公差为q2的等差数列2.已知数列｛an｝,则“对任意的n!N*,点Pn(n,an)都在直线y=3x 2上”是“数列｛an｝为等     

'98高考数学(理)题(25)的别解及推广

〔题〕已知数列｛ｂｎ｝是等差数列,ｂ１＝１,ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂ１０＝１４５．（１）求数列｛ｂｎ｝的通项公式ｂｎ;（２）设数列｛ａｎ｝的通项是ａｎ＝ｌｏｇａ（１＋１ｂｎ）,（其中ａ＞０,且ａ≠１）,记Ｓｎ是数列｛ａｎ｝的前ｎ项和,试比较Ｓｎ与１３ｌｏｇ...     

等差数列的一个性质及应用

定理　设数列 {an}是以d为公差的等差数列 ,Sn 为 {an}的前n项和 ,记bn=Snn ,则数列 {bn}是以d2 为公差的等差数列 .简证　数列 {an}是以d为公差的等差数列 ,则　Sn =na1+n(n- 1)2 d ,∴bn =Snn =a1+(n- 1)· d2 .易知 {bn}是以a1为首项 ,d2 为公差的等差数列 .利用这一性质 ,可以方便地解决等差数列中某些与前n项和有关的问题 ,方法简练、实用 ,也易于被同学们接受 .下面举例说明 .例 1　设 {an}是等差数列 ,Sn 为数列 {an}的前n项和 .已知S5=2 8,S10 =36 ,求S17.解　记bn =Snn ,由定理知 ,数列 {bn}是等差数列 ,设其公差为d′ ,则d′=…     

关注等和数列与等积数列

在各类考试中经常出现“等和(积)数列”这种教材中没有出现的新概念.有些学生遇“新”而害怕,其实只要类比等差数列或等比数列的定义及性质去理解,即可轻松解决.下面对此类题型加以介绍.一、等和数列1.定义在数列｛an｝中,若对任意n≥2都有an+an-1=d(n∈N*,d为常数),则称｛an｝为等和数列,常数d为数列的公和.2.通项公式与前n项和设等和数列｛an｝的首项为a1,公和为d,则有通项公式:an=#ad1-,an1,为n奇为数偶,数.前n项和公式:Sn=nd2,n为偶数,a1+n-21d,n为奇数$&&&%&&&’.3.性质由定义知#aann++1+aan-1n==dd,则有an+1=an-1,即等和数列是一个周…     

几种有趣的等差等比数列的求和

中学数学中的数列求和问题,涉及到的数学知识和方法较多，综合性较强，部分同学感到困难较大．但仅是数列的求和方法,在众多文章中，都已作过详尽的讨论，故不赘述．本文只对等差数列、等比数列中一些有趣的求和作一粗浅的探讨，供大家参考.一、切成等长的段作和若以一个n×k项的等差数列{a_n}，公差为d，作成一个新数列{b_n}：则数列{b_n}也是等差数列，其公差若以一个n×k项的等比数列{a_n}，公比为q，作成一个新数列｛b_n｝：则数列{b_n｝也是等比数列，其公比q′=q~k.仿上可作类似的证明，此处略．例1在等差数列｛a_n}中，前四项之和S_…     

对数列公式的再认识

数学公式是数学现象及其本质规律的揭示，因而在一个公式的结构特征中，往往蕴涵着潜在的规律，只要我们用心观察，认真分析研究，就会从中挖掘出新的使用价值。这无疑能激发学生强烈的求知欲与探索精神，有利于提高数学素养，培养创新精神。现以数列中的公式为例说明之。首项为a１，公差为d的等差数列｛an｝的前n项和Sn＝na１＋n（n－１）２d＝１２dn２＋（a１－１２d）n，若令p＝１２d，q＝a１－１２d，则Sn＝pn２＋qn（１）不难证明公式（１）是数列｛an｝为等差数列的充要条件。定理１一个数列的前n项和Sn＝pn２＋qn是此数列为等差数…     

高中数学数列题解题技巧

<正>在解答数列问题时,可以使用公式求和法、合并求和法、分组求合法、错位相减法、裂项相消法等,下面通过例题做些归纳总结。一、公式法直接求和例1在一个等差数列中,它的前n项和等于m,前m项和等于n(其中m≠n),求这个数列的前m+n项和。分析:根据等差数列前n项和公式解决问题,最好先求出数列首项a1与公差d,然后运用Sn=na1+(n(n-1)/2)d求和。解答:设这个数列的首项为a,公差为d,     

等差数列前n项和推论的应用

推论1 等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则数列{Sn/n}成等差数列．     

一道数列题的八种解法

题目已知等差数列｛an｝的前m项的和为30,前2m项的和为100,则它的前3m项的和为______.一、解答上题需用到的知识点1.等差数列｛an｝的通项公式:an=a1 (n-1)d;等差数列｛an｝的推广式:an=am (n-m)d;等差数列｛an｝的变式:a1=an-(n-1)d,d=ann--a11,d=ann--mam,由此联想到点列(n,a     

