关于积分中值定理的一个注释

这个注释是对文献〔１］中ＢｅｒｎａｒｄＪａｃｏｂｓｏｎ的积分中值定理的推广。定理１如果函数ｆ在区间［ａ,ｂ］上连续,那么存在一点ｃ（ａ＜ｃ＜ｂ）,使得通过定理卫可知,当ｘ∈（ａ,ｂ）时,区间［ａ,ｘ］中可以找到一点Ｃｘ,使得Ｊａｃｏｂｓｏｎ研究了当ｘ趋近于ａ时ＣＨ的性质,并证明了以下结论：定理２若函数／在区问［ａ,ｂ］上连续,并存在一阶导数如果Ｃｘ是满足（２）式的中介点,则我们来讨论定理２中ｆ（ａ）＝０的情况。定理３若函数ｆ在区间［ａ,ｂ］上连续,并在ａ点存在二阶导数,其中ｆ（ａ）＝０,ｆ（ａ）…     

关于可积准则的两种等价形式

中微积分学中,判断一个函数f（ｘ）在某个区间［ａ,ｂ］上是否可积,是积分学中的一个重要的理论问题,而应用可积准则来判断函数f（ｘ）在［ａ, ｂ］上的可积性,又是积分学中一种常用的方法,但在我们所见的《微积分》教程中,却出现了两种形式不同的可积准则。 定理１函数ｆ（ｘ）在［ａ,ｂ］上有界,则ｆ（ｘ）在［ａ,ｂ］上可积的充分必要条件是：对任给的ε＞ｏ,存在δ＞０,对［ａ,ｂ］上的任何一个分割Ｔ,只要　Ｔ　＜δ时,有： 　　　　　　　　　其中ω＝Ｍ 定理２　函数ｆ（ｘ）在［ａ,ｂ］上有界,则ｆ（ｘ）在［ａ,…     

一元二次方程根的范围的制约条件

一元二次方程根的范围的制约条件史晓蓉本文就一元二次方程根的范围的制约条件，介绍几个定理及其应用，供参考。引理若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，且ｆ（ａ）·ｆ（ｂ）＜０，则至少有一点ｃ，ａ＜ｃ＜ｂ，使得ｆ（ｃ）＝０。定理设ｘ１、ｘ２（Ｘ１≤ｘ２）...     

连续函数在无穷区间上一致连续的一个充分条件

在无穷区间连续的函数ｙ＝ｆ（ｘ）,未必一致连续。对无穷区间上连续的函数的什么条件下一致连续呢？本文将给出一个充分条件。定理若函数ｆ（ｘ）在［ａ,＋∞）上的连续,当ｘ→＋∞时,ｙ＝ｆ（ｘ）有斜渐近线ｙ＝ｋｘ＋ｂ,则函数ｆ（ｘ）在［ａ,∞）上一致连续。证...     

半连续函数及其性质

半连续函数及其性质刘丽梅在函数论中，连续函数和它的性质占有相当重要的地位。有一类函数虽不连续，但却具有一些与连续函数类似的性质。这就是所谓半连续函数．定义如下。定义１设函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上有定义，ｘ０∈［ａ，ｂ］，若或－∞，则称ｆ（ｘ）在点...     

应用二重积分解决定积分的不等式问题

在二重积分的计算中,经常使用的方法是化二重积分为累次积分。当积分区域为矩形、被积函数可分离变量时,有如下定理。［定理］若ｆ（ｘ）在［ａ,ｂ］可积,ｇ（ｙ）［ｃ,ｄ］可积,则二元函数ｆ（ｘ）ｇ（ｙ）在平面区域Ｄ＝｛（ｘ,ｙ）｜ａ≤ｘ≤ｂ,ｃ≤ｙ≤ｄ｝可...     

从拉格朗日定理的讲授浅谈辅助函数的引入

从拉格朗日定理的讲授浅谈辅助函数的引入王惠书在微分学中,关于微分中值定理———拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）中值定理的推证,一般先作辅助函数φ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）－ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ（ｘ－ａ）由于函数φ（ｘ）满足Ｒｏｌｅ定理的全部条件,于是...     