等差数列的一个性质及应用

定理 设数列{an}是以d为公差的等差数列，Sn为{an}的前n项和，记bn=Sn/n，则数列{bn}是以d/2为公差的等差数列．     

“递推公式求数列通项”范例解法探究

等差数列和等比数列是高中数学数列一章的重要基础知识.数列综合问题,无论从寻求解题思路、方法及解决途径、过程转化,基本上都要以等差数列和等比数列为蓝本,不断地拓展和延伸相关数学问题.充分运用数学思想方法,在解决问题过程中不断再发现、再创造.下面以“由递推公式求数列通项的范例解法”为例,说明如何运用数学思想方法,有效地设计解决问题.例题:已知数列｛an｝中,a1=65且对任意非零自然数n都有an+1=31an+(12)n+1.求数列｛an｝的通项公式.解一:由an+1=31an+(21)n+1两边同乘以3n+1得,3n+1an+1=3n+1·31an+3n+1·(21)n+1=3nan+(32)n+1设…     

等差数列的不等式及其拓广

等差数列与等比数列的前n项和是高中数学的重要内容.在文[1][2]中,作者证明了等差数列与等比数列的前n项和的一些统一性质.在文[3]中,作者列举了等差数列的一个有趣性质:命题【3】 设{an}为等差数列且满足公差d≥0以及a1>0,则当n≥2时成立如下不等式:2(√an+1 -√ an )< d/√an <2(√an -√an-1 ).(1)本文目的主要是推广以上的不等式并把等差数列的结论推广到一类更广泛的递推数列中去.     

等比数列的两个有趣性质

１９９９年全国高中数学联赛（１）第一（１）题是一个选择题,题目如下： 给定公比为ｑ（ｑ≠ｌ）的等比数列｛ａｎ｝,设则数列｛ｂ｝（　） （Ａ）是等差数列; （Ｂ）是公比为ｑ的等比数列; （Ｃ）是公比为ｑ３的等比数列; （Ｄ）既非等差数列也非等比数列。 本题实际上给出了等比数列的一个性质。 性质１ 给定公比为ｑ（ｑ≠１）的等比数列｛ａｎ｝,设　则数列｛ｂｎ｝是公比为ｑ３的等比数列。 证明 根据题设,ａｎ＝ａ１ｑｎ－１,则　因此,数列｛ｂｎ｝是公比为ｑ３的等比数列。 从性质１的证明可以得到 推广１ 给定公比为ｑ（…     

解数列题的方法和技巧

一、应用方程和函数思想解题我们知道数列是一种特殊函数 ,用函数的观点学习数列 ,能使我们更深刻地理解数列。而用方程的思想可以方便地解决数列中的计算问题。例１ :已知｛ａｎ｝是等差数列 ,｛ｂｎ｝是等比数列 ,｛ａｎ｝的公差ｄ和｛ｂｎ｝的公比 ｑ相等且都不等于１ ,ａ１＝ｂ１，ａ４＝ｂ４,ａ１０＝ｂ１０,求ａ１ 和ｄ。解 :由题意得 :ａ１＝ｂ１,ｄ＝ｑ例２ :一个等比数列 ,前ｎ项和为４８ ,前２ｎ项和为６０ ,求前３ｎ项的和。解 :设等比数列的首项为ａ１,公式比为 ｑ,显然 ｑ≠１ ,依题意得有 :例３ :已知ｆ（ｘ）是一次函数 ,且…     

数学奥林匹克高中训练题（141）

第一试 一、填空题（每小题8分,共64分） 1．设等差数列{an}的公差为d≠0,前n项之和为Sn．则{Sn}为递增数列的充分必要条件是___________． 2．已知点     

题库(二十七)

1.由以下条件分别给出数列｛an｝:(1)｛2ab｝是等比数列;(2)Sn=n2 1;(3)｛ban｝,是等差数列;(4)an=2/n-1(a1 a2 … an-1)(n≥2).求满足以上条件且使｛ban｝是等差数列的命题的个数.2.数列｛an｝中,a1=8,a4=2且满足an 2=2an 1-an,n∈N .设bn=1/n(12-an)(n∈N ),Tn=b1 b2 … bn(n     

等差数列的一个重要性质

<正> 由等差数列的求和公式可知,等差数列有这样一个性质: 设等差数列{an}的公差为d,则数列{Sn/n}是以a1为首项,d/2为公差的等差数列. 下面是有关这一性质的应用. 例1 (1996年高考题)已知等差数列{an}的前m项和为30,前     

由等差等比数列构成的数列求和问题

数列求和是中学数学教学的重要内容。在现行的中学教材中,只安排了等差、等比数列的求和内容。但高考题中出现的数列大多数都是由等差、等比数列构造而成的非简单的等差、等比数列。本文拟对几种常见类型的数列求和公式作探讨。 命题1 设数列{a_n}是公差为d（d≠0）等差数列,数列{b_n }是公比为 q（q≠1）的等比数列,则数列{a_nb_n}的前n项和 S_n=(a_1b_1-a_nb_nq)/(1-q) (b_1q(1-q~(n-1))d)/(1-q)~2 证记 S_n=a_1b_2 a_2b_2 a_3b_3 … a_nb_n 将①式两边同乘以q得:     

2008年浙江省高中数学竞赛第15题证法小议

2008年浙江省高中数学竞赛试题第15题有2个小题，其中第（1）小题是： 设非负等差数列{an}的公差d≠0，记Sn为数列{an}的前n项和．证明：若m，n，p∈N^＊，且m＋n=2p，则1/Sm＋1/Sn≥2/Sp.