关于积分中值定理中的中值ξ

１引言积分中值定理是微积分学中最基本而且最重要的定理之一．许多人对积分中值定理中的中值的渐近性进行了研究．本文采用不同的方法,对中值的渐近性也进行了探讨,得到了一个更一般性的结论,使已有的结论成特例．２积分中值定理及已有的结论定理１（积分中值定理）．如果函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ,ｘ］上连续,则在积分区间［ａ,ｘ］上至少存在一点,使下式成立定理２（已有的结果）．设函数ｆ（ｘ）在点ａ附近连续,ｆ（ｘ）在点ａ可导,ｆ’（ａ）０,则积分中值定理中的有即当ｘ充分接近ａ时,接近区间［ａ,ｘ］的中点．３将要证…     

一种组合数计算的推广形式

若２是函数ｆ（ｘ）的周期,则有∑ｎ２［］ｉ＝０ｆ（ｘ＋ｉ）ｎ－ｉｉ＝１２［ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ＋１）］Ｆｎ＋１３［ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ＋Ｉ）］ｓｉｎｎ＋１π３,其中数列｛Ｆｎ｝为Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列。     

函数f(x)与函数f(ωx+φ)的单调性

函数ｆ（ｘ）与函数ｆ（ωｘ＋φ）的单调性□民勤县一中赵文广关于函数ｆ（ｘ）与ｆ（ωｘ＋φ）的单调性我们得到以下结论：１若函数ｆ（ｘ）在区间（ａ,ｂ）上是增函数,则函数ｆ（ωｘ＋φ）（ω＞０）在区间（ａω－φω,ｂω－φω）上也是增函数证明：设ｘ１...     

例说寻找原型解数学题

本文试用寻找原型的思想来解决一些与抽 象函数有关的周期问题，供参考． 例１已知函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋ａ）＝ （ａ为常数，且ａ≠０），求证：函数 １－ｆ（ｘ） ｆ（ｘ）是周期函数． 分析：观察式子的特点，易知函数ｆ（ｘ）的 原型是ｙ＝ｔｇｘ，且ｔｇ（ｘ＋）＝，而４ × ＝π正是函数ｙ＝ｔｇｘ的周期，故我们可以猜 测４ａ为函数ｆ（ｘ）的周期． 证明：ｆ（ｘ＋２ａ）＝ｆ［（ｘ＋ａ）＋ａ］＝ １－ｆ（ｘ＋ａ） ｆ（ｘ＋４ａ）二ｆ［（ｘ＋２ａ）＋２ａ］＝ 即ｆ（ｘ＋４ａ）＝ｆ（ｘ），所以函数ｆ（ｘ）是周 期函数． 例２…     

正确解题离不开观察与联想

解答高等数学要注意观察题目的特点,广泛联想与之有关的知识,恰当地进行转换,就可使之获得简捷正确的解题方法,从而不断地提高他们分析问题和解决问题的能力。定积分中的换元积分有下列结论。“设ｆ（ｘ）在［－ａ,ａ］上连续,①若ｆ（ｘ）在［－ａ,ａ］上为偶函数,则∫ａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝２∫ａ０ｆ（ｘ）ｄｘ．②若ｆ（ｘ）在［－ａ,０］上为奇函数,则∫ａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝０．”应用上述结论解题,能简化定积分的计算过程。但计算定积分时应注意观察积分区间是否关于原点对称（或积分的上限和下限是否为相反数）,若回答是…     

幂函数x^a在微分中值公式中的中值点的位置

本文就ａ〉２的情形,对幂函数ｘ＾ａ在一类区间上的Ｌａｇｒａｎｇｅ微分中值公式中的中值点ξ的位置作出估计,并在此基础上得到幂函数ｘ＾ａ（ａ〉２）在区间「ａ、ｂ」（０〈ａ〈ｂ）上的微分中值公式的中值点ξ满足ａ＋ｂ２〈ξ〈ｂ的结论。     

微积分基本定理及其应用

1　微积分基本定理的内容。定理一 :若函数ｆ(ｘ)在区间 [ａ ,ｂ]上连续 ,则变上限的积分函数Φ(ｘ) =ｘａｆ(ｔ)ｄｔ在 [ａ ,ｂ]上可导 ,且Φ′(ｘ) =ｆ(ｘ) (ａ≤ｘ≤ｂ)定理二 :若函数ｆ(ｘ)在区间 [ａ ,ｂ]上连续 ,又函数Ｆ(ｘ)为ｆ(ｘ)在 [ａ ,ｂ]上的一个原函数 ,则ｂａｆ(ｘ)ｄｘ=Ｆ(ｘ) ｂａ=Ｆ(ｂ) -Ｆ(ａ)证明 :(略 )现在的教材中多只将定理二称为微积分基本定理 ,其实严格地应将定理一、二合称微积分基本定理。此外 ,微积分基本定理还有另一种表述形式 ,本文不作叙述。2　微积分基本定理的重要意义。2 .1　定理把导数、微分、不…     

热传导方程的反问题

热传导方程的反问题罗兴钧（赣南师范学院数学与计算机系,赣州,３４１０００）１问题的提出考察如下的数学物理反问题,确定未知函数ｆ（ｔ）,满足如下的热传导方程及初边值条件：ｕｔ＝ｕｘｘ＋ｆ（ｔ）Ｘ［ａ、ｂ］（ｘ）－∞＜ｘ＜＋∞,ｔ＞０（１）ｕ（ｘ,０）...     

利用导数证明不等式

本文试图就全日制普通高级中学教科书 (试验本 ,必修 )第三册 (理 ) ,“导数与微分”一章对导数证明不等式的方法作点归纳。1　用拉格朗日定理证明不等式定理　设 ｆ(ｘ)在 [ａ ,ｂ]上连续 ,在 (ａ ,ｂ)内可导 ,则在 (ａ ,ｂ)中至少存在一点 ζ ,使得 ｆ′ (ζ) =ｆ(ａ) -ｆ(ｂ)ｂ-ａ 。 (教材第 2 3 1页 ,定理 3 )根据这个定理 ,我们可以依据导函数 ｆ′(ζ)的变化范围 (如有界等 )及ａ <ζ <ｂ来证明不等式。利用这个定理证明不等式的一般步骤是 :(1 )选取函数 ｆ(ｘ) ,验证 ｆ(ｘ)在区间 (ａ ,ｂ)内满足拉格朗日定理条件 ;(2 )求 ｆ(ｘ)…     

广义Newton—Leibniz公式

广义Ｎｅｗｔｏｎ—Ｌｅｉｂｎｉｚ公式朱报祐１引言通常的Ｎｅｗｔｏｎ－Ｌｅｉｂｎｉｚ公式＇＇＇Ｉｆ＇（ｘ）ｄｘ－ｆ（ｂ）一ｆ（ａ），（１）要求ｆ＇（ｘ）于「ａ，ｈｉ上连续；而通常的分部积分公式＂＇门几要求ｆ＇（ｘ），ｇ＇（ｘ）于［ａ，ｈｉ上连续。（１）...     

函数对称性的一个定理及应用

函数对称性的一个定理及应用安徽省泾县中学汪民岳函数的对称性，是函数一个重要性质，有着广泛应用．下面介绍一个简洁优美的对称定理：函数ｙ＝ｆ（ｘ）关于ｘ＝ａ对称ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ａ－ｘ）ｆ（ｘ）＝ｆ（２ａ－Ｘ）．（以下简记）证明从略．下面举例说明应用．一...     

多项式值的一种算法

１ 问题的提出 设Ｒ是数环，求ｆ（ｘ）在ａ的值ｆ（ａ）． 当ｆ（ｘ）次数较低时可将ａ代入ｆ（ｘ）直接计算［２］；当ｆ（ｘ）次数较高或ａ的形式较复杂时，直接代入计算就不可能了．那么此时如何计算ｆ（ｘ）呢？ 例 求多项式ｆ（ｘ）＝３ｘ８－６８ｘ６－１４４ｘ５－２５ｘ４＋９６ｘ３＋４６ｘ２－７在值 显然，直接代入计算，运算量大，且容易出错．下面给出一种简便易行的方法．２ 主要结论 命题 ｆ（ｘ）∈Ｒ［ｘ］，ａ∈Ｒ．若存在ｇ（ｘ）∈其中 或则 由带余除法［３］容易证明，此处略． 于是，解决问题的关键是找到合适的ｇ（…     

例说不等式恒成立

不等式历来是高考和竞赛命题的热点,已知不等式恒成立求参数范围,是一类常见的题型,近年来在各地的高考及模拟试题中更是屡见不鲜．笔者在多年的教学中发现这类问题有以下几种常用解法,现举例说明．１　变量分离法若不等式通过变量分离可化为ａ＜ｆ（ｘ）（或ａ＞ｆ（ｘ））恒成立的形式,此时可利用以下定理求参数范围．定理　Ⅰ　ａ＞ｆ（ｘ）恒成立ａ＞ｆ（ｘ）ｍａｘ;Ⅱ　ａ＜ｆ（ｘ）恒成立ａ＜ｆ（ｘ）ｍｉｎ．例１　已知ａ∈（０,１）,函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ａ－ｋａｘ）在［１,＋∞）上有意义,求实数ｋ的取值范围．解　…